马尔可夫链

马尔可夫链是随机过程研究中的一个基本概念，随机过程是概率论和统计学的一个分支。马尔可夫链以俄罗斯数学家安德烈·马尔可夫的名字命名，用于描述以概率方式从一个状态转移到另一个状态的系统。

随机过程简介

在深入研究马尔可夫链之前，我们简要讨论一下什么是随机过程。随机过程本质上是由一个参数索引的随机变量集合，该参数通常表示时间。这些过程用于模拟以概率方式随时间演变的系统。系统的每个值或状态都不是由任何已知方程完全确定的，而是以概率方式决定的。

理解马尔可夫链

马尔可夫链是一种特定类型的随机过程，其中过程的未来状态仅依赖于当前状态，而不依赖于之前事件的序列。这个性质被称为“无记忆”性质，正式称为马尔可夫性质。简单来说，这意味着过程没有记忆它之前在哪里。

离散时间马尔可夫链

最常见的马尔可夫链形式是离散时间马尔可夫链。这些系统在固定的离散时间间隔内通过状态移动。在每一步中，系统可以保持在相同状态，或以一定的概率移动到不同状态。

状态位置

马尔可夫链中所有可能状态的集合称为“状态空间”。例如，如果我们将天气状况建模为状态，可能的状态可能是“晴天”、“雨天”和“多云”。

转移矩阵

从一个状态转移到另一个状态的概率以一个称为“转移矩阵”的矩阵表示。如果状态空间中有n个状态，转移矩阵将是一个n × n矩阵，其中i行和j列的元素表示从状态i转移到状态j的概率。一个简单三态天气模型的转移矩阵示例如下：

P = [ [0.7, 0.2, 0.1],
      [0.3, 0.4, 0.3],
      [0.2, 0.1, 0.7] ]

确保转移矩阵的每一行之和为1，因为每一行表示从当前状态转移到的可能状态的完整集合。

示例：天气模型

让我们考虑一个简单描述天气变化的马尔可夫链：

条件：“晴天”、“多云”、“雨天”

转移矩阵：

    P = [ [0.6, 0.3, 0.1],
          [0.2, 0.5, 0.3],
          [0.3, 0.3, 0.4] ]

该矩阵描述了以下系统：如果今天是晴天，那么明天会有60%的概率是晴天，30%的概率是多云，10%的概率会下雨。