Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

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Pruebas de hipótesis


En la investigación científica, ya sea en campos como la biología, la medicina o las ciencias sociales, a menudo queremos hacer inferencias sobre parámetros poblacionales basándonos en datos de muestras. Aquí es donde técnicas estadísticas como las pruebas de hipótesis se vuelven importantes. Las pruebas de hipótesis son un método estructurado utilizado en estadísticas para determinar si hay suficiente evidencia en una muestra de datos que indique que un efecto o fenómeno particular existe para toda la población.

Introducción a las pruebas de hipótesis

En su núcleo, las pruebas de hipótesis involucran una comparación entre dos hipótesis: la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. La hipótesis nula (denotada como H0) es una afirmación que sugiere que no hay efecto o diferencia, y esta es la hipótesis que los investigadores generalmente quieren probar. La hipótesis alternativa (denotada como Ha o H1) sugiere que sí hay un efecto o diferencia.

Ejemplo:

Suponga que estás interesado en saber si un nuevo medicamento reduce la presión arterial más que un medicamento existente. Tus hipótesis podrían ser:

H0 : El nuevo medicamento no reduce la presión arterial más efectivamente que el medicamento existente.
HA : El nuevo medicamento reduce la presión arterial más efectivamente que el medicamento existente.

Procedimiento para la prueba de hipótesis

El proceso de la prueba de hipótesis puede dividirse en varios pasos principales:

  1. Definir las hipótesis: Formular la hipótesis nula y la alternativa basándose en la pregunta de investigación.
  2. Elegir un nivel de significancia: El nivel de significancia (α) es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera. Valores comunes de α son 0.05, 0.01 y 0.10.
  3. Elegir la prueba adecuada: Escoger una prueba estadística basada en el tipo de datos y la pregunta de investigación. Ejemplos son la prueba t, la prueba chi-cuadrado, ANOVA, etc.
  4. Calcular el estadístico de prueba: Calcular el estadístico de prueba apropiado usando los datos de la muestra.
  5. Tomar una decisión: Comparar el estadístico de prueba calculado con un valor crítico o usar el valor p para decidir si rechazar la hipótesis nula.
  6. Sacar conclusiones: Interpretar los resultados en el contexto de la pregunta de investigación.

Tipos de pruebas de hipótesis

Las pruebas de hipótesis pueden clasificarse según la naturaleza del estudio y el tipo de datos involucrados. Algunos de los tipos comunes de pruebas de hipótesis son los siguientes:

1. Prueba Z

La prueba Z se usa cuando el tamaño de la muestra es grande (generalmente n > 30) y la varianza de la población es conocida. Se utiliza para determinar si hay una diferencia significativa entre las medias de la muestra y la población.

Ejemplo: Suponga que sabe que la altura promedio de hombres adultos en una ciudad es de 170 cm, con una desviación estándar de 10 cm. Si recolecta una muestra de 50 hombres adultos y encuentra que la altura promedio es de 172 cm, puede usar una prueba Z para determinar si esta diferencia es significativa.

2. Prueba t

La prueba t se usa cuando el tamaño de la muestra es pequeño (n ≤ 30) o la varianza de la población es desconocida. Hay diferentes tipos de pruebas t, incluyendo:

  • Prueba t de una muestra: Compara la media de la muestra con la media conocida de la población.
  • Prueba t de dos muestras independientes: Compara las medias de dos grupos diferentes.
  • Prueba t de muestras pareadas: Compara la media del mismo grupo en diferentes momentos.

Ejemplo: Un investigador quiere saber si los estudiantes obtienen mejores resultados en un examen después de una sesión de estudio particular. Compara los resultados de los exámenes antes y después de la sesión usando una prueba t de muestras pareadas.

3. Prueba chi-cuadrado

La prueba chi-cuadrado se usa para comparar datos categóricos. A menudo se utiliza para ver si hay una relación entre dos variables categóricas.

Ejemplo: Un estudio examina si existe una relación entre el género (masculino/femenino) y el gusto (sí/no) por un producto en particular. Una prueba chi-cuadrado puede determinar si el gusto es independiente del género.

4. ANOVA (Análisis de Varianza)

ANOVA se usa para comparar medias entre tres o más grupos. La hipótesis principal es que la media de al menos un grupo es diferente de los demás.

Ejemplo: Un maestro quiere comparar los resultados de los exámenes de estudiantes de tres métodos de enseñanza diferentes. ANOVA ayuda a determinar si el método de enseñanza afecta significativamente los resultados.

Nivel de significancia y valor p

El nivel de significancia (α) es un umbral establecido por el investigador, que determina la probabilidad máxima permitida de cometer un error de Tipo I (rechazar una hipótesis nula verdadera). Un valor p, por otro lado, es la probabilidad de observar el estadístico de prueba o algo más extremo, suponiendo que la hipótesis nula sea verdadera.

Si el valor p es menor o igual a α, rechazamos la hipótesis nula. Si es mayor, no rechazamos la hipótesis nula.

Ejemplo de visualización:

,
,
| Región crítica (región de rechazo si p

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