Докторантура
  1. Понимание алгебры  1.1. Теория групп  1.1.1. Основные свойства групп  1.1.2. Подгруппы  1.1.3. Классы смежности и теорема Лагранжа  1.1.4. Нормальные подгруппы  1.1.5. Факторгруппа  1.1.6. Групповые гомоморфизмы  1.1.7. Теорема Силова  1.1.8. Введение в свободные группы  1.1.9. Что такое групповые действия?  1.1.10. Простые и разрешимые группы  1.2. Теория колец  1.2.1. Кольца и идеалы  1.2.2. Введение в гомоморфизмы колец  1.2.3. Кольца многочленов  1.2.4. Области главных идеалов  1.2.5. Уникальные области факторизации  1.2.6. Нетеровы кольца  1.2.7. Артиниевы кольца  1.3. Теория полей  1.3.1. Расширения полей  1.3.2. Деление области  1.3.3. Теория Галуа  1.3.4. Алгебраическое замыкание в теории полей  1.3.5. Конечные поля  1.3.6. Трансцендентальное расширение  1.4. Теория модулей  1.4.1. Модули над кольцами  1.4.2. Свободные модули  1.4.3. Гомоморфизм модуля  1.4.4. Простые и полупростые модули  1.4.5. Проективные модули  1.4.6. Инъективные модули  1.5. Линейная алгебра  1.5.1. Векторное пространство  1.5.2. Линейные преобразования  1.5.3. Понимание собственных чисел и собственных векторов  1.5.4. Каноническая форма  1.5.5. Пространство с внутренним произведением  1.5.6. Теорема о спектральном расщеплении  1.5.7. Разложение по сингулярным значениям
  2. Понимание математического анализа  2.1. Реальный анализ  2.1.1. Действительные числа и полнота  2.1.2. Введение в последовательности и ряды  2.1.3. Непрерывность в теории действительных чисел  2.1.4. Дифференцирование в действительном анализе  2.1.5. Интегрирование по Риману  2.1.6. Введение в метрические пространства  2.1.7. Мера Лебега  2.2. Комплексный анализ  2.2.1. Комплексные числа  2.2.2. Аналитические функции  2.2.3. Контурная интеграция  2.2.4. Теорема Коши  2.2.5. Теорема о вычетах  2.2.6. Конформное отображение  2.3. Функциональный анализ  2.3.1. Понимание стандартных пространств  2.3.2. Введение в пространство БАНАХА  2.3.3. Пространства Гильберта  2.3.4. Линейные операторы  2.3.5. Спектральная теория  2.3.6. Компактные операторы  2.4. Теория меры  2.4.1. Сигма алгебра  2.4.2. Измерение и интегралы в теории меры  2.4.3. Интегрирование по Лебегу  2.4.4. Теорема о сходимости  2.4.5. Теорема Фубини  2.5. Гармонический анализ  2.5.1. Ряд Фурье  2.5.2. Преобразование Фурье  2.5.3. Теория распределений  2.5.4. Вейвлеты
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Непрерывность  3.1.3. Введение в компактность  3.1.4. Связность в общей топологии  3.1.5. Метрика топология  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Фундаментальная группа  3.2.2. Теория гомотопий  3.2.3. Теория гомологии  3.2.4. Когомология  3.2.5. Точная последовательность  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Гладкие многообразия  3.3.2. Тангенциальное пространство  3.3.3. Векторные поля  3.3.4. Понимание дифференциальных форм
  4. Геометрия  4.1. Дифференциальная геометрия  4.1.1. Кривые и поверхности в дифференциальной геометрии  4.1.2. Риманова геометрия  4.1.3. Понимание геодезических линий в дифференциальной геометрии  4.1.4. Кривизна  4.2. Алгебраическая геометрия  4.2.1. Аффинные и проективные многообразия  4.2.2. Планы  4.2.3. Разделители и пересечения  4.2.4. Когомология в алгебраической геометрии  4.3. Вычислительная геометрия  4.3.1. Введение в выпуклые оболочки в вычислительной геометрии  4.3.2. Триангуляция  4.3.3. Диаграмма Вороного  4.3.4. Геометрические алгоритмы
  5. Теория чисел  5.1. Элементарная теория чисел  5.1.1. Делимость в элементарной теории чисел  5.1.2. Сравнимость в элементарной теории чисел  5.1.3. Модульная арифметика  5.2. Аналитическая теория чисел  5.2.1. Теорема о распределении простых чисел  5.2.2. Ряды Дирихле  5.2.3. Зета и L-функции  5.3. Алгебраическая теория чисел  5.3.1. Числовые поля  5.3.2. Введение в идеалы в алгебраической теории чисел  5.3.3. Классы групп в алгебраической теории чисел  5.3.4. Представление Галуа
  6. Товарищество  6.1. Вычислительная комбинаторика  6.1.1. Функция-генератор  6.1.2. Рекуррентные соотношения  6.1.3. Перестановка и сочетание  6.2. Теория графов  6.2.1. Изоморфизм графов  6.2.2. Плоскостность в теории графов  6.2.3. Окраска графов  6.3. Экстремальная комбинаторика  6.3.1. Теория Рамсея  6.3.2. Вероятностные методы в экстремальной комбинаторике  6.4. Алгебраическая комбинаторика  6.4.1. Методы матриц в алгебраической комбинаторике  6.4.2. Теория представлений
  7. Аргументы и основания  7.1. Теория множеств  7.1.1. Аксиомы Цермело-Френкеля  7.1.2. Порядковые и кардинальные числа  7.2. Введение в теорию моделей  7.2.1. Структуры и теории в теории моделей  7.2.2. Теорема компактности  7.3. Теория доказательств  7.3.1. Формальные системы  7.3.2. Согласованность и полнота
  8. Вероятность и статистика  8.1. Теория вероятностей  8.1.1. Случайные величины  8.1.2. Ожидание и вариация  8.1.3. Центральная предельная теорема  8.2. Стохастические процессы  8.2.1. Марковские цепи  8.2.2. Броуновское движение  8.3. Статистическое заключение  8.3.1. Тестирование гипотез  8.3.2. Регрессионный анализ
  9. Прикладная математика  9.1. Численный анализ в прикладной математике  9.1.1. Итеративные методы  9.1.2. Интерполяция  9.1.3. Анализ ошибок  9.2. Уравнения в частных производных  9.2.1. Эллиптическое уравнение  9.2.2. Параболическое уравнение  9.2.3. Гиперболические уравнения  9.3. Динамические системы  9.3.1. Теория хаоса  9.3.2. Анализ устойчивости в динамических системах

Докторантура → Прикладная математика → Численный анализ в прикладной математике ↓


Интерполяция


Введение

Интерполяция — это фундаментальная концепция численного анализа, широко используемая в прикладной математике. Она заключается в нахождении функции, проходящей через набор заданных точек данных. Эта функция затем может быть использована для оценки или предсказания значений в других точках. Проще говоря, интерполяция заполняет пробелы между известными точками данных.

Зачем нужна интерполяция?

Во многих практических ситуациях у нас имеются данные, собранные в дискретных точках, но нам интересно понять поведение данных как непрерывной функции. Интерполяция помогает построить новые точки данных в пределах известного набора точек данных.

Применение интерполяции

  • Инженерия: оценка напряжений в материалах в неизвестных точках.
  • Прогноз погоды: предсказание условий в соседних областях с использованием данных о температуре и давлении из конкретных мест.
  • Компьютерная графика: плавное отображение кривых и поверхностей.

Основная концепция интерполяции

Предположим, у вас есть набор точек данных:

(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)

Здесь каждая пара представляет известную координату. Задача интерполяции — найти функцию f(x) такую, что:

f(xi) = yi, для i = 0, 1, 2, ..., n

Функция f(x) может быть использована для оценки значений в точках между x0 и xn.

Типы интерполяции

Существует множество методов интерполяции, некоторые из которых следующие:

  1. Линейная интерполяция
  2. Полиномиальная интерполяция
  3. Сглаживающая интерполяция

Линейная интерполяция

Линейная интерполяция — самая простая форма интерполяции. Она соединяет две последовательные точки данных прямой линией и подходит, когда данные предполагается изменяться линейно.

Для двух заданных точек (x0, y0) и (x1, y1) формула линейной интерполяции выглядит следующим образом:

f(x) = y0 + (x - x0) * (y1 - y0) / (x1 - x0)

Предположим, у вас есть точки (1, 2) и (4, 3). Значение интерполяции в точке x = 2.5 будет рассчитано следующим образом:

f(2.5) = 2 + (2.5 – 1) * (3 – 2) / (4 – 1) = 2 + 1.5 * 1 / 3 ≈ 2.5
(1, 2) (4, 3) (2.5, 2.5)

Полиномиальная интерполяция

Полиномиальная интерполяция включает нахождение полинома степени n, который проходит через все n+1 точек данных. Хорошо известный метод полиномиальной интерполяции — интерполяция Лагранжа.

Интерполяция Лагранжа

Полином Лагранжа f(x), проходящий через точки (x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn), задается следующим образом:

f(x) = Σ (yj * Lj(x)) j = 0 до n

где Lj(x) определяется как:

Lj(x) = Π ((x - xi) / (xj - xi)) i = 0 до n, i ≠ j

Выполним интерполяцию для точек (1, 1), (3, 2) и (5, 1) при x = 2:

Рассчитайте L0(x), L1(x) и L2(x):

L0(x) = ((x - 3)(x - 5)) / ((1 - 3)(1 - 5))
L1(x) = ((x - 1)(x - 5)) / ((3 - 1)(3 - 5))
L2(x) = ((x - 1)(x - 3)) / ((5 - 1)(5 - 3))

Таким образом, f(2) может быть рассчитана с использованием этих функций.

(11) (3, 2) (5, 1)

Сглаживающая интерполяция

Сглаживающая интерполяция используется, когда высокая степень полинома приводит к осцилляциям между точками данных (явление Рунге). Сплайны — это полиномы, разделённые на части, обеспечивающие плавные переходы.

Наиболее распространённым сплайном является кубический сплайн, состоящий из кубических полиномов в каждом интервале точек данных и обладающий непрерывными первой и второй производными.

Предположим, у вас есть точки данных (1, 1), (2, 4), (3, 9). Кубический сплайн легко подгоняет кривую через эти точки. Уравнения для сплайнов несколько сложнее и включают настройку системы уравнений для решения коэффициентов.

S(x) = ai + bi(x - xi) + ci(x - xi)^2 + di(x - xi)^3

Преимущества и недостатки

Преимущества

  • Позволяет оценивать промежуточные значения.
  • Может способствовать созданию плавных и непрерывных кривых.
  • Полезно для подгонки данных и численного анализа.

Недостатки

  • Интерполяция полиномами высокой степени может вызвать осцилляции.
  • Сложные данные могут требовать сложных методов интерполяции.
  • Чем больше точек, тем сложнее интерполяция.

Заключение

Интерполяция остаётся важной техникой численного анализа и прикладной математики, помогая творчески заполнять пробелы, когда отсутствуют чёткие данные. Понимание различных методов интерполяции позволяет более эффективно анализировать данные и адаптировать интерполяцию к различным наборам данных, гарантируя, что мы можем делать надёжные предсказания и подборки для наших данных.


Докторантура → 9.1.2


U
username
0%
завершено в Докторантура

← предыдущая (9.1.1)
Итеративные методы
следующая (9.1.3) →
Анализ ошибок

комментарии 



Интерполяция

https://www.buddymath.com/phd/9.1.2?bmal=ru