Докторантура
  1. Понимание алгебры  1.1. Теория групп  1.1.1. Основные свойства групп  1.1.2. Подгруппы  1.1.3. Классы смежности и теорема Лагранжа  1.1.4. Нормальные подгруппы  1.1.5. Факторгруппа  1.1.6. Групповые гомоморфизмы  1.1.7. Теорема Силова  1.1.8. Введение в свободные группы  1.1.9. Что такое групповые действия?  1.1.10. Простые и разрешимые группы  1.2. Теория колец  1.2.1. Кольца и идеалы  1.2.2. Введение в гомоморфизмы колец  1.2.3. Кольца многочленов  1.2.4. Области главных идеалов  1.2.5. Уникальные области факторизации  1.2.6. Нетеровы кольца  1.2.7. Артиниевы кольца  1.3. Теория полей  1.3.1. Расширения полей  1.3.2. Деление области  1.3.3. Теория Галуа  1.3.4. Алгебраическое замыкание в теории полей  1.3.5. Конечные поля  1.3.6. Трансцендентальное расширение  1.4. Теория модулей  1.4.1. Модули над кольцами  1.4.2. Свободные модули  1.4.3. Гомоморфизм модуля  1.4.4. Простые и полупростые модули  1.4.5. Проективные модули  1.4.6. Инъективные модули  1.5. Линейная алгебра  1.5.1. Векторное пространство  1.5.2. Линейные преобразования  1.5.3. Понимание собственных чисел и собственных векторов  1.5.4. Каноническая форма  1.5.5. Пространство с внутренним произведением  1.5.6. Теорема о спектральном расщеплении  1.5.7. Разложение по сингулярным значениям
  2. Понимание математического анализа  2.1. Реальный анализ  2.1.1. Действительные числа и полнота  2.1.2. Введение в последовательности и ряды  2.1.3. Непрерывность в теории действительных чисел  2.1.4. Дифференцирование в действительном анализе  2.1.5. Интегрирование по Риману  2.1.6. Введение в метрические пространства  2.1.7. Мера Лебега  2.2. Комплексный анализ  2.2.1. Комплексные числа  2.2.2. Аналитические функции  2.2.3. Контурная интеграция  2.2.4. Теорема Коши  2.2.5. Теорема о вычетах  2.2.6. Конформное отображение  2.3. Функциональный анализ  2.3.1. Понимание стандартных пространств  2.3.2. Введение в пространство БАНАХА  2.3.3. Пространства Гильберта  2.3.4. Линейные операторы  2.3.5. Спектральная теория  2.3.6. Компактные операторы  2.4. Теория меры  2.4.1. Сигма алгебра  2.4.2. Измерение и интегралы в теории меры  2.4.3. Интегрирование по Лебегу  2.4.4. Теорема о сходимости  2.4.5. Теорема Фубини  2.5. Гармонический анализ  2.5.1. Ряд Фурье  2.5.2. Преобразование Фурье  2.5.3. Теория распределений  2.5.4. Вейвлеты
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Непрерывность  3.1.3. Введение в компактность  3.1.4. Связность в общей топологии  3.1.5. Метрика топология  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Фундаментальная группа  3.2.2. Теория гомотопий  3.2.3. Теория гомологии  3.2.4. Когомология  3.2.5. Точная последовательность  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Гладкие многообразия  3.3.2. Тангенциальное пространство  3.3.3. Векторные поля  3.3.4. Понимание дифференциальных форм
  4. Геометрия  4.1. Дифференциальная геометрия  4.1.1. Кривые и поверхности в дифференциальной геометрии  4.1.2. Риманова геометрия  4.1.3. Понимание геодезических линий в дифференциальной геометрии  4.1.4. Кривизна  4.2. Алгебраическая геометрия  4.2.1. Аффинные и проективные многообразия  4.2.2. Планы  4.2.3. Разделители и пересечения  4.2.4. Когомология в алгебраической геометрии  4.3. Вычислительная геометрия  4.3.1. Введение в выпуклые оболочки в вычислительной геометрии  4.3.2. Триангуляция  4.3.3. Диаграмма Вороного  4.3.4. Геометрические алгоритмы
  5. Теория чисел  5.1. Элементарная теория чисел  5.1.1. Делимость в элементарной теории чисел  5.1.2. Сравнимость в элементарной теории чисел  5.1.3. Модульная арифметика  5.2. Аналитическая теория чисел  5.2.1. Теорема о распределении простых чисел  5.2.2. Ряды Дирихле  5.2.3. Зета и L-функции  5.3. Алгебраическая теория чисел  5.3.1. Числовые поля  5.3.2. Введение в идеалы в алгебраической теории чисел  5.3.3. Классы групп в алгебраической теории чисел  5.3.4. Представление Галуа
  6. Товарищество  6.1. Вычислительная комбинаторика  6.1.1. Функция-генератор  6.1.2. Рекуррентные соотношения  6.1.3. Перестановка и сочетание  6.2. Теория графов  6.2.1. Изоморфизм графов  6.2.2. Плоскостность в теории графов  6.2.3. Окраска графов  6.3. Экстремальная комбинаторика  6.3.1. Теория Рамсея  6.3.2. Вероятностные методы в экстремальной комбинаторике  6.4. Алгебраическая комбинаторика  6.4.1. Методы матриц в алгебраической комбинаторике  6.4.2. Теория представлений
  7. Аргументы и основания  7.1. Теория множеств  7.1.1. Аксиомы Цермело-Френкеля  7.1.2. Порядковые и кардинальные числа  7.2. Введение в теорию моделей  7.2.1. Структуры и теории в теории моделей  7.2.2. Теорема компактности  7.3. Теория доказательств  7.3.1. Формальные системы  7.3.2. Согласованность и полнота
  8. Вероятность и статистика  8.1. Теория вероятностей  8.1.1. Случайные величины  8.1.2. Ожидание и вариация  8.1.3. Центральная предельная теорема  8.2. Стохастические процессы  8.2.1. Марковские цепи  8.2.2. Броуновское движение  8.3. Статистическое заключение  8.3.1. Тестирование гипотез  8.3.2. Регрессионный анализ
  9. Прикладная математика  9.1. Численный анализ в прикладной математике  9.1.1. Итеративные методы  9.1.2. Интерполяция  9.1.3. Анализ ошибок  9.2. Уравнения в частных производных  9.2.1. Эллиптическое уравнение  9.2.2. Параболическое уравнение  9.2.3. Гиперболические уравнения  9.3. Динамические системы  9.3.1. Теория хаоса  9.3.2. Анализ устойчивости в динамических системах

Докторантура ↓


Вероятность и статистика


Введение

Вероятность и статистика — это две важные ветви математики, которые очень тесно взаимосвязаны. Вероятность — это изучение случайности и неопределенности, она предоставляет способ прогнозирования вероятности различных исходов в неопределенных ситуациях. Статистика — это наука о сборе, анализе, интерпретации, представлении и организации данных. Вместе эти области помогают нам делать прогнозы, проверять гипотезы и принимать решения на основе данных.

Понимание вероятности

Вероятность измеряет, насколько вероятно событие. Это число от 0 до 1, где 0 означает, что событие не может произойти, а 1 означает, что оно обязательно произойдет. Вероятность может быть выражена как:

P(Event) = Число благоприятных исходов / Общее число возможных исходов

Пример вероятности

Рассмотрим простой пример броска честной монеты. Есть два возможных исхода: орел или решка. Вероятность выпадения орла:

P(Орел) = 1 / 2 = 0.5

Аналогично, вероятность выпадения решки также равна 0.5. Мы можем также изобразить это так:

Орел Решка 0.5 0.5

Основные концепции вероятности

Существует несколько фундаментальных концепций вероятности, которые нужно понять:

  • Эксперимент: Процесс, который приводит к одному или нескольким исходам. Например, бросок кубика или вытягивание карты.
  • Пространство исходов: Множество всех возможных исходов эксперимента. Например, {1, 2, 3, 4, 5, 6} для шестигранного кубика.
  • Событие: Подмножество исходов из пространства исходов. Это может быть единственный исход или несколько исходов.
  • Дополнительные события: События, которые не являются частью исходного события. Например, если событие A — это получение четного числа, то дополнительное событие — получение нечетного числа. Вероятность дополнительных событий вычисляется по формуле:
P(A') = 1 - P(A)

Пример дополнительных событий

Если мы бросим 6-гранный кубик, вероятность получить число больше 4 (т.е. 5 или 6) равна:

P(Число > 4) = 2/6 = 1/3

Таким образом, вероятность того, что выпавшее число будет не больше 4, равна:

P(Число ≤ 4) = 1 - P(Число > 4) = 1 - 1/3 = 2/3

Условная вероятность

Условная вероятность - это вероятность, что событие произойдет, при условии, что другое событие уже произошло. Она обозначается как P(A|B), что читается как вероятность A, при условии B.

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

Пример условной вероятности

Допустим, у вас есть колода из 52 карт, и вы хотите найти вероятность того, что вытянутая карта будет королем, учитывая, что она красная. Вероятность вытягивания короля (A) и вероятность, что карта красная (B) равны:

P(Король) = 4/52 = 1/13
 P(Красная) = 26/52 = 1/2

Так как среди 26 красных карт есть 2 короля, мы имеем:

P(Король ∩ Красная) = 2/52 = 1/26

Таким образом, условная вероятность равна:

P(Король | Красная) = P(Король ∩ Красная) / P(Красная) = (1/26) / (1/2) = 2/26 = 1/13

Закон полной вероятности и теорема Байеса

Закон полной вероятности

Закон полной вероятности используется для расчета вероятности события, учитывая все возможные способы этого события произойти. Он гласит, что если B1, B2, ..., Bn — взаимно исключающие события, которые образуют разбиение пространства исходов, то:

P(A) = P(A ∩ B1) + P(A ∩ B2) + ... + P(A ∩ Bn)

С использованием условной вероятности это можно записать так:

P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + ... + P(A|Bn)P(Bn)

Теорема Байеса

Теорема Байеса — мощный инструмент в теории вероятностей, который позволяет инвертировать условные вероятности. Она выражается как:

P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / P(B)

Пример теоремы Байеса

Допустим, 1% населения страдает от определенного заболевания, и есть тест на это заболевание, который точен на 99%.

  • P(заболевание) = 0.01 (1% имеют заболевание)
  • P(без заболевания) = 0.99
  • P(положительный тест|заболевание) = 0.99
  • P(положительный тест|без заболевания) = 0.01 (уровень ложноположительных)

Чтобы найти вероятность того, что человек действительно болен, при положительном результате теста, используем теорему Байеса:

P(Заболевание|Положительный тест) = [P(Положительный тест|Заболевание) * P(Заболевание)] / P(Положительный тест)

Где:

P(Положительный тест) = P(Положительный тест|Заболевание) * P(Заболевание) + P(Положительный тест|Без заболевания) * P(Без заболевания)
= 0.99 * 0.01 + 0.01 * 0.99
 = 0.0099 + 0.0099
 = 0.0198

Таким образом, вероятность того, что человек действительно болен после положительного теста, равна:

P(Заболевание|Положительный тест) = [0.99 * 0.01] / 0.0198 = 0.0099 / 0.0198 = 0.5

Обзор статистики

Когда мы переходим от вероятности к статистике, мы сосредотачиваем внимание на сборе, анализе и интерпретации данных. В статистике существуют некоторые основные понятия:

Описательная статистика

Описательная статистика суммирует характеристики набора данных. Они могут предоставлять простые сводки о выборках и измерениях. Вот некоторые ключевые термины:

  • Среднее: Среднее значение набора данных.
  • Медиана: Среднее значение, когда данные отсортированы.
  • Мода: Значение, которое встречается чаще всего.
  • Дисперсия: Это мера того, насколько значения в наборе данных различаются от среднего.
  • Стандартное отклонение: Квадратный корень из дисперсии, показывающий, насколько значения разбросаны относительно среднего.

Инференциальная статистика

Инференциальная статистика позволяет нам делать прогнозы или выводы о совокупности на основе выборки данных. Это включает в себя оценку параметров совокупности, проверку гипотез и построение прогнозов.

Пример

Допустим, у нас есть следующий набор данных, показывающий результаты тестов группы из 10 студентов:

Результаты тестов: 82, 90, 76, 88, 95, 79, 84, 92, 78, 81

Мы можем вычислить среднее, медиану и моду следующим образом:

  • Среднее: сумма значений, деленная на число наблюдений:
    Среднее = (82 + 90 + 76 + 88 + 95 + 79 + 84 + 92 + 78 + 81) / 10 = 84.5
  • Медиана: Среднее значение, когда данные расположены в порядке возрастания:
    Отсортированные результаты: 76, 78, 79, 81, 82, 84, 88, 90, 92, 95
     Медиана = (82 + 84) / 2 = 83
  • Мода: Наиболее частый результат:
    Моды нет (все результаты встречаются только 1 раз)

Распределения вероятностей

Распределения вероятностей описывают, как вероятности различных исходов распределены в пространстве выборки. Нормальные распределения включают:

Дискретное распределение

  • Биномиальное распределение: Описывает число успехов в фиксированном числе независимых испытаний Бернулли (например, подбрасывание монеты).
  • Распределение Пуассона: Описывает число событий, которые происходят в определенном интервале времени или пространства.

Непрерывное распределение

  • Нормальное распределение: Также известное как распределение Гаусса, это кривая в форме колокола, симметричная относительно среднего (например, рост людей).
  • Экспоненциальное распределение: Описывает время между событиями в процессе Пуассона.

Заключение

Вероятность и статистика вместе образуют фундаментальную часть математики, которая помогает понимать и справляться с неопределенностью. От прогнозирования исходов на основе вероятностных моделей до анализа реальных данных с помощью статистических методов, эти области предоставляют мощные инструменты для принятия решений в различных сферах, таких как бизнес, инженерия, здравоохранение и многое другое. Понимание основных концепций, таких как пространство исходов, события, правила вероятности и статистические меры, позволяет эффективно интерпретировать данные и делать выводы, которые направляют действия. По мере углубления в каждую тему станет очевидна математическая элегантность и практические приложения, демонстрирующие богатство и полезность вероятности и статистики в реальном мире.


Докторантура → 8


U
username
0%
завершено в Докторантура

← предыдущая (7.3.2)
Согласованность и полнота
следующая (8.1) →
Теория вероятностей

комментарии 



Вероятность и статистика

https://www.buddymath.com/phd/8?bmal=ru