प्रायिकता सिद्धांत

प्रायिकता सिद्धांत गणित की एक मौलिक शाखा है जो यादृच्छिक घटनाओं के विश्लेषण से संबंधित है। प्रायिकता सिद्धांत का केंद्रीय पहलू अनिश्चितता का अध्ययन करना और गणितीय प्रायिकताओं का उपयोग करके यादृच्छिकता की मात्रा निर्धारित करना है। इस अध्ययन के क्षेत्र को सांख्यिकी, वित्त, जुआ, विज्ञान और इंजीनियरिंग जैसे कई क्षेत्रों की अवधारणाओं को समझने के लिए आवश्यक माना जाता है, जहाँ परिणाम निश्चित रूप से निर्धारित नहीं किए जा सकते हैं।

मूलभूत अवधारणाएँ

प्रायिकता सिद्धांत की शुरुआत कुछ मौलिक अवधारणाओं को परिभाषित करके होती है जो विषय को समझने के लिए महत्वपूर्ण होती हैं। इनमें शामिल हैं:

यादृच्छिक प्रयोग

एक यादृच्छिक प्रयोग एक क्रिया या प्रक्रिया है जिसका परिणाम एक या एक से अधिक संभावित परिणाम हो सकता है। उदाहरण के लिए, एक सिक्का उछालना एक यादृच्छिक प्रयोग है जहाँ संभावित परिणाम "सिर" या "पूंछ" होते हैं।

नमूना स्थान

नमूना स्थान, जिसे अक्सर S के रूप में निरूपित किया जाता है, एक यादृच्छिक प्रयोग के सभी संभावित परिणामों का सेट होता है। सिक्का उछालने के उदाहरण में, नमूना स्थान है S = { text{"सिर"}, text{"पूंछ"} }.

घटनाएँ

घटना नमूना स्थान का एक उपसमुच्चय होती है। यह एक या अधिक परिणामों की घटना का प्रतिनिधित्व करती है। उदाहरण के लिए, जब एक छः फलक वाले पासे को फेंका जाता है, एक घटना हो सकती है कोई सम संख्या फेंकना, जो कि सेट E = { 2, 4, 6 } है।

संभावना

प्रायिकता किसी घटना के होने की संभावना का मापन है। इसे 0 और 1 के बीच की संख्या के रूप में मापा जाता है, जहाँ 0 असंभवता का प्रतिनिधित्व करता है और 1 निश्चितता का। घटना E की प्रायिकता को P(E) के रूप में प्रस्तुत किया जाता है।

उदाहरणों के माध्यम से प्रायिकता को समझना

प्रायिकता की अवधारणा को बेहतर ढंग से समझने के लिए, आइए प्रायिकता की गणना के कुछ उदाहरणों की जाँच करें:

उदाहरण 1: एक निष्पक्ष सिक्का उछालना

मान लें कि हमारे पास एक निष्पक्ष सिक्का है, जिसका मतलब है कि सिर प्राप्त करने की प्रायिकता पूंछ प्राप्त करने की प्रायिकता के बराबर है। प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता को निम्नलिखित तरीके से गणना किया जा सकता है।

नमूना स्थान, S = { "सिर", "पूंछ" }

सिर प्राप्त करने की प्रायिकता, P(text{"सिर"}) = frac{1}{2}

पूंछ प्राप्त करने की प्रायिकता, P(text{"पूंछ"}) = frac{1}{2}

उदाहरण 2: छः फलक वाले पासे को फेंकना

एक सामान्य छः फलक वाला पासा विचार करें। प्रत्येक फलक 1 से 6 तक का एक संख्या प्रदर्शित करता है। किसी विशेष संख्या के आने की प्रायिकता को गणना किया जा सकता है।

नमूना स्थान, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

3 प्राप्त करने की प्रायिकता, P(3) = frac{1}{6}

सम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता, P({ 2, 4, 6 }) = frac{3}{6} = frac{1}{2}

प्रायिकता के नियम

प्रायिकता सिद्धांत एक मूलभूत नियमों या स्वयंसिद्धांतों के समूह द्वारा संचालित होता है जिसे रूसी गणितज्ञ एंड्रे कोलमोगोरोव द्वारा प्रतिपादित किया गया था। यहाँ मुख्य नियम हैं:

स्वयंसिद्धांत 1: अभाव

किसी घटना की प्रायिकता अभावात्मक नहीं होती है।

P(E) ≥ 0

स्वयंसिद्धांत 2: सामान्यता

एक यादृच्छिक प्रयोग का कम से कम एक परिणाम होने की प्रायिकता 1 होती है। अर्थात, पूरे नमूना स्थान की प्रायिकता 1 होती है।

P(S) = 1

स्वयंसिद्धांत 3: संकलनीयता

किसी भी दो पारस्परिक बहिष्कृत घटनाओं के लिए, या तो घटना के होने की प्रायिकता उन दोनों की व्यक्तिगत प्रायिकताओं के योग के बराबर होती है।

अगर E1 ∩ E2 = ∅, तो P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2)

वेन्न आरेख के साथ प्रायिकता को प्रदर्शित करना

वेन्न आरेख घटनाओं और उनकी प्रायिकताओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोगी होते हैं, विशेषकर जब घटनाओं के संयोजन और अंतर्सम्बंध की जटिल प्रायिकता संबंधों को समझने की बात आती है।

इस वेन्न आरेख में, घटना E1 को नीले वृत्त द्वारा और घटना E2 को लाल वृत्त द्वारा प्रस्तुत किया गया है। ओवरलैप होने वाला क्षेत्र घटनाओं E1 और E2 के अन्तर्सम्बंध का प्रतिनिधित्व करता है। यह अन्तर्सम्बंध दो घटनाओं के एक साथ होने की प्रायिकता को समझने में महत्वपूर्ण है।

सशर्त प्रायिकता और स्वतंत्रता

सशर्त प्रायिकता और स्वतंत्रता, प्रायिकता सिद्धांत में महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं। वे विभिन्न घटनाओं के बीच के संबंध का आकलन करने में मदद करती हैं।

सशर्त प्रायिकता

सशर्त प्रायिकता किसी घटना के होने की प्रायिकता है, यह मानते हुए कि दूसरी घटना हो चुकी है। यदि A और B नमूना स्थान की दो घटनाएँ हैं, तो A की B के सापेक्ष सशर्त प्रायिकता को P(A|B) लिखा जाता है।

P(A|B) = frac{P(A ∩ B)}{P(B)}, quad text{यदि} P(B) > 0

उदाहरण के लिए, यदि एक मानक डेक से एक कार्ड चुना जाता है, तो उसके फूल का कार्ड होने की सशर्त प्रायिकता ज्ञात करें।

P(text{इक्का} | text{फूल}) = frac{text{हुदा फूल की इक्का}}{text{फूल की प्रायिकता}} = frac{1/52}{13/52} = frac{1}{13}

घटनाओं की स्वतंत्रता

दो घटनाएँ A और B स्वतंत्र होती हैं यदि एक के होने से दूसरे के होने की प्रायिकता पर प्रभाव नहीं पड़ता है। गणितीय रूप से, A और B स्वतंत्र हैं यदि:

P(A ∩ B) = P(A) cdot P(B)

उदाहरण के लिए, जब दो विभिन्न पासे फेंके जाते हैं, तो एक पासे का परिणाम दूसरे पासे की परिणाम पर प्रभाव नहीं डालता है। इसलिए, घटनाएँ स्वतंत्र होती हैं।

बेयस प्रमेय

बेयस प्रमेय प्रायिकता सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण परिणामों में से एक है। यह किसी घटना की प्रायिकता का वर्णन करता है, जिसे घटना से संबंधित स्थितियों के पूर्व ज्ञान के आधार पर प्राप्त किया जा सकता है।

P(A|B) = frac{P(B|A) cdot P(A)}{P(B)}

बेयस प्रमेय नई सबूतों के आधार पर प्रायिकताओं को अपडेट करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, यदि एक रोग के लिए एक चिकित्सा परीक्षण सकारात्मक है, तो बेयस प्रमेय का उपयोग करके यह पाया जा सकता है कि व्यक्ति के उस रोग से ग्रसित होने की प्रायिकता क्या है, परीक्षण की सटीकता को ध्यान में रखते हुए।

यादृच्छिक चर

प्रायिकता सिद्धांत में, एक यादृच्छिक चर वह चर होता है जिसके संभावित मान एक यादृच्छिक घटना के परिणाम होते हैं। यादृच्छिक चरों के दो प्रकार होते हैं: असतत और अविरल।

असतत यादृच्छिक चर

असतत यादृच्छिक चर वह होता है जो सीमित या गिनने योग्य असंख्य मान ग्रहण कर सकता है। उदाहरणों में एक पासे को फेंकने का परिणाम या दो पासों को फेंकने पर प्राप्त कुल शामिल हैं।

अविरल यादृच्छिक चर

दूसरी ओर, अविरल यादृच्छिक चर अनंत संख्या मान ग्रहण कर सकता है, अक्सर एक अविरल रूप से या वास्तविक संख्या रेखा का हिस्सा बनाते हुए। उदाहरण में एक समूह के लोगों की ऊँचाई का मापन शामिल है।

प्रायिकता वितरण

प्रायिकता वितरण यह बताता है कि किसी यादृच्छिक चर के मानों पर प्रायिकताएँ कैसे वितरित होती हैं। यादृच्छिक चर के प्रकार के आधार पर उन्हें दो प्रकारों में वर्गीकृत किया जाता है: असतत प्रायिकता वितरण और अविरल प्रायिकता वितरण।

असतत प्रायिकता वितरण

असतत प्रायिकता वितरण को प्रायिकता द्रव्यमान फलन (PMF) द्वारा वर्णित किया जाता है, जो यादृच्छिक चर के प्रत्येक संभावित मान पर प्रायिकता निर्दिष्ट करता है।

इसका एक सामान्य उदाहरण बाइनोमियल वितरण है, जो स्वतंत्र बीरनौली परीक्षणों की एक दी गई संख्या में सफलताओं की संख्या का वर्णन करता है।

P(X = k) = binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}

जहाँ n परीक्षण की संख्या है, p प्रत्येक परीक्षण में सफलता की प्रायिकता है और k सफलताओं की संख्या है।

अविरल प्रायिकता वितरण

अविरल प्रायिकता वितरण को प्रायिकता घनत्व फलन (PDF) द्वारा वर्णित किया जाता है। सबसे प्रसिद्ध उदाहरण सामान्य वितरण, या घंटी वक्र है।

f(x) = frac{1}{sigma sqrt{2pi}} e^{-frac{1}{2}(frac{x-mu}{sigma})^2}

जहाँ mu माध्य है और sigma मानक विचलन है।

अपेक्षित मान और विचरण

अपेक्षित मान एक प्रयोग की पुनरावृत्तियों के दीर्घकालिक औसत मान है। इसे अक्सर माध्य कहा जाता है।

E(X) = sum_{i} x_i P(x_i), quad text{असतत के लिए} E(X) = int_{-infty}^{infty} xf(x) dx, quad text{अविरल के लिए}

विचरण यादृच्छिक चर के मानों के प्रसार को मापता है। यह किसी यादृच्छिक चर के उसके माध्य से विचलन का वर्ग का अपेक्षित मान होता है।

Var(X) = E[(X - E[X])^2] = sum_{i} (x_i - E[X])^2 P(x_i)

विचरण यह मापता है कि वितरण में कितनी बदलशीलता माध्य के चारों ओर होती है।

बड़ी संख्याओं का नियम और केंद्रीय सीमा प्रमेय

बड़ी संख्याओं का नियम और केंद्रीय सीमा प्रमेय दो महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं जो बड़ी आँकड़ों के संदर्भ में प्रायिकताओं के व्यवहार से संबंधित हैं।

बड़ी संख्याओं का नियम

बड़ी संख्याओं का नियम बताता है कि जैसे-जैसे यादृच्छिक प्रक्रिया के परीक्षणों की संख्या बढ़ती है, प्रयोगात्मक प्रायिकता सैद्धांतिक (सच्ची) प्रायिकता के करीब होती जाएगी।

केंद्रीय सीमा प्रमेय

केंद्रीय सीमा प्रमेय बताता है कि स्वतंत्र, समान रूप से वितरित चर के बड़े संख्या के नमूना माध्यों का वितरण लगभग सामान्य रूप से वितरित होगा, मूल वितरण के आकार के बावजूद।

निष्कर्ष

प्रायिकता सिद्धांत यादृच्छिकता और अनिश्चितता के बारे में सोच के लिए एक व्यापक ढाँचा प्रदान करता है। यह उन कई वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों में आधारभूत है जहाँ परिणाम स्वाभाविक रूप से अप्रत्याशित होते हैं। यह क्षेत्र अनिश्चित परिस्थितियों में निर्णय लेने की प्रक्रियाओं में सहायता करता है और सांख्यिकीय विधियों के विकास के लिए आवश्यक आधार बनता है, जो डेटा की व्याख्या में प्रयोग की जाती हैं।

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