Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

Doctorado → Matemáticas aplicadas ↓


Sistemas dinámicos


En matemáticas aplicadas, el estudio de los sistemas dinámicos implica el modelado y análisis de sistemas que evolucionan con el tiempo. Estos sistemas se pueden encontrar en diversas disciplinas como la física, biología, química, ingeniería, economía e incluso ciencias sociales. En su esencia, un sistema dinámico puede caracterizarse por un conjunto de ecuaciones o reglas que describen cómo cambia el estado del sistema con respecto al tiempo.

Definiciones básicas

Para entender los sistemas dinámicos, definamos algunos términos básicos:

  • Estado: Un conjunto de valores que describe un sistema en un instante dado. Por ejemplo, la posición y velocidad de un péndulo pueden dar su estado.
  • Tiempo: La variable independiente de la cual depende la evolución del sistema. El tiempo puede ser continuo (donde puede tomar cualquier valor en un rango) o discreto (donde toma valores discretos específicos).
  • Leyes dinámicas: Un conjunto de ecuaciones o reglas que describen cómo cambia el estado de un sistema con el tiempo.

Tipos de sistemas dinámicos

Los sistemas dinámicos se pueden clasificar en dos tipos principales:

  • Sistemas dinámicos continuos: Estos son descritos por modelos de tiempo continuo y generalmente involucran ecuaciones diferenciales. Un ejemplo de un sistema continuo es: 
    (frac{dx}{dt} = f(x, t))
    donde ( x ) es la variable de estado, ( t ) es el tiempo, y ( f ) es una función que describe la dinámica del sistema.
  • Sistemas dinámicos discretos: Estos involucran análogos de tiempo discreto y generalmente utilizan ecuaciones de diferencia. Un ejemplo de un sistema discreto es: 
    x_{n+1} = g(x_n, n)
    donde ( x_n ) es la posición en el paso ( n ) y ( g ) es una función que define la siguiente posición.

Visualización de sistemas dinámicos

Visualicemos un sistema dinámico continuo autónomo simple usando un diagrama de fases. El diagrama de fases nos ayuda a analizar las trayectorias que el sistema puede seguir dependiendo de su estado inicial.

A B1 B2

En este diagrama, el punto A es un punto de equilibrio donde el sistema no cambia su estado. Las trayectorias desde diferentes puntos iniciales (por ejemplo, B1 y B2) conducen hacia o se alejan de este punto.

Ejemplos de sistemas dinámicos

Veamos algunos ejemplos para entender mejor estos conceptos.

Ejemplo 1: Oscilador armónico simple

El oscilador armónico simple se puede modelar como: 

(frac{d^2x}{dt^2} + omega^2 x = 0)
Las soluciones de esta ecuación diferencial describen un sistema que oscila de un lado a otro alrededor de un punto de equilibrio, donde ( omega ) es la frecuencia angular. El diagrama de fases consiste en elipses centradas en el origen, indicando movimiento periódico.

Ejemplo 2: Mapa logístico

El mapa logístico es un sistema dinámico discreto conocido dado como: 

x_{n+1} = rx_n(1 - x_n)
Este mapa se utiliza para modelar el crecimiento poblacional y muestra dinámicas complejas como bifurcaciones, caos y ciclos estables. El parámetro ( r ) afecta dramáticamente el comportamiento del sistema:

  • Para ( 0 < r leq 1 ), la población converge a cero.
  • Para ( 1 < r leq 3 ), la población se acerca al estado estacionario.
  • Para ( 3 < r leq 3.57 ), el sistema puede exhibir bifurcación de duplicación de período.
  • Para ( r > 3.57 ), puede surgir el caos, haciendo las predicciones más complejas.

Estabilidad del equilibrio

Un aspecto importante del análisis de sistemas dinámicos es determinar la estabilidad de los puntos de equilibrio. Un punto de equilibrio es aquel donde el sistema no cambia con el tiempo. La estabilidad de estos puntos puede decirnos cómo el sistema reacciona a perturbaciones:

  • Estable: pequeñas perturbaciones llevan al equilibrio.
  • Inestable: el sistema se desvía del equilibrio ante una perturbación.
  • Cuasi-estable: El sistema es estable en algunas direcciones e inestable en otras.

Considere un sistema continuo simple: 

(frac{dx}{dt} = -kx)
Aquí, si ( k > 0 ), entonces el equilibrio ( x = 0 ) es estable porque el sistema regresa al equilibrio después de una perturbación. Este modelo lineal indica la amortiguación natural presente en muchos sistemas físicos.

Dinámica caótica

El caos es una característica de algunos sistemas dinámicos donde pequeños cambios en las condiciones iniciales pueden llevar a resultados muy diferentes. Un ejemplo popular de esto es el sistema de Lorenz, que se describe de la siguiente manera: 

[ begin{align*} frac{dx}{dt} &= sigma (y - x), \ frac{dy}{dt} &= x (rho - z) - y, \ frac{dz}{dt} &= xy - beta z. end{align*} ]
Este sistema exhibe una alta dependencia de las condiciones iniciales, a menudo referida como el "efecto mariposa": pequeños cambios pueden tener grandes efectos a través del tiempo. Aunque son deterministas, los sistemas caóticos son intrínsecamente impredecibles a largo plazo. Estos sistemas pueden formar estructuras complejas y bellas, como el famoso atractor de Lorenz.

Sistemas dinámicos lineales versus no lineales

Los sistemas lineales tienen dinámicas que pueden describirse usando ecuaciones lineales. Las soluciones de los sistemas lineales pueden superponerse para formar nuevas soluciones. Esto los hace más fáciles de analizar y predecir.

Considere una ecuación diferencial lineal: 

(mathbf{x}' = mathbf{A}mathbf{x})
donde ( mathbf{x} ) es el vector de estado y ( mathbf{A} ) es una matriz. La solución a este sistema puede expresarse mediante exponentes de matrices.

En contraste, los sistemas no lineales tienen ecuaciones que no son lineales, lo que significa que las soluciones no pueden superponerse fácilmente. Los sistemas no lineales pueden exhibir una variedad de comportamientos complejos, incluidos el caos y la bifurcación.

Considere un sistema no lineal simple: 

[ frac{dx}{dt} = x(1-x) ]
Aquí, la no linealidad ((1-x)) proporciona un conjunto más rico de dinámicas que sus contrapartes lineales.

Bifurcaciones

La bifurcación aborda los cambios en la estructura de un sistema dinámico debido a variaciones en los parámetros. A medida que los parámetros del sistema cambian, el número y la estabilidad de los equilibrios también pueden cambiar. El análisis de bifurcaciones estudia sistemáticamente estas transiciones.

Un ejemplo simple de esto es la bifurcación "pitchfork", que se describe de la siguiente manera: 

(frac{dx}{dt} = rx - x^3)
A medida que ( r ) cambia, el sistema experimenta bifurcaciones que resultan en la creación o destrucción de puntos de equilibrio. Para tales bifurcaciones, los gráficos de equilibrio en función de ( r ) representan visualmente las transiciones.

Aplicaciones de los sistemas dinámicos

La aplicación de los sistemas dinámicos se encuentra en varios campos:

  • Biología: dinámica poblacional, propagación de enfermedades o modelado de actividades neuronales.
  • Física: El estudio de mecánica celeste, termodinámica o dinámica de fluidos.
  • Economía: Exploración de ciclos económicos, equilibrio de mercados o crecimiento económico.
  • Ingeniería: Diseño de sistemas de control, análisis de circuitos eléctricos u optimización de sistemas operativos.

Conclusión

Los sistemas dinámicos proporcionan información fundamental sobre la naturaleza de los procesos que evolucionan con el tiempo. Forman un puente entre teorías matemáticas abstractas y aplicaciones prácticas en diversos campos científicos. La interacción de la previsibilidad y el caos dentro de los sistemas dinámicos desafía y motiva una exploración más profunda del orden subyacente y la complejidad del universo.


Doctorado → 9.3


U
username
0%
completado en Doctorado

← Anterior (9.2.3)
Ecuaciones hiperbólicas
Siguiente (9.3.1) →
Teoría del caos

Comentarios 



Sistemas dinámicos

https://www.buddymath.com/phd/9.3?bmal=es