Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

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Teoría de la probabilidad


La teoría de la probabilidad es una rama fundamental de las matemáticas que se ocupa del análisis de eventos aleatorios. El aspecto central de la teoría de la probabilidad es el estudio de la incertidumbre y la cuantificación de la aleatoriedad mediante el uso de probabilidades matemáticas. Este campo de estudio es esencial para comprender conceptos en una variedad de campos como estadísticas, finanzas, juegos de azar, ciencia e ingeniería, donde los resultados no se pueden determinar con certeza.

Conceptos básicos

La teoría de la probabilidad comienza definiendo algunos conceptos fundamentales que son importantes para entender el tema. Estos incluyen:

Experimento aleatorio

Un experimento aleatorio es una acción o proceso que da lugar a uno o más posibles resultados. Por ejemplo, lanzar una moneda es un experimento aleatorio donde los posibles resultados son "caras" o "cruces".

Espacio muestral

El espacio muestral, a menudo denotado como S, es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Para el ejemplo de lanzar una moneda, el espacio muestral es S = { text{"Caras"}, text{"Cruz"} }.

Eventos

Un evento es un subconjunto del espacio muestral. Representa la ocurrencia de uno o más resultados. Por ejemplo, cuando se lanza un dado de seis caras, un evento podría ser lanzar un número par, que es el conjunto E = { 2, 4, 6 }.

Posibilidad

La probabilidad es una medida de la probabilidad de que ocurra un evento. Se mide como un número entre 0 y 1, donde 0 representa imposibilidad y 1 representa certeza. La probabilidad de un evento E se representa como P(E).

Entendiendo la probabilidad a través de ejemplos

Para entender mejor el concepto de probabilidad, examinemos algunos ejemplos de cálculo de probabilidad:

Ejemplo 1: Lanzar una moneda justa

Supongamos que tenemos una moneda justa, lo que significa que la probabilidad de obtener caras es igual a la probabilidad de obtener cruz. Podemos calcular la probabilidad de cada resultado de la siguiente manera.

Espacio Muestral, S = { "Caras", "Cruz" }

Probabilidad de obtener caras, P(text{"Caras"}) = frac{1}{2}

Probabilidad de obtener cruz, P(text{"Cruz"}) = frac{1}{2}

Ejemplo 2: Lanzar un dado de seis caras

Considera un dado normal de seis caras. Cada cara muestra un número del 1 al 6. La probabilidad de que salga cualquier número específico se puede calcular.

Espacio Muestral, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Probabilidad de obtener 3, P(3) = frac{1}{6}

Probabilidad de obtener un número par, P({ 2, 4, 6 }) = frac{3}{6} = frac{1}{2}

Leyes de la probabilidad

La teoría de la probabilidad está gobernada por un conjunto de reglas o axiomas fundamentales formulados por el matemático ruso Andrey Kolmogorov. Aquí están las reglas principales:

Axioma 1: No negatividad

La probabilidad de cualquier evento es no negativa.

P(E) ≥ 0

Axioma 2: Generalización

La probabilidad de que al menos un resultado de un experimento aleatorio ocurra es 1. Es decir, la probabilidad de todo el espacio muestral es 1.

P(S) = 1

Axioma 3: Aditividad

Para cualquier dos eventos mutuamente excluyentes, la probabilidad de ocurrencia de cualquiera de los eventos es igual a la suma de sus probabilidades individuales.

Si E1 ∩ E2 = ∅, entonces P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2)

Ilustrando la probabilidad con un diagrama de Venn

Los diagramas de Venn son útiles para representar eventos y sus probabilidades, especialmente al intentar comprender relaciones de probabilidad complejas, como la conjunción e intersección de eventos.

E1 E2

En este diagrama de Venn, el evento E1 está representado por el círculo azul y el evento E2 por el círculo rojo. La región superpuesta representa la intersección de los eventos E1 y E2. Esta intersección es importante para entender la probabilidad de que dos eventos ocurran simultáneamente.

Probabilidad condicional e independencia

La probabilidad condicional y la independencia son conceptos importantes en la teoría de la probabilidad. Ayudan a evaluar la relación entre diferentes eventos.

Probabilidad condicional

La probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento, dado que otro evento ha ocurrido. Si A y B son dos eventos del espacio muestral, entonces la probabilidad condicional de A dado B se escribe como P(A|B)

P(A|B) = frac{P(A ∩ B)}{P(B)}, quad text{si} P(B) > 0

Por ejemplo, si se saca una carta de una baraja estándar de 52 cartas, encuentra la probabilidad de que sea un as, dado que es una carta de corazones.

P(text{As} | text{Corazones}) = frac{text{Probabilidad de As de Corazones}}{text{Probabilidad de Corazones}} = frac{1/52}{13/52} = frac{1}{13}

Independencia de eventos

Dos eventos A y B son independientes si la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de que ocurra el otro. Matemáticamente, A y B son independientes si:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

Por ejemplo, cuando se lanzan dos dados diferentes, el resultado de un dado no afecta el resultado del otro dado. Por lo tanto, los eventos son independientes.

Teorema de Bayes

El teorema de Bayes es uno de los resultados más importantes en la teoría de la probabilidad. Describe la probabilidad de un evento basada en conocimientos previos de condiciones que pueden estar relacionadas con el evento.

P(A|B) = frac{P(B|A) cdot P(A)}{P(B)}

El teorema de Bayes permite actualizar las probabilidades basadas en nueva evidencia. Por ejemplo, si una prueba médica es positiva para una enfermedad, el teorema de Bayes se puede usar para revisar la probabilidad de que una persona tenga la enfermedad, teniendo en cuenta la precisión de la prueba.

Variables aleatorias

En teoría de la probabilidad, una variable aleatoria es una variable cuyos posibles valores son los resultados de un evento aleatorio. Hay dos tipos de variables aleatorias: discretas y continuas.

Variable aleatoria discreta

Una variable aleatoria discreta es aquella que puede tomar un conjunto finito o infinitamente contable de valores. Ejemplos incluyen el resultado de lanzar un dado o la suma de los resultados al lanzar dos dados.

Variable aleatoria continua

Una variable aleatoria continua, por otro lado, puede tomar un conjunto infinito de valores, a menudo formando un continuo o involucrando mediciones que forman parte de la línea de números reales. Un ejemplo implica la medición de la altura en un grupo de personas.

Distribuciones de probabilidad

Las distribuciones de probabilidad describen cómo las probabilidades se distribuyen sobre los valores de una variable aleatoria. Dependiendo del tipo de variable aleatoria, se clasifican en dos tipos: distribuciones de probabilidad discretas y distribuciones de probabilidad continuas.

Distribuciones de probabilidad discretas

Las distribuciones de probabilidad discretas se caracterizan por la función de masa de probabilidad (PMF), que asigna una probabilidad a cada valor posible de la variable aleatoria.

Un ejemplo común de esto es la distribución binomial, que describe el número de éxitos en un número dado de ensayos de Bernoulli independientes.

P(X = k) = binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}

donde n es el número de ensayos, p es la probabilidad de éxito en cada ensayo, y k es el número de éxitos.

Distribuciones de probabilidad continuas

Las distribuciones de probabilidad continuas se caracterizan por una función de densidad de probabilidad (PDF). El ejemplo más famoso es la distribución normal, o curva de campana.

f(x) = frac{1}{sigma sqrt{2pi}} e^{-frac{1}{2}(frac{x-mu}{sigma})^2}

donde mu es la media y sigma es la desviación estándar.

Valor esperado y varianza

El valor esperado es el valor promedio a largo plazo de las repeticiones del experimento que representa. A menudo se le llama la media.

E(X) = sum_{i} x_i P(x_i), quad text{para discreto} E(X) = int_{-infty}^{infty} xf(x) dx, quad text{para continuo}

La varianza mide la dispersión de los valores de una variable aleatoria. Es el valor esperado de la desviación cuadrada de una variable aleatoria respecto a su media.

Var(X) = E[(X - E[X])^2] = sum_{i} (x_i - E[X])^2 P(x_i)

La varianza mide cuánta variabilidad existe en una distribución alrededor de la media.

Ley de los grandes números y teorema del límite central

La ley de los grandes números y el teorema del límite central son dos conceptos importantes que tratan del comportamiento de las probabilidades en el contexto de grandes conjuntos de datos.

Ley de los grandes números

La ley de los grandes números establece que a medida que el número de ensayos de un proceso aleatorio aumenta, la probabilidad experimental tenderá a acercarse a la probabilidad teórica (verdadera).

Teorema del límite central

El Teorema del Límite Central establece que la distribución de las medias muestrales de un gran número de variables independientes, distribuidas idénticamente, será aproximadamente normal, independientemente de la forma de la distribución original.

Conclusión

La teoría de la probabilidad proporciona un marco comprensivo para razonar sobre la aleatoriedad y la incertidumbre. Subyace en muchas aplicaciones del mundo real donde los resultados son inherentemente impredecibles. El campo ayuda en los procesos de toma de decisiones bajo circunstancias inciertas y forma la base esencial para el desarrollo de métodos estadísticos utilizados para interpretar datos.


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