मार्कोव चेन

मार्कोव चेन संभाव्यिकीय प्रक्रियाओं के अध्ययन में एक आवश्यक अवधारणा हैं, जो कि गणितीय सांख्यिकी और संभाव्यता की एक शाखा है। रूसी गणितज्ञ आंद्रे मार्कोव के नाम पर, मार्कोव चेन उन प्रणालीओं का वर्णन करने के लिए इस्तेमाल की जाती हैं, जो किसी एक स्थिति से दूसरी स्थिति में संभाव्यिकीय तरीके से परिवर्तित होती हैं।

संभाव्यिकीय प्रक्रियाओं का परिचय

मार्कोव चेन में ओर गहराई से जाने से पहले, आइए संक्षेप में चर्चा करें कि संभाव्यिकीय प्रक्रियाएं क्या हैं। एक संभाव्यिकीय प्रक्रिया अनिवार्य रूप से एक संग्रह है जो किसी पैरामीटर द्वारा अनुक्रमित होता है, जो आमतौर पर समय का प्रतिनिधित्व करता है। ये प्रक्रियाएं उन प्रणालीओं को मॉडल करने के लिए उपयोग की जाती हैं जो समय के साथ संभाव्यिकीय तरीके से विकास करती हैं। प्रणाली के प्रत्येक मान या स्थिति को किसी ज्ञात समीकरण द्वारा पूर्ण रूप से निर्धारित नहीं किया जाता है, बल्कि संभाव्यिकीय तरीके से होता है।

मार्कोव चेन को समझना

एक मार्कोव चेन एक विशेष प्रकार की संभाव्यिकीय प्रक्रिया है जहां प्रक्रिया की भविष्य की स्थिति केवल वर्तमान स्थिति पर निर्भर करती है, न कि उसके पहले की घटना क्रम पर। इस विशेषता को "स्मृतिविहीन" विशेषता कहा जाता है, जिसे औपचारिक रूप से मार्कोव विशेषता के रूप में जाना जाता है। सरल शब्दों में, इसका अर्थ है कि प्रक्रिया को यह याद नहीं है कि यह पहले कहां थी।

विच्छिन्न-समय मार्कोव चेन

मार्कोव चेन का सबसे आम रूप विच्छिन्न-समय मार्कोव चेन है। ये प्रणालीएं क्रमश: एक निश्चित समय अंतराल में स्थितियों के बीच गति करती हैं। प्रत्येक चरण पर, प्रणाली या तो समान स्थिति में रह सकती है या एक निश्चित संभावना के साथ किसी अन्य स्थिति में जा सकती है।

स्थिति स्थान

मार्कोव चेन के भीतर सभी संभावित स्थितियों का सेट "स्थिति स्थान" कहलाता है। उदाहरण के लिए, यदि हम स्थिति के रूप में मौसम की स्थिति को मॉडल कर रहे हैं, तो संभव स्थितियां "सनी", "बारिश" और "बादल" हो सकती हैं।

संक्रमण मैट्रिक्स

एक स्थिति से दूसरी स्थिति में जाने की संभावनाओं को एक मैट्रिक्स में दर्शाया जाता है जिसे "संक्रमण मैट्रिक्स" कहा जाता है। यदि स्थिति स्थान में n स्थितियां हैं, तो संक्रमण मैट्रिक्स एक n × n मैट्रिक्स होगा जिसमें i पंक्ति और j स्तंभ के तत्व स्थिति i से स्थिति j में जाने की संभावना का प्रतिनिधित्व करते हैं। एक सरल मौसम मॉडल के लिए संक्रमण मैट्रिक्स का एक उदाहरण इस प्रकार दिख सकता है:

P = [ [0.7, 0.2, 0.1],
      [0.3, 0.4, 0.3],
      [0.2, 0.1, 0.7] ]

ध्यान दें कि संक्रमण मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति को 1 तक जोड़ना चाहिए, क्योंकि प्रत्येक पंक्ति उस संभावित स्थिति के समुच्चय का प्रतिनिधित्व करती है जिसमें प्रणाली वर्तमान स्थिति से स्थानांतरित हो सकती है।

उदाहरण: मौसम मॉडल

आइए एक सरल मार्कोव चेन पर विचार करें जो मौसम के परिवर्तनों का वर्णन करती है:

• स्थिति: "सनी", "बादल", "बारिश"
• संक्रमण मैट्रिक्स:

      P = [ [0.6, 0.3, 0.1],
            [0.2, 0.5, 0.3],
            [0.3, 0.3, 0.4] ]
  

यह मैट्रिक्स आगे बताता है कि: यदि आज धूप है, तो 60% संभावना है कि कल भी धूप रहेगी, 30% संभावना है कि बादल छाएंगे, और 10% संभावना है कि बारिश हो सकती है।

मार्कोव चेन की विशेषताएँ

मार्कोव चेन की गतिशीलता को बेहतर ढंग से समझने के लिए यहां कुछ प्रमुख विशेषताएं दी गई हैं:

अपरिवर्तनीयता

यदि किसी भी स्थिति से किसी भी स्थिति में जाना संभव है तो एक मार्कोव चेन को अपरिवर्तनीय कहा जाता है। इसका अर्थ है कि किसी स्थिति से किसी दूसरी स्थिति में जाने की संभाव्यता होती है, चाहे सीधे या अन्य स्थिति से होकर।

पकड़

माक्रोव चेन में कोई स्थिति एक अवधि में होती है यदि वह स्थिति एक सीमित संख्या में कदमों में उस स्थिति पर लौट आती है; अवधि उन कदमों की संख्या का सबसे बड़ा सामान्य संख्या होगी जिसमें स्थिति स्वयं को लौटाती है।

पुनरावृति और अस्थायीता

यदि इस प्रक्रिया की यह संभावना है कि यह अंततः समान स्थिति में लौट आएगी, तो स्थिति को आवर्ती कहा जाता है। यदि संभावना 1 से कम है, तो स्थिति को अस्थायी कहा जाता है।

स्थिर वितरण

एक स्थिर वितरण वह संभाव्यता वितरण है जो प्रक्रिया के विकास के दौरान अपरिवर्तित रहता है। एक संक्रमण मैट्रिक्स P के साथ एक मार्कोव चेन के लिए, एक वेक्टर π स्थिर वितरण होता है यदि:

πP = π

अधिक गणनाओं और दिए गए संक्रमण मैट्रिक्स का उपयोग करके, आप स्थिर वितरण को संभाव्यिकीय प्रक्रिया के लिए पा सकते हैं।

निरंतर-समय मार्कोव चेन

जहां हमने विच्छिन्न-समय मार्कोव चेन पर ध्यान केंद्रित किया है, जहां प्रणाली समान विच्छिन्न क्षणों में संक्रमण होती है, समय निरंतर भी हो सकता है। निरंतर-समय मार्कोव चेन में, संक्रमण किसी भी निरंतर क्षण में हो सकता है।

संक्रमण दर मैट्रिक्स

संक्रमण मैट्रिक्स के बजाय, निरंतर-समय मार्कोव चेन संक्रमण दर मैट्रिक्स का उपयोग करते हैं, जिसे अक्सर Q से निरूपित किया जाता है, जहाँ प्रत्येक प्रविष्टि qij स्थिति i से स्थिति j में जाने की दर का प्रतिनिधित्व करती है।

निष्कर्ष

मार्कोव चेन ऐसी प्रणालीओं का मॉडल बनाने और विश्लेषण करने के लिए एक शक्तिशाली ढांचा प्रदान करती हैं जो समय के साथ स्थितियों के बीच सिलसिलेवार परिवर्तन करती हैं। अर्थशास्त्र, आनुवंशिकी, और खेल सिद्धांत जैसे विभिन्न क्षेत्रों में उनके व्यापक अनुप्रयोगों के साथ, मार्कोव चेन संभाव्यता और सांख्यिकी में एक मौलिक विषय बन गए हैं।

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