回帰分析

回帰分析は、従属変数と1つ以上の独立変数の関係をモデル化し分析するための統計的方法です。これは統計的推測における基本的なツールであり、独立変数の値に基づいて従属変数の値を予測するために広く使用されています。この方法はまた、変数間の関係の強さと性質を理解するのに役立ちます。

回帰分析の紹介

回帰分析の基本は、データセット内のデータポイントを説明する最適合線または曲線を見つけることにあります。この関係は通常、独立変数が従属変数に与える影響の強さを表す係数を持つ方程式として表現されます。

データの種類や検討する関係に応じて、様々な種類の回帰分析があります。最も一般的な種類には以下が含まれます：

• 線形回帰
• 重回帰分析
• 多項式回帰
• ロジスティック回帰

線形回帰

まず線形回帰から始めましょう。これは回帰の中で最も単純な形です。線形回帰では、観測されたデータに線形方程式を当てはめることで、2つの変数間の関係をモデル化しようとします。1つの変数は説明変数（独立変数）と見なされ、もう1つは従属変数と見なされます。

単回帰分析

単回帰分析は、従属変数yと独立変数xとの関係を次の方程式で表します：

y = β₀ + β₁x + ε

• yは予測しようとしている従属変数です。
• β₀はy軸との交点です。
• β₁は直線の傾きです。
• εは誤差項で、モデルが説明しないyの変動を表します。

単回帰分析の例

温度とアイスクリームの販売数の関係を調べていると仮定します。以下はこの関係を示す散布図です：

    
    
    
    
    
    
    
    
    
    temperature
    ice cream sold

グラフ上の各点は1日を表します。私たちの目標は、これらの点すべてに最も適する線を見つけることで、温度が上昇するにつれてより多くのアイスクリームが売れることを示唆することです。この適合線は、観測値と線によって予測された値との二乗偏差の合計を最小化する最小二乗法を用いて推定されます。

重回帰分析

単一の独立変数だけでは従属変数を正確に予測できない場合、重回帰分析を使用します。これは、2つ以上の独立変数（x₁, x₂, ..., xn）を用いて従属変数yを予測します。方程式は次のようになります：

y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... + βnxn + ε

重回帰分析の例

住宅の価格を、ベッドルームの数、住宅の平方フィートサイズ、近隣の品質指数に基づいて予測すると考えてみましょう。モデルは次のようになるかもしれません：

price = β₀ + β₁ * bedrooms + β₂ * size + β₃ * neighborhood + ε

各β係数は、他のすべての予測変数を一定と仮定したときに、予測変数の1単位の変化に関連付けられる住宅価格の変化を推定します。

多項式回帰

多項式回帰は、独立変数xと従属変数yとの関係が曲線である場合に使用される線形回帰の拡張です。多項式回帰方程式は次のように表現されます：

y = β₀ + β₁x + β₂x² + ... + βnxⁿ + ε

多項式回帰の例

多項式回帰の例として、ある植物の成長を時間に沿ってモデル化することが考えられます。成長速度は加速し、成長が成熟するにつれて減速します。

    
    
    
    
    
    
    
    
    
    Time
    Plant growth

ロジスティック回帰

ロジスティック回帰は、1つ以上の予測変数に基づいてバイナリ結果の確率をモデル化するために使用されます。線形回帰とは異なり、ロジスティック回帰では結果変数はカテゴリカルであり、データは2つのカテゴリのいずれかにのみ属するバイナリ結果です。

ロジスティック回帰で使用される数式はロジスティック関数です：

p = 1 / (1 + e^-(β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... + βnxn))

ロジスティック回帰の例

実際的な例として、顧客が製品を購入するか（1）、購入しないか（0）を、所得や年齢といった要因に基づいて判断することが挙げられます。

回帰分析における仮定

回帰分析が有効であるためには、いくつかの仮定が成り立つ必要があります：

• 線形性：独立変数と従属変数の関係は線形でなければなりません。
• 独立性：残差（誤差）は独立していなければなりません。
• 等分散性：残差は独立変数のすべてのレベルで一定の分散を持っているべきです。
• 正規性：残差は正規分布しているべきです。

結論

結論として、回帰分析は変数間の関係を理解するための強力なツールです。データに基づいて予測を行い、洞察を提供するために不可欠です。線形回帰が最も単純な形の回帰分析である一方で、多項式およびロジスティック回帰の広範な文脈を理解することにより、広範な統計推定問題に取り組む包括的なツールキットを提供します。

これらの仮定の枠組みの中で回帰分析を適用することによって、より正確で信頼性の高い予測モデルが得られ、研究者や専門家が実証データに基づいて情報に基づいた意思決定を行うのを助けます。

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