Doutorado
  1. Compreendendo Álgebra  1.1. Teoria dos grupos  1.1.1. Propriedades básicas dos grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Classes laterais e o teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normais  1.1.5. Grupo quociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introdução aos grupos livres  1.1.9. O que são atividades em grupo?  1.1.10. Grupos simples e solucionáveis  1.2. Teoria dos anéis  1.2.1. Anéis e ideais  1.2.2. Introdução aos homomorfismos de anéis  1.2.3. Aneis polinomiais  1.2.4. Domínios de ideais principais  1.2.5. Domínios de Fatoração Única  1.2.6. Anéis noetherianos  1.2.7. Anéis Artinianos  1.3. Teoria dos Campos  1.3.1. Extensões de corpos  1.3.2. Divisão de área  1.3.3. Teoria de Galois  1.3.4. Fechamento algébrico na teoria dos corpos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensão transcendental  1.4. Teoria dos módulos  1.4.1. Módulos sobre anéis  1.4.2. Módulos livres  1.4.3. Homomorfismo de módulo  1.4.4. Módulos simples e semi-simples  1.4.5. Módulos projetivos  1.4.6. Módulos Injetivos  1.5. Álgebra linear  1.5.1. Espaço vetorial  1.5.2. Transformações lineares  1.5.3. Entendendo Autovalores e Autovetores  1.5.4. Forma canônica  1.5.5. Espaço de produto interno  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Decomposição em valores singulares
  2. Compreendendo a Análise Matemática  2.1. Análise real  2.1.1. Números reais e completude  2.1.2. Introdução a sequências e séries  2.1.3. Continuidade em análise real  2.1.4. Diferenciação em análise real  2.1.5. Integração de Riemann  2.1.6. Introdução aos espaços métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análise Complexa  2.2.1. Números complexos  2.2.2. Funções analíticas  2.2.3. Integração de contorno  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema do Resíduo  2.2.6. Mapeamento conformal  2.3. Análise Funcional  2.3.1. Compreendendo locais padrão  2.3.2. Introdução aos espaços de Banach  2.3.3. Espaços de Hilbert  2.3.4. Operadores lineares  2.3.5. Teoria espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoria da Medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medição e integrais na teoria da medida  2.4.3. Integração de Lebesgue  2.4.4. Teorema da Convergência  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análise Harmônica  2.5.1. Séries de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoria da distribuição  2.5.4. Wavelets
  3. Topologia  3.1. Topologia geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Continuidade  3.1.3. Introdução à compacidade  3.1.4. Conectividade na topologia geral  3.1.5. Topologia métrica  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoria da homotopia  3.2.3. Teoria da homologia  3.2.4. Cohomologia  3.2.5. Sequência exata  3.3. Topologia diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espaço tangente  3.3.3. Campos vetoriais  3.3.4. Compreendendo Formas Diferenciais
  4. Geometria  4.1. Geometria diferencial  4.1.1. Curvas e superfícies na geometria diferencial  4.1.2. Geometria Riemanniana  4.1.3. Compreendendo geodésicas na geometria diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometria algébrica  4.2.1. Variedades afins e projetivas  4.2.2. Planos  4.2.3. Separadores e interseções  4.2.4. Cohomologia na geometria algébrica  4.3. Geometria Computacional  4.3.1. Introdução às coberturas convexas na geometria computacional  4.3.2. Triangulação  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoria dos números  5.1. Teoria dos números elementar  5.1.1. Divisibilidade na teoria elementar dos números  5.1.2. Congruência na teoria dos números elementar  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoria analítica dos números  5.2.1. Teorema dos números primos  5.2.2. Séries de Dirichlet  5.2.3. Zeta e funções L  5.3. Teoria dos números algébricos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introdução aos ideais na teoria algébrica dos números  5.3.3. Grupos de classes em teoria algébrica dos números  5.3.4. Representação de Galois
  6. Companhia  6.1. Combinatória computacional  6.1.1. Função Geradora  6.1.2. Relação de recorrência  6.1.3. Permanência e combinação  6.2. Teoria dos grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planaridade em teoria dos grafos  6.2.3. Coloração de grafos  6.3. Combinatória extrema  6.3.1. Teoria de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos em combinatória extrema  6.4. Combinatória algébrica  6.4.1. Métodos de matrizes em combinatória algébrica  6.4.2. Teoria da Representação
  7. Argumentos e fundamentos  7.1. Teoria dos conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinais e cardinais  7.2. Introdução à teoria dos modelos  7.2.1. Estruturas e teorias na teoria dos modelos  7.2.2. Teorema da compacidade  7.3. Teoria da prova  7.3.1. Sistemas formais  7.3.2. Consistência e completude
  8. Probabilidade e Estatística  8.1. Teoria da probabilidade  8.1.1. Variáveis aleatórias  8.1.2. Expectativa e variação  8.1.3. Teorema do limite central  8.2. Processos estocásticos  8.2.1. Cadeias de Markov  8.2.2. Movimento browniano  8.3. Inferência estatística  8.3.1. Teste de hipóteses  8.3.2. Análise de regressão
  9. Matemática aplicada  9.1. Análise numérica em matemática aplicada  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolação  9.1.3. Análise de erros  9.2. Equações diferenciais parciais  9.2.1. Equação elíptica  9.2.2. Equação parabólica  9.2.3. Equações hiperbólicas  9.3. Sistemas dinâmicos  9.3.1. Teoria do Caos  9.3.2. Análise de estabilidade em sistemas dinâmicos

Doutorado → Probabilidade e Estatística → Processos estocásticos ↓


Movimento browniano


O movimento browniano, nomeado em homenagem ao botânico Robert Brown, é um conceito fundamental em processos estocásticos, usado para modelar sistemas aleatórios que evoluem ao longo do tempo. O conceito tem uma rica história e é importante no estudo de probabilidade e estatística em um nível avançado, como em um programa de doutorado em matemática.

Introdução histórica

O movimento browniano foi observado pela primeira vez por Robert Brown em 1827, quando ele observou o movimento irregular e aleatório de grãos de pólen na água. Essa observação era intrigante na época, mas foi posteriormente entendida como o resultado de colisões entre moléculas de água e grãos de pólen. Em 1905, Albert Einstein forneceu um modelo teórico para explicar o movimento browniano, que apoiou a teoria atômica da matéria e permitiu a estimativa do número de Avogadro, o que foi importante em física e química.

Definição matemática

Em termos matemáticos, o movimento browniano é um processo estocástico de tempo contínuo que exibe certas propriedades. A definição formal envolve formular o movimento browniano como uma família de variáveis aleatórias { B(t), t ≥ 0}, onde B(0) = 0, e ele satisfaz as seguintes propriedades:

  • Incrementos independentes: Para qualquer 0 ≤ s < t, o incremento B(t) - B(s) é normalmente distribuído com média 0 e variância ts, e é independente de incrementos anteriores.
  • Continuidade: os caminhos do processo são contínuos em relação ao tempo t.
  • Distribuição Gaussiana: B(t) é normalmente distribuído, o que significa B(t) ~ N(0, t).
  • Crescimento estacionário: a distribuição de B(t) - B(s) depende somente da diferença de tempo ts.

Visualização do movimento browniano

O caminho browniano pode ser entendido como o caminho traçado por uma partícula suspensa em um meio líquido, que é continuamente bombardeada pelas moléculas do líquido. Aqui está uma representação simples:

Este gráfico de linhas é uma versão estilizada de um caminho browniano. Observe como o movimento parece irregular, refletindo a aleatoriedade inerente ao processo.

Exemplo matemático

Para entender o movimento browniano com mais profundidade, vamos considerar algumas propriedades matemáticas e ver como elas funcionam na prática.

Exemplo 1: Calculando a variância

Suponha que queremos calcular a variância do movimento browniano no tempo t. Pelas propriedades, a variância de B(t) é igual a t. Pode ser expressa como:

Var(B(t)) = E[(B(t))^2] - (E[B(t)])^2 = t

onde E denota a expectativa da variável aleatória.

Exemplo 2: Distribuição de aumentos salariais

Considere dois tempos 0 ≤ s < t O incremento B(t) - B(s) é normalmente distribuído da seguinte forma:

B(t) - B(s) ~ N(0, ts)

Isto significa que, independentemente do valor de s, o incremento depende apenas de ts.

Aplicações do movimento browniano

Física

Na física, o movimento browniano desempenha um papel importante na compreensão do comportamento molecular em fluidos. Ele apoia a teoria cinética dos gases, fornecendo confirmação direta do movimento e colisão de moléculas.

Finanças

Uma área principal onde o movimento browniano encontra aplicação é nas finanças, particularmente na modelagem de preços de ações. O modelo de Bachelier e o modelo de Black-Scholes usam o movimento browniano para representar o comportamento aleatório dos preços dos ativos. Esses conceitos têm sido importantes na precificação de opções e gestão de risco.

Para modelar o preço da ação S(t) usando o movimento browniano, uma equação diferencial estocástica é frequentemente usada:

dS(t) = μS(t)dt + σS(t)dB(t)

Aqui, μ é o drift, e σ representa a volatilidade.

Biologia

Na biologia, o movimento browniano é usado para modelar e entender o movimento aleatório de partículas como pólen ou microrganismos em um meio líquido. Ele oferece insights sobre processos celulares e pode ajudar a modelar vários processos de difusão em contextos biológicos.

Técnicas analíticas

Função densidade de probabilidade

A função densidade de probabilidade (PDF) do processo de movimento browniano no tempo t pode ser obtida a partir de sua distribuição, que é normal:

f(x, t) = (1 / √(2πt)) * exp(-x² / (2t))

Esta PDF mostra que os valores assumidos por B(t) têm maior probabilidade de ocorrer perto da média, que é zero, e menos probabilidade à medida que se afasta dela.

Propriedades de Martingale

O movimento browniano também satisfaz a propriedade de martingale. Um processo estocástico {X(t), t ≥ 0} é um martingale em relação à sua própria filtração natural {ℱ(t), t ≥ 0} se:

E[B(t) | ℱ(s)] = B(s) para todos 0 ≤ s ≤ t

Essa habilidade ajuda a provar resultados matemáticos importantes sobre os caminhos do movimento browniano.

Propriedades do caminho e continuidade

Os caminhos do movimento browniano são contínuos, mas não diferenciáveis. Ele é aleatório e imprevisível em cada ponto, o que significa que você não pode determinar em qual direção ele irá em seguida, o que reflete a essência da aleatoriedade.

Dimensão fractal

O caminho do movimento browniano é frequentemente descrito em termos de dimensão fractal, que fornece uma medida quantitativa de sua complexidade geométrica. Para o movimento browniano unidimensional, a dimensão fractal é 1,5.

Isso significa que, embora o movimento siga um caminho linear ao longo do tempo, sua natureza aleatória inerente o leva a cobrir uma área, geometricamente falando, que é maior que uma linha, mas menor que um plano.

Considerações finais

Entender o movimento browniano fornece uma compreensão profunda da natureza da aleatoriedade e é crucial para uma variedade de técnicas analíticas em campos como matemática, física, finanças e biologia. Seu comportamento irregular fascinante, primeiro observado ao microscópio, agora encontra usos no coração das altas finanças e na ciência molecular.

A pesquisa contínua e a exploração de processos estocásticos revelam ainda maior complexidade e possibilidade nas aplicações do movimento browniano e seus derivados, tornando-o um tema contínuo de interesse na literatura e nas aplicações matemáticas.


Doutorado → 8.2.2


U
username
0%
concluído em Doutorado

← Anterior (8.2.1)
Cadeias de Markov
Próximo (8.3) →
Inferência estatística

Comentários 



Movimento browniano

https://www.buddymath.com/phd/8.2.2?bmal=pt