Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

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Inferencia estadística


La inferencia estadística es una rama de las matemáticas que se ocupa de sacar conclusiones sobre poblaciones basándose en muestras. Involucra hacer predicciones o generalizaciones sobre un grupo más grande examinando un grupo más pequeño y relacionado. La inferencia estadística incluye una gama de técnicas y metodologías utilizadas para analizar datos y sacar conclusiones significativas. Su principal propósito es inferir las propiedades de la distribución subyacente analizando los datos. Esto se puede lograr mediante la estimación de parámetros, la prueba de hipótesis y la realización de predicciones.

Conceptos básicos

Para entender la inferencia estadística, necesitamos conocer algunos conceptos básicos:

  • Población: La colección de todos los ítems que nos interesa estudiar. Esto podría ser personas, animales, eventos o cosas.
  • Muestra: Un subconjunto de una población que se selecciona para representar a toda la población.
  • Parámetro: Una característica numérica de una población, como la media o la varianza.
  • Estadísticas: Características numéricas de una muestra.

La inferencia estadística nos permite sacar conclusiones válidas sobre una población basándonos en datos de muestra. Por ejemplo, si estamos interesados en estimar la altura promedio de todos los adultos en un país, podemos medir la altura de una muestra representativa y usar la estimación para generalizar a toda la población.

Tipos de inferencia estadística

Hay dos tipos principales de inferencia estadística:

  • Estimación: Involucra estimar los parámetros de la población basándose en los datos muestrales. Hay dos tipos de estimación:
    • Estimación puntual: Proporciona un único valor como estimación de un parámetro poblacional. Por ejemplo, usar la media de la muestra para estimar la media poblacional.
    • Estimación por intervalo: Proporciona un rango de valores dentro del cual se espera que se encuentre el parámetro. Un ejemplo común de esto es un intervalo de confianza.
  • Prueba de hipótesis: Involucra tomar decisiones sobre parámetros poblacionales. Se prueba una suposición sobre un parámetro poblacional. La idea básica es probar una hipótesis comparándola con los datos muestrales y luego aceptarla o rechazarla basándose en la evidencia.

Estimación puntual

La estimación puntual implica utilizar datos muestrales para calcular un único valor que sirve como estimación de un parámetro poblacional desconocido. Un estimador puntual común es la media de la muestra ((bar{x})), que se usa para estimar la media poblacional ((mu)).

[ bar{x} = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} x_i ]

donde x_i denota las observaciones individuales de la muestra y n es el tamaño de la muestra.

Intervalo de confianza

A diferencia de la estimación puntual, la estimación por intervalo proporciona un rango de valores que se aceptan con cierto nivel de confianza para contener el parámetro.

Por ejemplo, el intervalo de confianza para una media poblacional se puede calcular usando la media de la muestra y la desviación estándar.

[ CI = bar{x} pm Z_{frac{alpha}{2}} times frac{sigma}{sqrt{n}} ]

donde (bar{x}) es la media de la muestra, Z_{frac{alpha}{2}} es el valor Z de la distribución normal estándar para el nivel de confianza deseado, (sigma) es la desviación estándar de la muestra y n es el tamaño de la muestra.

Límite inferior Límite superior

La línea anterior muestra el intervalo de confianza.

Prueba de hipótesis

La prueba de hipótesis es un proceso formal de probar nuestras ideas sobre el mundo usando estadísticas. Es un método de tomar decisiones usando datos, ya sea de un experimento controlado o de un estudio observacional (no controlado).

Pasos de la prueba de hipótesis

  1. Establecer las hipótesis: Esto incluye la hipótesis nula (H_0) que indica no efecto o el status quo, y la hipótesis alternativa (H_a) que deseas probar.
  2. Elegir el nivel de significancia ((alpha)): Los valores comúnmente usados son 0.05, 0.01 y 0.1.
  3. Calcular la estadística de prueba: Esto implica utilizar fórmulas estadísticas para encontrar un valor que te pueda ayudar a decidir si rechazar la hipótesis nula.
  4. Determinar el valor p: La probabilidad de observar un valor dado en tus datos, o un valor aún más extremo, bajo el supuesto de que la hipótesis nula es verdadera.
  5. Sacar una conclusión: Si el valor p es menor o igual que el nivel de significancia, rechazar la hipótesis nula en favor de la hipótesis alternativa. De lo contrario, no rechazar la hipótesis nula.

Ejemplo: Supongamos que estás probando si un nuevo método de enseñanza es más efectivo que un método tradicional.

  • H_0: El método nuevo no es más efectivo (diferencia de puntuación media = 0).
  • H_a: El método nuevo es más efectivo (diferencia de puntuación media > 0).

Supongamos que tu estadística de prueba sigue una distribución normal y obtienes un valor p de 0.03. Con un nivel de significancia de (alpha = 0.05), como 0.03 < 0.05, rechazas H_0 en favor de H_a. Por lo tanto, estos datos proporcionan suficiente evidencia para concluir que el nuevo método de enseñanza es más efectivo.

Pruebas y distribuciones comúnmente utilizadas

Varias pruebas y distribuciones estadísticas se utilizan comúnmente en la inferencia estadística.

Distribución normal

La distribución normal es una distribución de probabilidad continua que es simétrica a ambos lados de la media. Es ampliamente utilizada debido al teorema del límite central, que establece que la suma de variables aleatorias independientes se distribuye normalmente, independientemente de su distribución original.

Media - +

Prueba t

Las pruebas t se usan para determinar si hay diferencias significativas entre las medias de dos grupos. Se utilizan típicamente cuando los datos siguen una distribución normal y cuando la varianza poblacional es desconocida. Los tipos comunes incluyen:

  • Prueba t de una muestra: Esta prueba si la media de un solo grupo es significativamente diferente de un valor conocido o hipotetizado.
  • Prueba t de dos muestras independientes: Compara las medias de dos grupos independientes.
  • Prueba t de correlación de Pearson: Prueba la existencia de una relación lineal entre dos variables.

Conclusión

La inferencia estadística es una parte esencial del análisis de datos y de sacar conclusiones sobre una población. Con técnicas como la estimación y la prueba de hipótesis, podemos entender más sobre nuestros datos y tomar decisiones informadas basándonos en ellos. Si bien los métodos pueden ser complejos, los principios fundamentales de crear muestras, estimar parámetros poblacionales y tomar decisiones mediante pruebas de hipótesis permanecen consistentes. Con práctica y comprensión, la inferencia estadística puede ser una herramienta poderosa en el arsenal de un matemático.


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