ब्राउनियन गति

ब्राउनियन गति, जिसे वनस्पतिज्ञ रॉबर्ट ब्राउन के नाम पर रखा गया है, को पूर्वानुमानिक प्रक्रियाओं की एक मूलभूत अवधारणा माना जाता है, जिसका उपयोग उन रैंडम प्रणालियों को मॉडल करने के लिए किया जाता है जो समय के साथ विकसित होते हैं। यह अवधारणा एक समृद्ध इतिहास के साथ आती है और गणित में पीएचडी प्रोग्राम जैसे उन्नत स्तर पर प्रायिकता और सांख्यिकी के अध्ययन में महत्वपूर्ण है।

ऐतिहासिक परिचय

ब्राउनियन गति को पहली बार 1827 में रॉबर्ट ब्राउन द्वारा देखा गया था जब उन्होंने पानी में पराग के दानों की अनियमित और असंगठनात्मक गति का अवलोकन किया। यह अवलोकन उस समय पहेली था, लेकिन बाद में इसे पानी के अणुओं और पराग के दानों के बीच टकराव के परिणाम के रूप में समझा गया। 1905 में, अल्बर्ट आइंस्टाइन ने ब्राउनियन गति को समझाने के लिए एक सैद्धांतिक मॉडल प्रस्तुत किया, जिसने पदार्थ के परमाणु सिद्धांत का समर्थन किया और एवोगाड्रो के संख्या का अनुमान लगाया, जो भौतिकी और रसायन विज्ञान में महत्वपूर्ण था।

गणितीय परिभाषा

गणितीय शब्दों में, ब्राउनियन गति एक सतत-समय अप्रत्याशित प्रक्रिया है जो कुछ गुणों का प्रदर्शन करती है। औपचारिक परिभाषा में ब्राउनियन गति को रैंडम वेरिएबल्स के एक परिवार के रूप में निरूपित करना शामिल है { B(t), t ≥ 0}, जहाँ B(0) = 0, और यह निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करती है:

• स्वतंत्र वृद्धियाँ: किसी भी 0 ≤ s < t के लिए, वृद्धि B(t) - B(s) सामान्य वितरण में होती है, जिसका अर्थ 0 और संचरण ts होता है, और यह पूर्व की वृद्धि से स्वतंत्र होती है।
• सततता: प्रक्रिया के पथ समय t के संबंध में सतत होते हैं।
• गौसी वितरण: B(t) सामान्य रूप से वितरण में होता है, जिसका अर्थ है B(t) ~ N(0, t)।
• स्थिर वृद्धि: B(t) - B(s) का वितरण केवल समय अंतराल ts पर निर्भर करता है।

ब्राउनियन गति का दृश्यावलोकन

ब्राउनियन पथ को एक तरल माध्यम में निलंबित कण द्वारा खींचे गए पथ के रूप में समझा जा सकता है, जिसे लगातार तरल के अणुओं द्वारा बमबारी की जा रही होती है। यहां एक साधारण प्रस्तुतिकरण है:

यह रेखाचित्र ब्राउनियन पथ का एक स्टाइलाइज़्ड संस्करण है। ध्यान दें कि गति अनियमित प्रतीत होती है, जो प्रक्रिया की अंतर्निहित यादृच्छिकता को दर्शाती है।

गणितीय उदाहरण

ब्राउनियन गति को अधिक गहराई से समझने के लिए, चलिए कुछ गणितीय गुणों पर विचार करें और देखें कि वे व्यवहार में कैसे कार्य करते हैं।

उदाहरण 1: संचरण की गणना

मान लीजिए हम समय t पर ब्राउनियन गति के संचरण की गणना करना चाहते हैं। गुणों के अनुसार, B(t) का संचरण t के बराबर होता है। इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

Var(B(t)) = E[(B(t))^2] - (E[B(t)])^2 = t

जहाँ E यादृच्छिक वेरिएबल की अपेक्षा को दर्शाता है।

उदाहरण 2: वेतन वृद्धि का वितरण

कल्पना करें कि दो समय 0 ≤ s < t हैं। वृद्धि B(t) - B(s) निम्न तरह से सामान्य रूप में वितरित होती है:

B(t) - B(s) ~ N(0, ts)

इसका अर्थ है कि s के मान की परवाह किए बिना, वृद्धि केवल ts पर निर्भर करती है।

ब्राउनियन गति के अनुप्रयोग

भौतिकी

भौतिकी में, ब्राउनियन गति द्रवों में आणविक व्यवहार को समझने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। यह गैसों के गतिज सिद्धांत का समर्थन करती है, जो अणुओं की गति और टकराव की प्रत्यक्ष पुष्टि प्रदान करता है।

वित्त

वित्त में एक प्राथमिक क्षेत्र जहाँ ब्राउनियन गति का अनुप्रयोग होता है वह है स्टॉक की कीमतों का मॉडल बनाना। बैशेलियर मॉडल और ब्लैक-स्कोल्स मॉडल ब्राउनियन गति का उपयोग संपत्ति की कीमतों के यादृच्छिक व्यवहार का प्रतिनिधित्व करने के लिए करते हैं। ये अवधारणाएं विकल्प मूल्य निर्धारण और जोखिम प्रबंधन में महत्वपूर्ण रही हैं।

ब्राउनियन गति का उपयोग करके स्टॉक की कीमत S(t) को मॉडल करने के लिए, अक्सर एक पूर्वानुमानिक भिन्नात्मक समीकरण का उपयोग किया जाता है:

dS(t) = μS(t)dt + σS(t)dB(t)

यहां, μ द्रिफ्ट को दर्शाता है, और σ अस्थिरता को दर्शाता है।

जीव विज्ञान

जीव विज्ञान में, ब्राउनियन गति का उपयोग द्रव माध्यम में पराग या सूक्ष्मजीवों जैसे कणों की यादृच्छिक गति का मॉडल और समझने के लिए किया जाता है। यह और कोशकीय प्रक्रियाओं में अंतर्दृष्टि प्रदान करती है और विभिन्न प्रक्रियाओं के मॉडल बनाने में सहायक है।

विश्लेषणात्मक तकनीकें

प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन

ब्राउनियन गति प्रक्रिया की प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन (PDF) का समय t पर वितरण से प्राप्त किया जा सकता है, जो सामान्य होता है:

f(x, t) = (1 / √(2πt)) * exp(-x² / (2t))

यह PDF दिखाता है कि B(t) द्वारा लिए गए मान अधिक संभावना से औसत, जो शून्य है, के पास होते हैं और जैसे-जैसे कोई इससे दूर जाता है, संभावना कम हो जाती है।

मार्टिंगेल गुण

ब्राउनियन गति मार्टिंगेल गुण को भी संतुष्ट करती है। यदि {X(t), t ≥ 0} अपनी स्वाभाविक फ़िल्टरेशन {ℱ(t), t ≥ 0} के संबंध में एक मार्टिंगेल है, तो:

E[B(t) | ℱ(s)] = B(s) सभी 0 ≤ s ≤ t के लिए

इस क्षमता से ब्राउनियन गति के पथों के बारे में महत्वपूर्ण गणितीय परिणाम साबित होते हैं।

पथ गुण और सततता

ब्राउनियन गति के पथ सतत होते हैं लेकिन अवकलनीय नहीं होते हैं। यह प्रत्येक बिंदु पर यादृच्छिक और अ

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