Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

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Probabilidad y Estadística


Introducción

La probabilidad y la estadística son dos ramas importantes de las matemáticas que están muy estrechamente entrelazadas. La probabilidad es el estudio del azar y la incertidumbre, y proporciona una forma de prever la probabilidad de varios resultados en situaciones inciertas. La estadística es la ciencia de recopilar, analizar, interpretar, presentar y organizar datos. Juntas, estas áreas nos ayudan a hacer predicciones, probar hipótesis y tomar decisiones basadas en datos.

Entendiendo la Probabilidad

La probabilidad mide qué tan probable es que ocurra un evento. Es un número entre 0 y 1, donde 0 indica que un evento no puede ocurrir y 1 indica que está seguro que ocurra. La probabilidad se puede expresar como:

P(Evento) = Número de resultados favorables / Número total de resultados posibles

Ejemplo de Probabilidad

Considera el simple ejemplo de lanzar una moneda justa. Hay dos posibles resultados: cara o cruz. La probabilidad de obtener cara es:

P(Cara) = 1 / 2 = 0.5

De igual manera, la probabilidad de obtener cruz también es 0.5. También podemos representarlo así:

Cara Cruz 0.5 0.5

Conceptos Básicos de Probabilidad

Hay varios conceptos fundamentales en probabilidad que deberías entender:

  • Experimento: Un proceso que lleva a uno o más resultados. Por ejemplo, lanzar un dado o extraer una carta.
  • Espacio muestral: El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Por ejemplo, {1, 2, 3, 4, 5, 6} para un dado de seis caras.
  • Evento: Un subconjunto de resultados del espacio muestral. Puede ser un único resultado o múltiples resultados.
  • Eventos Complementarios: Eventos que no son parte del evento original. Por ejemplo, si el evento A es obtener un número par, entonces el evento complementario es obtener un número impar. La probabilidad de eventos complementarios se da por:
P(A') = 1 - P(A)

Ejemplo de Eventos Complementarios

Si lanzamos un dado de 6 caras, la probabilidad de obtener un número mayor que 4 (es decir, 5 o 6) es:

P(Número > 4) = 2/6 = 1/3

Así, la probabilidad de que el número obtenido no sea mayor que 4 es:

P(Número ≤ 4) = 1 - P(Número > 4) = 1 - 1/3 = 2/3

Probabilidad Condicional

La probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento, dado que ya ha ocurrido otro evento. Se representa como P(A|B), que se lee como la probabilidad de A dado B.

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

Ejemplo de Probabilidad Condicional

Supón que tienes un mazo de 52 cartas y quieres encontrar la probabilidad de que una carta extraída sea un rey, dado que es roja. La probabilidad de extraer un rey (A) y la probabilidad de la carta siendo roja (B) son:

P(Rey) = 4/52 = 1/13
 P(Roja) = 26/52 = 1/2

Dado que hay 2 reyes entre las 26 cartas rojas, tenemos:

P(Rey ∩ Roja) = 2/52 = 1/26

Por lo tanto, la probabilidad condicional es:

P(Rey | Roja) = P(Rey ∩ Roja) / P(Roja) = (1/26) / (1/2) = 2/26 = 1/13

La Ley de la Probabilidad Total y el Teorema de Bayes

La Ley de la Probabilidad Total

La ley de la probabilidad total se usa para calcular la probabilidad de un evento considerando todas las formas posibles en que puede ocurrir. Afirma que si B1, B2, ..., Bn son eventos mutuamente excluyentes que forman una partición del espacio muestral, entonces:

P(A) = P(A ∩ B1) + P(A ∩ B2) + ... + P(A ∩ Bn)

Usando probabilidad condicional, esto puede escribirse como:

P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + ... + P(A|Bn)P(Bn)

Teorema de Bayes

El teorema de Bayes es una herramienta poderosa en la probabilidad que nos permite invertir probabilidades condicionales. Se da como:

P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / P(B)

Ejemplo del Teorema de Bayes

Supón que el 1% de una población sufre de una enfermedad particular y hay una prueba disponible para esta enfermedad que es 99% precisa.

  • P(enfermedad) = 0.01 (1% tiene la enfermedad)
  • P(no enfermedad) = 0.99
  • P(prueba positiva|enfermedad) = 0.99
  • P(prueba positiva|no enfermedad) = 0.01 (tasa de falsos positivos)

Para encontrar la probabilidad de que una persona realmente tenga la enfermedad dado un resultado positivo en la prueba, usa el teorema de Bayes:

P(Enfermedad|Prueba Positiva) = [P(Prueba Positiva|Enfermedad) * P(Enfermedad)] / P(Prueba Positiva)

Donde:

P(Prueba Positiva) = P(Prueba Positiva|Enfermedad) * P(Enfermedad) + P(Prueba Positiva|No Enfermedad) * P(No Enfermedad)
= 0.99 * 0.01 + 0.01 * 0.99
 = 0.0099 + 0.0099
 = 0.0198

Así, la probabilidad de que una persona realmente tenga la enfermedad después de un resultado positivo en la prueba es:

P(Enfermedad|Prueba Positiva) = [0.99 * 0.01] / 0.0198 = 0.0099 / 0.0198 = 0.5

Resumen de Estadísticas

A medida que pasamos de la probabilidad a la estadística, nos enfocamos más en la recopilación, análisis e interpretación de datos. Algunos de los conceptos básicos en estadística son los siguientes:

Estadísticas Descriptivas

Las estadísticas descriptivas resumen las características de un conjunto de datos. Pueden proporcionar resúmenes simples sobre muestras y mediciones. Aquí hay algunos términos clave:

  • Media: El promedio de un conjunto de datos.
  • Mediana: El valor medio cuando los datos están ordenados.
  • Moda: El valor que aparece con más frecuencia.
  • Varianza: Esta es una medida de cuánto varían los valores en un conjunto de datos respecto a la media.
  • Desviación estándar: La raíz cuadrada de la varianza, que muestra qué tan dispersos están los valores alrededor de la media.

Estadísticas Inferenciales

Las estadísticas inferenciales nos permiten hacer predicciones o inferencias sobre una población basada en una muestra de datos. Esto incluye estimar parámetros poblacionales, probar hipótesis y hacer predicciones.

Ejemplo

Supón que tenemos el siguiente conjunto de datos que muestra las calificaciones de prueba de un grupo de 10 estudiantes:

Calificaciones de Prueba: 82, 90, 76, 88, 95, 79, 84, 92, 78, 81

Podemos calcular la media, mediana y moda de la siguiente manera:

  • Media: suma de calificaciones, dividida por el número de observaciones:
    Media = (82 + 90 + 76 + 88 + 95 + 79 + 84 + 92 + 78 + 81) / 10 = 84.5
  • Mediana: La calificación media cuando los datos están ordenados en orden ascendente:
    Calificaciones Ordenadas: 76, 78, 79, 81, 82, 84, 88, 90, 92, 95
     Mediana = (82 + 84) / 2 = 83
  • Moda: Calificación Más Frecuente:
    Moda = Ninguna (todas las calificaciones aparecen solo una vez)

Distribuciones de Probabilidad

Las distribuciones de probabilidad describen cómo se distribuyen las probabilidades de diferentes resultados en el espacio muestral. Distribuciones normales incluyen:

Distribución Discreta

  • Distribución binomial: Describe el número de éxitos en un número fijo de ensayos Bernoulli independientes (por ejemplo, lanzar una moneda).
  • Distribución de Poisson: Describe el número de eventos que ocurren en un cierto intervalo de tiempo o espacio.

Distribución Continua

  • Distribución normal: También conocida como la distribución Gaussiana, esta es una curva en forma de campana que es simétrica respecto a la media (por ejemplo, la altura de las personas).
  • Distribución exponencial: Describe el tiempo entre eventos en un proceso de Poisson.

Conclusión

La probabilidad y la estadística juntas forman una parte fundamental de las matemáticas que ayuda a entender y lidiar con la incertidumbre. Desde predecir resultados basados en modelos de probabilidad hasta analizar datos del mundo real con técnicas estadísticas, estas áreas proporcionan herramientas poderosas para la toma de decisiones en diversos campos como negocios, ingeniería, atención médica y más. Con un entendimiento de conceptos básicos como espacio muestral, eventos, reglas de probabilidad y medidas estadísticas, uno puede interpretar datos efectivamente y sacar conclusiones que guíen las acciones. A medida que profundices en cada tema, la elegancia matemática y las aplicaciones prácticas se harán evidentes, demostrando la riqueza y utilidad de la probabilidad y las estadísticas en el mundo real.


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