Doutorado
  1. Compreendendo Álgebra  1.1. Teoria dos grupos  1.1.1. Propriedades básicas dos grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Classes laterais e o teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normais  1.1.5. Grupo quociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introdução aos grupos livres  1.1.9. O que são atividades em grupo?  1.1.10. Grupos simples e solucionáveis  1.2. Teoria dos anéis  1.2.1. Anéis e ideais  1.2.2. Introdução aos homomorfismos de anéis  1.2.3. Aneis polinomiais  1.2.4. Domínios de ideais principais  1.2.5. Domínios de Fatoração Única  1.2.6. Anéis noetherianos  1.2.7. Anéis Artinianos  1.3. Teoria dos Campos  1.3.1. Extensões de corpos  1.3.2. Divisão de área  1.3.3. Teoria de Galois  1.3.4. Fechamento algébrico na teoria dos corpos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensão transcendental  1.4. Teoria dos módulos  1.4.1. Módulos sobre anéis  1.4.2. Módulos livres  1.4.3. Homomorfismo de módulo  1.4.4. Módulos simples e semi-simples  1.4.5. Módulos projetivos  1.4.6. Módulos Injetivos  1.5. Álgebra linear  1.5.1. Espaço vetorial  1.5.2. Transformações lineares  1.5.3. Entendendo Autovalores e Autovetores  1.5.4. Forma canônica  1.5.5. Espaço de produto interno  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Decomposição em valores singulares
  2. Compreendendo a Análise Matemática  2.1. Análise real  2.1.1. Números reais e completude  2.1.2. Introdução a sequências e séries  2.1.3. Continuidade em análise real  2.1.4. Diferenciação em análise real  2.1.5. Integração de Riemann  2.1.6. Introdução aos espaços métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análise Complexa  2.2.1. Números complexos  2.2.2. Funções analíticas  2.2.3. Integração de contorno  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema do Resíduo  2.2.6. Mapeamento conformal  2.3. Análise Funcional  2.3.1. Compreendendo locais padrão  2.3.2. Introdução aos espaços de Banach  2.3.3. Espaços de Hilbert  2.3.4. Operadores lineares  2.3.5. Teoria espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoria da Medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medição e integrais na teoria da medida  2.4.3. Integração de Lebesgue  2.4.4. Teorema da Convergência  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análise Harmônica  2.5.1. Séries de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoria da distribuição  2.5.4. Wavelets
  3. Topologia  3.1. Topologia geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Continuidade  3.1.3. Introdução à compacidade  3.1.4. Conectividade na topologia geral  3.1.5. Topologia métrica  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoria da homotopia  3.2.3. Teoria da homologia  3.2.4. Cohomologia  3.2.5. Sequência exata  3.3. Topologia diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espaço tangente  3.3.3. Campos vetoriais  3.3.4. Compreendendo Formas Diferenciais
  4. Geometria  4.1. Geometria diferencial  4.1.1. Curvas e superfícies na geometria diferencial  4.1.2. Geometria Riemanniana  4.1.3. Compreendendo geodésicas na geometria diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometria algébrica  4.2.1. Variedades afins e projetivas  4.2.2. Planos  4.2.3. Separadores e interseções  4.2.4. Cohomologia na geometria algébrica  4.3. Geometria Computacional  4.3.1. Introdução às coberturas convexas na geometria computacional  4.3.2. Triangulação  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoria dos números  5.1. Teoria dos números elementar  5.1.1. Divisibilidade na teoria elementar dos números  5.1.2. Congruência na teoria dos números elementar  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoria analítica dos números  5.2.1. Teorema dos números primos  5.2.2. Séries de Dirichlet  5.2.3. Zeta e funções L  5.3. Teoria dos números algébricos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introdução aos ideais na teoria algébrica dos números  5.3.3. Grupos de classes em teoria algébrica dos números  5.3.4. Representação de Galois
  6. Companhia  6.1. Combinatória computacional  6.1.1. Função Geradora  6.1.2. Relação de recorrência  6.1.3. Permanência e combinação  6.2. Teoria dos grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planaridade em teoria dos grafos  6.2.3. Coloração de grafos  6.3. Combinatória extrema  6.3.1. Teoria de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos em combinatória extrema  6.4. Combinatória algébrica  6.4.1. Métodos de matrizes em combinatória algébrica  6.4.2. Teoria da Representação
  7. Argumentos e fundamentos  7.1. Teoria dos conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinais e cardinais  7.2. Introdução à teoria dos modelos  7.2.1. Estruturas e teorias na teoria dos modelos  7.2.2. Teorema da compacidade  7.3. Teoria da prova  7.3.1. Sistemas formais  7.3.2. Consistência e completude
  8. Probabilidade e Estatística  8.1. Teoria da probabilidade  8.1.1. Variáveis aleatórias  8.1.2. Expectativa e variação  8.1.3. Teorema do limite central  8.2. Processos estocásticos  8.2.1. Cadeias de Markov  8.2.2. Movimento browniano  8.3. Inferência estatística  8.3.1. Teste de hipóteses  8.3.2. Análise de regressão
  9. Matemática aplicada  9.1. Análise numérica em matemática aplicada  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolação  9.1.3. Análise de erros  9.2. Equações diferenciais parciais  9.2.1. Equação elíptica  9.2.2. Equação parabólica  9.2.3. Equações hiperbólicas  9.3. Sistemas dinâmicos  9.3.1. Teoria do Caos  9.3.2. Análise de estabilidade em sistemas dinâmicos

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Probabilidade e Estatística


Introdução

Probabilidade e estatística são dois ramos importantes da matemática que estão muito estreitamente entrelaçados. Probabilidade é o estudo da aleatoriedade e incerteza, e fornece uma maneira de prever a probabilidade de vários resultados em situações incertas. Estatística é a ciência de coletar, analisar, interpretar, apresentar e organizar dados. Juntas, essas áreas nos ajudam a fazer previsões, testar hipóteses e tomar decisões baseadas em dados.

Compreendendo a Probabilidade

A probabilidade mede quão provável é a ocorrência de um evento. É um número entre 0 e 1, onde 0 indica que um evento não pode ocorrer e 1 indica que é certo que ocorrerá. A probabilidade pode ser expressa como:

P(Evento) = Número de resultados favoráveis / Número total de resultados possíveis

Exemplo de Probabilidade

Considere o exemplo simples de jogar uma moeda justa. Existem dois resultados possíveis: cara ou coroa. A probabilidade de cara é:

P(Cara) = 1 / 2 = 0.5

Da mesma forma, a probabilidade de obter coroa também é 0.5. Também podemos representá-lo assim:

Cara Coroa 0.5 0.5

Conceitos Básicos de Probabilidade

Existem vários conceitos fundamentais em probabilidade que você deve entender:

  • Experimento: Um processo que leva a um ou mais resultados. Por exemplo, jogar dados ou tirar uma carta.
  • Espaço amostral: O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento. Por exemplo, {1, 2, 3, 4, 5, 6} para um dado de seis lados.
  • Evento: Um subconjunto de resultados do espaço amostral. Pode ser um único resultado ou múltiplos resultados.
  • Eventos Complementares: Eventos que não fazem parte do evento original. Por exemplo, se o evento A for obter um número par, então o evento complementar é obter um número ímpar. A probabilidade de eventos complementares é dada por:
P(A') = 1 - P(A)

Exemplo de Eventos Complementares

Se jogarmos um dado de 6 lados, a probabilidade de obter um número maior que 4 (ou seja, 5 ou 6) é:

P(Número > 4) = 2/6 = 1/3

Assim, a probabilidade de que o número obtido não seja maior que 4 é:

P(Número ≤ 4) = 1 - P(Número > 4) = 1 - 1/3 = 2/3

Probabilidade Condicional

Probabilidade condicional é a probabilidade de um evento ocorrer, dado que outro evento já ocorreu. É representada como P(A|B), que é lido como a probabilidade de A dado B.

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

Exemplo de Probabilidade Condicional

Suponha que você tenha um baralho de 52 cartas e queira encontrar a probabilidade de que uma carta retirada seja um rei, dado que ela é vermelha. A probabilidade de retirar um rei (A) e a probabilidade de a carta ser vermelha (B) são:

P(Rei) = 4/52 = 1/13
 P(Vermelha) = 26/52 = 1/2

Como há 2 reis entre as 26 cartas vermelhas, temos:

P(Rei ∩ Vermelha) = 2/52 = 1/26

Assim, a probabilidade condicional é:

P(Rei | Vermelha) = P(Rei ∩ Vermelha) / P(Vermelha) = (1/26) / (1/2) = 2/26 = 1/13

Lei da Probabilidade Total e Teorema de Bayes

Lei da Probabilidade Total

A lei da probabilidade total é usada para calcular a probabilidade de um evento considerando todas as formas possíveis de o evento ocorrer. Ela afirma que se B1, B2, ..., Bn são eventos mutuamente exclusivos que formam uma partição do espaço amostral, então:

P(A) = P(A ∩ B1) + P(A ∩ B2) + ... + P(A ∩ Bn)

Usando probabilidade condicional, isso pode ser escrito como:

P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + ... + P(A|Bn)P(Bn)

Teorema de Bayes

O teorema de Bayes é uma ferramenta poderosa em probabilidade que nos permite inverter probabilidades condicionais. Ele é dado como:

P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / P(B)

Exemplo do Teorema de Bayes

Suponha que 1% da população sofra de uma determinada doença e que haja um exame disponível para essa doença com 99% de precisão.

  • P(doença) = 0.01 (1% têm a doença)
  • P(não doença) = 0.99
  • P(teste positivo|doença) = 0.99
  • P(teste positivo|não doença) = 0.01 (taxa de falso positivo)

Para encontrar a probabilidade de que uma pessoa realmente tenha a doença dado um resultado positivo no teste, use o teorema de Bayes:

P(Doença|Teste Positivo) = [P(Teste Positivo|Doença) * P(Doença)] / P(Teste Positivo)

Onde:

P(Teste Positivo) = P(Teste Positivo|Doença) * P(Doença) + P(Teste Positivo|Não Doença) * P(Não Doença)
= 0.99 * 0.01 + 0.01 * 0.99
 = 0.0099 + 0.0099
 = 0.0198

Assim, a probabilidade de que uma pessoa realmente tenha a doença após um resultado positivo no teste é:

P(Doença|Teste Positivo) = [0.99 * 0.01] / 0.0198 = 0.0099 / 0.0198 = 0.5

Visão Geral da Estatística

À medida que avançamos de probabilidade para estatística, focamos mais na coleta, análise e interpretação de dados. Alguns dos conceitos básicos em estatística são os seguintes:

Estatísticas Descritivas

Estatísticas descritivas resumem as características de um conjunto de dados. Elas podem fornecer resumos simples sobre amostras e medições. Aqui estão alguns termos chave:

  • Média: A média de um conjunto de dados.
  • Mediana: O valor do meio quando os dados são ordenados.
  • Moda: O valor que aparece mais frequentemente.
  • Variância: Esta é uma medida de quanto os valores em um conjunto de dados variam em relação à média.
  • Desvio padrão: A raiz quadrada da variância, que mostra quão dispersos estão os valores ao redor da média.

Estatísticas Inferenciais

A estatística inferencial permite-nos fazer previsões ou inferências sobre uma população com base em uma amostra de dados. Isso inclui estimar parâmetros populacionais, testar hipóteses e fazer previsões.

Exemplo

Suponha que temos o seguinte conjunto de dados mostrando as notas de teste de um grupo de 10 alunos:

Notas de Teste: 82, 90, 76, 88, 95, 79, 84, 92, 78, 81

Podemos calcular a média, mediana e moda da seguinte forma:

  • Média: soma das notas, dividida pelo número de observações:
    Média = (82 + 90 + 76 + 88 + 95 + 79 + 84 + 92 + 78 + 81) / 10 = 84.5
  • Mediana: A nota do meio quando os dados são organizados em ordem crescente:
    Notas Ordenadas: 76, 78, 79, 81, 82, 84, 88, 90, 92, 95
     Mediana = (82 + 84) / 2 = 83
  • Moda: Nota Mais Frequente:
    Moda = Nenhuma (todas as notas aparecem apenas uma vez)

Distribuições de Probabilidade

Distribuições de probabilidade descrevem como as probabilidades de diferentes resultados são distribuídas no espaço amostral. Distribuições normais incluem:

Distribuição Discreta

  • Distribuição Binomial: Descreve o número de sucessos em um número fixo de testes bernoulli independentes (por exemplo, jogar uma moeda).
  • Distribuição de Poisson: Descreve o número de eventos que ocorrem em um determinado intervalo de tempo ou espaço.

Distribuição Contínua

  • Distribuição Normal: Também conhecida como distribuição Gaussiana, é uma curva em forma de sino que é simétrica em relação à média (por exemplo, altura das pessoas).
  • Distribuição Exponencial: Descreve o tempo entre eventos em um processo de Poisson.

Conclusão

A probabilidade e a estatística juntas formam uma parte fundamental da matemática que ajuda a entender e lidar com a incerteza. Desde prever resultados com base em modelos de probabilidade até analisar dados do mundo real com técnicas estatísticas, essas áreas fornecem ferramentas poderosas para a tomada de decisões em diversos campos como negócios, engenharia, saúde e mais. Com a compreensão de conceitos básicos como espaço amostral, eventos, regras de probabilidade e medidas estatísticas, é possível interpretar dados de forma eficaz e tirar conclusões que orientam ações. À medida que você se aprofundar em cada tópico, a elegância matemática e as aplicações práticas se tornarão aparentes, demonstrando a riqueza e a utilidade da probabilidade e estatística no mundo real.


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