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सांख्यिकी अनुमान
सांख्यिकी अनुमान गणित की एक शाखा है जो नमूनों के आधार पर जनसंख्या के बारे में निष्कर्ष निकालने का कार्य करती है। इसमें छोटे, संबंधित समूह की जाँच करके बड़े समूह के बारे में पूर्वानुमान या सामान्यीकरण करना शामिल है। सांख्यिकी अनुमान में डेटा का विश्लेषण करने और सार्थक निष्कर्ष निकालने के लिए उपयोग की जाने वाली तकनीकों और कार्यप्रणालियों की एक श्रृंखला शामिल है। इसका मुख्य उद्देश्य डेटा का विश्लेषण करके अंतर्निहित वितरण के गुणधर्मों को अनुमानित करना है। यह मापदंडों का अनुमान लगाकर, परिकल्पनाओं का परीक्षण करके और भविष्यवाणियाँ करके पूरा किया जा सकता है।
मूल अवधारणाएँ
सांख्यिकी अनुमान को समझने के लिए, हमें कुछ मूल अवधारणाएँ जाननी चाहिए:
- जनसंख्या: उन सभी वस्तुओं का संग्रह जिनका हम अध्ययन करने में रुचि रखते हैं। इनमें लोग, जानवर, घटना या वस्तुएँ शामिल हो सकती हैं।
- नमूना: जनसंख्या का एक उपसमूह जो संपूर्ण जनसंख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए चुना जाता है।
- प्राचल: जनसंख्या का एक संख्यात्मक विशेषता, जैसे कि माध्य या प्रसरण।
- सांख्यिकी: नमूने की संख्यात्मक विशेषताएँ।
सांख्यिकी अनुमान हमें नमूना डेटा के आधार पर जनसंख्या के बारे में वैध निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, यदि हम किसी देश में सभी वयस्कों की औसत ऊँचाई का अनुमान लगाना चाहते हैं, तो हम एक प्रतिनिधि नमूने की ऊँचाई को माप सकते हैं और अनुमान का उपयोग पूरे जनसंख्या पर सामान्यीकृत करने के लिए कर सकते हैं।
सांख्यिकी अनुमान के प्रकार
सांख्यिकी अनुमान के दो प्रमुख प्रकार हैं:
- अनुमान: इसमें नमूना डेटा के आधार पर जनसंख्या के प्राचलों का अनुमान लगाना शामिल है। अनुमान के दो प्रकार होते हैं:
- बिंदु अनुमान: जनसंख्या प्राचल के एक अनुमान के रूप में एकल मूल्य प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, जनसंख्या माध्य का अनुमान लगाने के लिए नमूना माध्य का उपयोग करना।
- अंतराल अनुमान: अनुमान के रूप में एक मूल्य श्रेणी प्रदान करता है जिसमें प्राचल होने की उम्मीद होती है। इसका एक सामान्य उदाहरण विश्वास अंतराल है।
- परिकल्पना परीक्षण: यह जनसंख्या प्राचलों के बारे में निर्णय लेने में शामिल होता है। यह जनसंख्या प्राचल के बारे में एक धारणा का परीक्षण करता है। मूल विचार नमूना डेटा से तुलना करके एक परिकल्पना का परीक्षण करना है, फिर इसे संदर्श के आधार पर स्वीकार या अस्वीकार करना।
बिंदु अनुमान
बिंदु अनुमान में नमूना डेटा का उपयोग करके एकल मूल्य की गणना करना शामिल है जो अज्ञात जनसंख्या प्राचल के अनुमान के रूप में कार्य करता है। एक सामान्य बिंदु अनुमानक नमूना माध्य ((bar{x})) है, जिसका उपयोग जनसंख्या माध्य ((mu)) का अनुमान लगाने के लिए होता है।
[ bar{x} = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} x_i ]जहाँ x_i व्यक्तिगत नमूना प्रेक्षणों को दर्शाता है, और n नमूना आकार है।
विश्वास अंतराल
बिंदु अनुमान के विपरीत, अंतराल अनुमान एक श्रेणी प्रदान करता है जिसे कुछ स्तर के विश्वास के साथ प्राचल होने के लिए स्वीकार किया जाता है।
उदाहरण के लिए, जनसंख्या माध्य का विश्वास अंतराल नमूना माध्य और मानक विचलन का उपयोग करके गणना किया जा सकता है।
[ CI = bar{x} pm Z_{frac{alpha}{2}} times frac{sigma}{sqrt{n}} ]जहाँ (bar{x}) नमूना माध्य है, Z_{frac{alpha}{2}} वांछित विश्वास स्तर के लिए मानक सामान्य वितरण से Z-मूल्य है, (sigma) नमूना मानक विचलन है, और n नमूना आकार है।
ऊपर की रेखा विश्वास अंतराल दिखाती है।
परिकल्पना परीक्षण
परिकल्पना परीक्षण हमारे विचारों का सांख्यिकी का उपयोग करके औपचारिक परीक्षण का प्रक्रिया है। यह नियंत्रित प्रयोग या अवलोकन अध्ययन (गैर-नियंत्रित) से डेटा का उपयोग करके निर्णय लेने की एक विधि है।
परिकल्पना परीक्षण के चरण
- परिकल्पनाओं को बताएं: इसमें शून्य परिकल्पना (
H_0) शामिल होती है जो कोई प्रभाव या यथास्थिति का संकेत करती है, और वैकल्पिक परिकल्पना (H_a) जो आप परीक्षण करना चाहते हैं। - महत्व स्तर ((alpha)) का चयन करें: सामान्यतः उपयोग किए जाने वाले मान हैं 0.05, 0.01, और 0.1।
- परीक्षण सांख्यिकी की गणना करें: यह शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करने का निर्णय लेने में सहायता करने के लिए एक मान खोजने के लिए सांख्यिकीय सूत्रों का उपयोग करना शामिल करता है।
- p-मूल्य निर्धारण करें: आपके डेटा में दिए गए मूल्य, या और भी अधिक चरम मूल्य के अवलोकन की संभावना, ये मान्य करते हुए कि शून्य परिकल्पना सत्य है।
- निष्कर्ष निकालें: यदि p-मूल्य महत्वपूर्ण स्तर के बराबर या उससे कम है, तो वैकल्पिक परिकल्पना के पक्ष में शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करें। अन्यथा, शून्य परिकल्पना को अस्वीकार न करें।
उदाहरण: मान लीजिए आप परीक्षण कर रहे हैं कि नई शिक्षण विधि पारंपरिक विधि से अधिक प्रभावी है या नहीं।
H_0:नई विधि अधिक प्रभावी नहीं है (माध्य स्कोर अंतर = 0)।H_a:नई विधि अधिक प्रभावी है (माध्य स्कोर अंतर > 0)।
मान लीजिए आपकी परीक्षण सांख्यिकी एक सामान्य वितरण का पालन करती है और आपको p-मूल्य 0.03 मिलता है। (alpha = 0.05) के महत्व स्तर के साथ, चूंकि 0.03 < 0.05, H_0 को H_a के पक्ष में अस्वीकार करें। इसलिए, यह डेटा यह निष्कर्ष निकालने के लिए पर्याप्त सबूत प्रदान करता है कि नई शिक्षण विधि अधिक प्रभावी है।
आम तौर पर उपयोग किए जाने वाले परीक्षण और वितरण
सांख्यिकी अनुमान में विभिन्न परीक्षण और सांख्यिकीय वितरण आमतौर पर उपयोग किए जाते हैं।
सामान्य वितरण
सामान्य वितरण एक सतत संभाव्यता वितरण है जो माध्य के दोनों ओर सममित होता है। यह व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है क्योंकि केंद्रीय सीमा प्रमेय, जो बताता है कि स्वतंत्र यादृच्छिक चर का योग सामान्य रूप से वितरित होता है, उनके मूल वितरण के बावजूद।
टी-परीक्षण
टी-परीक्षण यह निर्धारित करने के लिए उपयोग किए जाते हैं कि क्या दो समूहों के माध्य में महत्वपूर्ण अंतर है। आमतौर पर इनका उपयोग तब किया जाता है जब डेटा सामान्य वितरण का पालन करता है और जब जनसंख्या विचलन अज्ञात होता है। सामान्य प्रकारों में शामिल हैं:
- एक-नमूना टी-परीक्षण: यह परीक्षण करता है कि क्या एकल समूह का माध्य ज्ञात या अनुमानित मूल्य से महत्वपूर्ण रूप से भिन्न है।
- स्वतंत्र दो-नमूना टी-परीक्षण: दो स्वतंत्र समूहों के माध्यों की तुलना करता है।
- पियर्सन का सहसंबंध टी-परीक्षण: दो चरों के बीच रैखिक संबंध के लिए परीक्षण करता है।
निष्कर्ष
सांख्यिकी अनुमान डेटा का विश्लेषण करने और जनसंख्या के बारे में निष्कर्ष निकालने का एक आवश्यक हिस्सा है। जैसे कि अनुमान और परिकल्पना परीक्षण की तकनीकों के साथ, हम अपने डेटा के बारे में अधिक समझ सकते हैं और उसके आधार पर सूचित निर्णय ले सकते हैं। जबकि तरीके जटिल हो सकते हैं, नमूने बनाना, जनसंख्या प्राचलों का अनुमान लगाना, और परिकल्पना परीक्षण के माध्यम से निर्णय लेना के मौलिक सिद्धांत स्थिर रहते हैं। अभ्यास और समझ के साथ, सांख्यिकी अनुमान गणितज्ञ के टूलकिट में एक शक्तिशाली उपकरण बन सकता है।
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