Doutorado
  1. Compreendendo Álgebra  1.1. Teoria dos grupos  1.1.1. Propriedades básicas dos grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Classes laterais e o teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normais  1.1.5. Grupo quociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introdução aos grupos livres  1.1.9. O que são atividades em grupo?  1.1.10. Grupos simples e solucionáveis  1.2. Teoria dos anéis  1.2.1. Anéis e ideais  1.2.2. Introdução aos homomorfismos de anéis  1.2.3. Aneis polinomiais  1.2.4. Domínios de ideais principais  1.2.5. Domínios de Fatoração Única  1.2.6. Anéis noetherianos  1.2.7. Anéis Artinianos  1.3. Teoria dos Campos  1.3.1. Extensões de corpos  1.3.2. Divisão de área  1.3.3. Teoria de Galois  1.3.4. Fechamento algébrico na teoria dos corpos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensão transcendental  1.4. Teoria dos módulos  1.4.1. Módulos sobre anéis  1.4.2. Módulos livres  1.4.3. Homomorfismo de módulo  1.4.4. Módulos simples e semi-simples  1.4.5. Módulos projetivos  1.4.6. Módulos Injetivos  1.5. Álgebra linear  1.5.1. Espaço vetorial  1.5.2. Transformações lineares  1.5.3. Entendendo Autovalores e Autovetores  1.5.4. Forma canônica  1.5.5. Espaço de produto interno  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Decomposição em valores singulares
  2. Compreendendo a Análise Matemática  2.1. Análise real  2.1.1. Números reais e completude  2.1.2. Introdução a sequências e séries  2.1.3. Continuidade em análise real  2.1.4. Diferenciação em análise real  2.1.5. Integração de Riemann  2.1.6. Introdução aos espaços métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análise Complexa  2.2.1. Números complexos  2.2.2. Funções analíticas  2.2.3. Integração de contorno  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema do Resíduo  2.2.6. Mapeamento conformal  2.3. Análise Funcional  2.3.1. Compreendendo locais padrão  2.3.2. Introdução aos espaços de Banach  2.3.3. Espaços de Hilbert  2.3.4. Operadores lineares  2.3.5. Teoria espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoria da Medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medição e integrais na teoria da medida  2.4.3. Integração de Lebesgue  2.4.4. Teorema da Convergência  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análise Harmônica  2.5.1. Séries de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoria da distribuição  2.5.4. Wavelets
  3. Topologia  3.1. Topologia geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Continuidade  3.1.3. Introdução à compacidade  3.1.4. Conectividade na topologia geral  3.1.5. Topologia métrica  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoria da homotopia  3.2.3. Teoria da homologia  3.2.4. Cohomologia  3.2.5. Sequência exata  3.3. Topologia diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espaço tangente  3.3.3. Campos vetoriais  3.3.4. Compreendendo Formas Diferenciais
  4. Geometria  4.1. Geometria diferencial  4.1.1. Curvas e superfícies na geometria diferencial  4.1.2. Geometria Riemanniana  4.1.3. Compreendendo geodésicas na geometria diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometria algébrica  4.2.1. Variedades afins e projetivas  4.2.2. Planos  4.2.3. Separadores e interseções  4.2.4. Cohomologia na geometria algébrica  4.3. Geometria Computacional  4.3.1. Introdução às coberturas convexas na geometria computacional  4.3.2. Triangulação  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoria dos números  5.1. Teoria dos números elementar  5.1.1. Divisibilidade na teoria elementar dos números  5.1.2. Congruência na teoria dos números elementar  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoria analítica dos números  5.2.1. Teorema dos números primos  5.2.2. Séries de Dirichlet  5.2.3. Zeta e funções L  5.3. Teoria dos números algébricos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introdução aos ideais na teoria algébrica dos números  5.3.3. Grupos de classes em teoria algébrica dos números  5.3.4. Representação de Galois
  6. Companhia  6.1. Combinatória computacional  6.1.1. Função Geradora  6.1.2. Relação de recorrência  6.1.3. Permanência e combinação  6.2. Teoria dos grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planaridade em teoria dos grafos  6.2.3. Coloração de grafos  6.3. Combinatória extrema  6.3.1. Teoria de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos em combinatória extrema  6.4. Combinatória algébrica  6.4.1. Métodos de matrizes em combinatória algébrica  6.4.2. Teoria da Representação
  7. Argumentos e fundamentos  7.1. Teoria dos conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinais e cardinais  7.2. Introdução à teoria dos modelos  7.2.1. Estruturas e teorias na teoria dos modelos  7.2.2. Teorema da compacidade  7.3. Teoria da prova  7.3.1. Sistemas formais  7.3.2. Consistência e completude
  8. Probabilidade e Estatística  8.1. Teoria da probabilidade  8.1.1. Variáveis aleatórias  8.1.2. Expectativa e variação  8.1.3. Teorema do limite central  8.2. Processos estocásticos  8.2.1. Cadeias de Markov  8.2.2. Movimento browniano  8.3. Inferência estatística  8.3.1. Teste de hipóteses  8.3.2. Análise de regressão
  9. Matemática aplicada  9.1. Análise numérica em matemática aplicada  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolação  9.1.3. Análise de erros  9.2. Equações diferenciais parciais  9.2.1. Equação elíptica  9.2.2. Equação parabólica  9.2.3. Equações hiperbólicas  9.3. Sistemas dinâmicos  9.3.1. Teoria do Caos  9.3.2. Análise de estabilidade em sistemas dinâmicos

Doutorado → Matemática aplicada → Equações diferenciais parciais ↓


Equação parabólica


No mundo da matemática, e em particular no estudo de equações diferenciais parciais (PDEs), as equações parabólicas são centrais devido às suas amplas aplicações em campos como física, engenharia, matemática financeira e outras ciências aplicadas. Esta exposição tenta explicar as equações parabólicas na linguagem mais simples possível, enquanto também fornece insights profundos e exemplos para satisfazer tanto a intuição quanto a compreensão analítica. O estudo das equações parabólicas é indispensável para estudantes de doutorado em matemática, pois promove uma compreensão mais profunda dos sistemas dinâmicos e processos temporais.

Introdução à equação parabólica

As equações diferenciais parciais (PDEs) podem ser classificadas em tipos elíptico, hiperbólico e parabólico, de acordo com sua forma geral e propriedades. As PDEs parabólicas são frequentemente identificadas por causa de sua semelhança com a equação do calor, que é um exemplo quintessencial desta classe. Essas equações modelam processos que envolvem difusão, fluxo de calor e outras formas de mudanças de distribuição gradual ao longo do tempo.

Equações parabólicas geralmente estão na forma:

∂u/∂t = a ∂²u/∂x² + b ∂u/∂x + cu + d

Onde:

  • u é uma função da variável espacial x e da variável temporal t.
  • a, b, c e d são coeficientes, onde a ≠ 0.

Aqui, a ∂²u/∂x² é o termo de difusão que determina como a quantidade u se espalha no espaço à medida que o tempo aumenta. Compreender este mecanismo de difusão é a chave para compreender as equações parabólicas.

Resolvendo a equação do calor: um exemplo clássico

A equação do calor é o exemplo mais canônico de uma PDE parabólica. Considere a equação do calor unidimensional, que modela a distribuição de temperatura em uma determinada região ao longo do tempo:

∂u/∂t = α ∂²u/∂x²

onde α representa a difusividade térmica, que é uma medida de quão rapidamente o calor se espalha através de um material.

Para resolver esta equação, suponha que tenhamos uma barra com extremidades isoladas, de modo que nenhum calor escape das extremidades. Também temos uma distribuição de temperatura inicial ao longo da barra. Usando a separação de variáveis, podemos expressar u(x,t) como o produto de duas funções: uma dependendo de x e a outra de t.

Seja u(x,t) = X(x)T(t) Colocando isto na equação do calor obtemos:

X(x) dT/dt = α T(t) d²X/dx²

Podemos então decompor isso em duas equações diferenciais ordinárias (ODEs):

1/T dT/dt = α/X d²X/dx² = -λ

Isso leva às seguintes ODEs:

dT/dt + λT = 0 d²X/dx² + (λ/α)X = 0

As soluções dessas ODEs são as seguintes:

T(t) = T₀e^(-λt) X(x) = A sin(sqrt(λ/α) x) + B cos(sqrt(λ/α) x)

Impondo condições iniciais e limitantes, como u(0,t) = u(L,t) = 0 e temperatura inicial u(x,0) = f(x), determinamos os valores permitidos de A, B e λ, que geralmente são quantizados. Essa natureza quantizada está relacionada aos modos permitidos de vibração ou padrões de distribuição de calor na barra.

Visualizando a solução: distribuição de calor ao longo do tempo

Para ver como o calor é distribuído em uma barra unidimensional ao longo do tempo, considere o seguinte exemplo da equação do calor. Suponha uma barra de comprimento L inicialmente aquecida no meio, e observamos como o calor se espalha.

temperatura Poste t=0 t=1 t=2

A curva vermelha mostra a distribuição inicial de temperatura em t = 0 À medida que o tempo avança, a curva de temperatura se achata, mostrada em linhas tracejadas, indicando a difusão do calor. Esta difusão é governada pela natureza parabólica da equação.

Compreendendo a estabilidade e métodos de diferenças finitas

Ao resolver numericamente as PDEs parabólicas, os métodos de diferenças finitas fornecem uma visão prática de seu comportamento. Isso envolve a discreção tanto no espaço quanto no tempo, criando uma grade sobre a qual as soluções são projetadas.

Para a equação do calor unidimensional, considere dividir a derivada temporal com uma diferença para a frente e a segunda derivada espacial com uma aproximação de diferença central. Isso fornece a aproximação de diferenças finitas:

(uᵢⁿ⁺¹ - uᵢⁿ) / Δt = α (uᵢ₋₁ⁿ - 2uᵢⁿ + uᵢ₊₁ⁿ) / Δx²

Ao rearranjar, obtemos:

uᵢⁿ⁺¹ = uᵢⁿ + r(uᵢ₋₁ⁿ - 2uᵢⁿ + uᵢ₊₁ⁿ)

onde r = αΔt/Δx². A escolha de r determina a estabilidade e a precisão do método. Para estabilidade, especialmente em esquemas explícitos, é geralmente requerido que r ≤ 0.5. Isso destaca a derivação da condição de Courant-Friedrichs-Lévy (CFL), que é um limite teórico para cálculos práticos.

Aplicações em vários campos

As equações parabólicas vão além da equação do calor tradicional e são úteis em uma variedade de campos como:

  • Processos de difusão: Modelagem de como substâncias, como poluentes ou produtos químicos, se espalham através de diferentes meios.
  • Precificação de opções: Na matemática financeira, a equação de Black–Scholes é uma PDE parabólica usada para determinar o valor das opções ao longo do tempo.
  • Fluxo de fluido: Descrevendo como propriedades do fluido, como temperatura ou concentração, mudam em sistemas turbulentos.

Equações parabólicas de maior dimensão e não lineares

Embora a equação do calor unidimensional forneça uma compreensão básica, problemas do mundo real frequentemente envolvem dimensões superiores (e não linearidades), como a equação do calor bidimensional:

∂u/∂t = α (∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)

Lidar com a não linearidade introduz mais complexidade, como em sistemas de reação-difusão, onde um termo adicional modela as reações químicas:

∂u/∂t = α ∂²u/∂x² + f(u)

Resolver tais equações geralmente envolve o uso de técnicas numéricas avançadas, como esquemas implícitos ou métodos multigrid, pois soluções analíticas são frequentemente inviáveis.

Resumo e conclusão

Compreender profundamente e intuitivamente as equações parabólicas dá aos matemáticos e cientistas aplicados as ferramentas para modelar efetivamente fenômenos dependentes do tempo. A beleza e a utilidade das PDEs parabólicas reside em sua adaptabilidade e amplitude de aplicações, que combinam matemática abstrata e problemas tangíveis do mundo real.

Através de soluções analíticas, como a equação do calor, e abordagens numéricas para sistemas mais complexos, as equações parabólicas permanecem uma área vibrante de estudo e aplicação em doutorado em matemática e além.


Doutorado → 9.2.2


U
username
0%
concluído em Doutorado

← Anterior (9.2.1)
Equação elíptica
Próximo (9.2.3) →
Equações hiperbólicas

Comentários 



Equação parabólica

https://www.buddymath.com/phd/9.2.2?bmal=pt