Докторантура
  1. Понимание алгебры  1.1. Теория групп  1.1.1. Основные свойства групп  1.1.2. Подгруппы  1.1.3. Классы смежности и теорема Лагранжа  1.1.4. Нормальные подгруппы  1.1.5. Факторгруппа  1.1.6. Групповые гомоморфизмы  1.1.7. Теорема Силова  1.1.8. Введение в свободные группы  1.1.9. Что такое групповые действия?  1.1.10. Простые и разрешимые группы  1.2. Теория колец  1.2.1. Кольца и идеалы  1.2.2. Введение в гомоморфизмы колец  1.2.3. Кольца многочленов  1.2.4. Области главных идеалов  1.2.5. Уникальные области факторизации  1.2.6. Нетеровы кольца  1.2.7. Артиниевы кольца  1.3. Теория полей  1.3.1. Расширения полей  1.3.2. Деление области  1.3.3. Теория Галуа  1.3.4. Алгебраическое замыкание в теории полей  1.3.5. Конечные поля  1.3.6. Трансцендентальное расширение  1.4. Теория модулей  1.4.1. Модули над кольцами  1.4.2. Свободные модули  1.4.3. Гомоморфизм модуля  1.4.4. Простые и полупростые модули  1.4.5. Проективные модули  1.4.6. Инъективные модули  1.5. Линейная алгебра  1.5.1. Векторное пространство  1.5.2. Линейные преобразования  1.5.3. Понимание собственных чисел и собственных векторов  1.5.4. Каноническая форма  1.5.5. Пространство с внутренним произведением  1.5.6. Теорема о спектральном расщеплении  1.5.7. Разложение по сингулярным значениям
  2. Понимание математического анализа  2.1. Реальный анализ  2.1.1. Действительные числа и полнота  2.1.2. Введение в последовательности и ряды  2.1.3. Непрерывность в теории действительных чисел  2.1.4. Дифференцирование в действительном анализе  2.1.5. Интегрирование по Риману  2.1.6. Введение в метрические пространства  2.1.7. Мера Лебега  2.2. Комплексный анализ  2.2.1. Комплексные числа  2.2.2. Аналитические функции  2.2.3. Контурная интеграция  2.2.4. Теорема Коши  2.2.5. Теорема о вычетах  2.2.6. Конформное отображение  2.3. Функциональный анализ  2.3.1. Понимание стандартных пространств  2.3.2. Введение в пространство БАНАХА  2.3.3. Пространства Гильберта  2.3.4. Линейные операторы  2.3.5. Спектральная теория  2.3.6. Компактные операторы  2.4. Теория меры  2.4.1. Сигма алгебра  2.4.2. Измерение и интегралы в теории меры  2.4.3. Интегрирование по Лебегу  2.4.4. Теорема о сходимости  2.4.5. Теорема Фубини  2.5. Гармонический анализ  2.5.1. Ряд Фурье  2.5.2. Преобразование Фурье  2.5.3. Теория распределений  2.5.4. Вейвлеты
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Непрерывность  3.1.3. Введение в компактность  3.1.4. Связность в общей топологии  3.1.5. Метрика топология  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Фундаментальная группа  3.2.2. Теория гомотопий  3.2.3. Теория гомологии  3.2.4. Когомология  3.2.5. Точная последовательность  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Гладкие многообразия  3.3.2. Тангенциальное пространство  3.3.3. Векторные поля  3.3.4. Понимание дифференциальных форм
  4. Геометрия  4.1. Дифференциальная геометрия  4.1.1. Кривые и поверхности в дифференциальной геометрии  4.1.2. Риманова геометрия  4.1.3. Понимание геодезических линий в дифференциальной геометрии  4.1.4. Кривизна  4.2. Алгебраическая геометрия  4.2.1. Аффинные и проективные многообразия  4.2.2. Планы  4.2.3. Разделители и пересечения  4.2.4. Когомология в алгебраической геометрии  4.3. Вычислительная геометрия  4.3.1. Введение в выпуклые оболочки в вычислительной геометрии  4.3.2. Триангуляция  4.3.3. Диаграмма Вороного  4.3.4. Геометрические алгоритмы
  5. Теория чисел  5.1. Элементарная теория чисел  5.1.1. Делимость в элементарной теории чисел  5.1.2. Сравнимость в элементарной теории чисел  5.1.3. Модульная арифметика  5.2. Аналитическая теория чисел  5.2.1. Теорема о распределении простых чисел  5.2.2. Ряды Дирихле  5.2.3. Зета и L-функции  5.3. Алгебраическая теория чисел  5.3.1. Числовые поля  5.3.2. Введение в идеалы в алгебраической теории чисел  5.3.3. Классы групп в алгебраической теории чисел  5.3.4. Представление Галуа
  6. Товарищество  6.1. Вычислительная комбинаторика  6.1.1. Функция-генератор  6.1.2. Рекуррентные соотношения  6.1.3. Перестановка и сочетание  6.2. Теория графов  6.2.1. Изоморфизм графов  6.2.2. Плоскостность в теории графов  6.2.3. Окраска графов  6.3. Экстремальная комбинаторика  6.3.1. Теория Рамсея  6.3.2. Вероятностные методы в экстремальной комбинаторике  6.4. Алгебраическая комбинаторика  6.4.1. Методы матриц в алгебраической комбинаторике  6.4.2. Теория представлений
  7. Аргументы и основания  7.1. Теория множеств  7.1.1. Аксиомы Цермело-Френкеля  7.1.2. Порядковые и кардинальные числа  7.2. Введение в теорию моделей  7.2.1. Структуры и теории в теории моделей  7.2.2. Теорема компактности  7.3. Теория доказательств  7.3.1. Формальные системы  7.3.2. Согласованность и полнота
  8. Вероятность и статистика  8.1. Теория вероятностей  8.1.1. Случайные величины  8.1.2. Ожидание и вариация  8.1.3. Центральная предельная теорема  8.2. Стохастические процессы  8.2.1. Марковские цепи  8.2.2. Броуновское движение  8.3. Статистическое заключение  8.3.1. Тестирование гипотез  8.3.2. Регрессионный анализ
  9. Прикладная математика  9.1. Численный анализ в прикладной математике  9.1.1. Итеративные методы  9.1.2. Интерполяция  9.1.3. Анализ ошибок  9.2. Уравнения в частных производных  9.2.1. Эллиптическое уравнение  9.2.2. Параболическое уравнение  9.2.3. Гиперболические уравнения  9.3. Динамические системы  9.3.1. Теория хаоса  9.3.2. Анализ устойчивости в динамических системах

Докторантура → Вероятность и статистика ↓


Статистическое заключение


Статистическое заключение — это раздел математики, который занимается выводами о популяциях на основе выборок. Это включает в себя создание предсказаний или обобщений о более крупной группе, изучая меньшую, связанную с ней группу. Статистическое заключение включает в себя множество техник и методов, используемых для анализа данных и вывода значимых выводов. Его основная цель — сделать выводы о свойствах основной распределения, анализируя данные. Это может быть достигнуто путем оценки параметров, проверки гипотез и создания прогнозов.

Основные концепции

Чтобы понять статистическое заключение, нам нужно знать некоторые основные концепции:

  • Популяция: Совокупность всех объектов, которые мы заинтересованы изучать. Это могут быть люди, животные, события или вещи.
  • Выборка: Подмножество популяции, выбранное для представления всей популяции.
  • Параметр: Числовая характеристика популяции, такая как среднее значение или дисперсия.
  • Статистики: Числовые характеристики выборки.

Статистическое заключение позволяет нам делать обоснованные выводы о популяции на основе данных выборки. Например, если нас интересует оценка среднего роста всех взрослых в стране, мы можем измерить рост на репрезентативной выборке и использовать оценку для обобщения на всю популяцию.

Типы статистического заключения

Существуют два основных типа статистического заключения:

  • Оценка: Она включает в себя оценки параметров популяции на основе данных выборки. Существуют два типа оценки:
    • Точечная оценка: Предоставляет одно значение в качестве оценки параметра популяции. Например, использование среднего значения выборки для оценки среднего значения популяции.
    • Интервальная оценка: Предоставляет диапазон значений, в котором предполагается нахождение параметра. Общим примером этого является доверительный интервал.
  • Проверка гипотез: Это включает в себя принятие решений о параметрах популяции. Она проверяет предположение о параметре популяции. Основная идея заключается в тестировании гипотезы путем сравнения ее с данными выборки, затем принятие или отклонение ее на основе доказательств.

Точечная оценка

Точечная оценка включает в себя использование данных выборки для вычисления одного значения, которое служит в качестве оценки неизвестного параметра популяции. Общим точечным оценщиком является среднее значение выборки ((bar{x})), которое используется для оценки среднего значения популяции ((mu)).

[ bar{x} = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} x_i ]

где x_i обозначает отдельные наблюдения выборки, и n — размер выборки.

Доверительный интервал

В отличие от точечной оценки, интервальная оценка предоставляет диапазон значений, которые принимаются с определенной степенью уверенности, чтобы содержать параметр.

Например, доверительный интервал для среднего значения популяции может быть рассчитан, используя среднее значение выборки и стандартное отклонение.

[ CI = bar{x} pm Z_{frac{alpha}{2}} times frac{sigma}{sqrt{n}} ]

где (bar{x}) — это среднее значение выборки, Z_{frac{alpha}{2}} — это Z-значение из стандартного нормального распределения для требуемого уровня доверия, (sigma) — это стандартное отклонение выборки, а n — размер выборки.

Нижняя граница Верхняя граница

Вышеуказанная линия показывает доверительный интервал.

Проверка гипотез

Проверка гипотез — это формальный процесс тестирования наших идей о мире с использованием статистики. Это метод принятия решений с использованием данных, независимо от того, получены они в результате контролируемого эксперимента или наблюдательного исследования (не контролируемого).

Шаги по проверке гипотез

  1. Укажите гипотезы: Это включает в себя нулевую гипотезу (H_0), которая обозначает отсутствие эффекта или статус-кво, и альтернативную гипотезу (H_a), которую вы хотите проверить.
  2. Выберите уровень значимости ((alpha)): Общепринятые значения 0.05, 0.01 и 0.1.
  3. Вычислите тестовую статистику: Это включает использование статистических формул для нахождения значения, которое поможет вам решить, отвергнуть ли нулевую гипотезу.
  4. Определите p-значение: Вероятность наблюдения данного значения в ваших данных или даже более экстремального значения при условии, что нулевая гипотеза истинна.
  5. Сделайте вывод: Если p-значение меньше или равно уровню значимости, отвергните нулевую гипотезу в пользу альтернативной гипотезы. В противном случае не отвергайте нулевую гипотезу.

Пример: Допустим, вы проверяете, является ли новый метод обучения более эффективным, чем традиционный метод.

  • H_0: Новый метод не более эффективен (разница средних оценок = 0).
  • H_a: Новый метод более эффективен (разница средних оценок > 0).

Предположим, ваша тестовая статистика следует нормальному распределению и вы получаете p-значение 0.03. При уровне значимости (alpha = 0.05), поскольку 0.03 < 0.05, вы отвергаете H_0 в пользу H_a. Таким образом, эти данные предоставляют достаточно доказательств, чтобы заключить, что новый метод обучения более эффективен.

Часто используемые тесты и распределения

Различные тесты и статистические распределения часто используются в статистическом заключении.

Нормальное распределение

Нормальное распределение — это непрерывное распределение вероятностей, которое симметрично с обеих сторон от среднего значения. Оно широко используется благодаря теореме центральной предельной, которая говорит, что сумма независимых случайных величин имеет нормальное распределение, независимо от их первоначального распределения.

Означение - +

T-тест

T-тесты используются для определения, существуют ли значимые различия между средними значениями двух групп. Они обычно используются, когда данные соответствуют нормальному распределению и когда дисперсия популяции неизвестна. Общие типы включают:

  • T-тест для одной выборки: Проверяет, отличается ли среднее значение одной группы от известного или предполагаемого значения.
  • Независимый t-тест для двух выборок: Сравнивает средние значения двух независимых групп.
  • T-тест корреляции Пирсона: Проверяет наличие линейной связи между двумя переменными.

Заключение

Статистическое заключение является важной частью анализа данных и выведения выводов о популяции. С техниками, такими как оценивание и проверка гипотез, мы можем лучше понимать наши данные и принимать информированные решения на их основе. Хотя методы могут быть сложными, основные принципы создания выборок, оценки параметров популяции и принятия решений через проверку гипотез остаются неизменными. С практикой и пониманием статистическое заключение может стать мощным инструментом в арсенале математика.


Докторантура → 8.3


U
username
0%
завершено в Докторантура

← предыдущая (8.2.2)
Броуновское движение
следующая (8.3.1) →
Тестирование гипотез

комментарии 



Статистическое заключение

https://www.buddymath.com/phd/8.3?bmal=ru