यादृच्छिक चर

प्रायिकता और सांख्यिकी के क्षेत्र में, एक केंद्रीय अवधारणा जो महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है, वह है यादृच्छिक चर। जो भी विद्यार्थी सांख्यिकी, गणित या कोई भी क्षेत्र जहां अनिश्चितता को समझना महत्वपूर्ण है, उसका अध्ययन कर रहा हो, उसके लिए यादृच्छिक चर को समझना मौलिक है। यह पाठ इस विषय पर गहराई से चर्चा करेगा, बताएगा कि यादृच्छिक चर क्या होते हैं, उदाहरण प्रदान करेगा और उनकी महत्वता पर चर्चा करेगा। हमारा उद्देश्य इन अवधारणाओं को यथासंभव सुलभ बनाना है।

यादृच्छिक चर क्या है?

एक यादृच्छिक चर मूल रूप से एक ऐसा चर होता है जो यादृच्छिकता या अनिश्चितता के कारण विभिन्न मान धारण करता है। औपचारिक रूप से, एक यादृच्छिक चर एक फ़ंक्शन होता है जो एक यादृच्छिक प्रक्रिया के परिणामों को संख्यात्मक मानों में मैप करता है।

यदि हम एक छह-पक्षीय पासा फेंकने पर विचार करें, तो छह संभावित परिणाम होते हैं, जो सेट {1, 2, 3, 4, 5, 6} द्वारा दर्शाए जाते हैं। यहाँ, प्रत्येक परिणाम को स्वाभाविक रूप से एक संख्या दी जाती है। एक यादृच्छिक चर इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:

X = पासे का परिणाम

इस मामले में, X 1 से 6 तक की कोई भी संख्या हो सकती है। ध्यान दें कि X का मान पूर्वनिर्धारित नहीं है; यह यादृच्छिक है।

अविच्छिन्न बनाम निरंतर यादृच्छिक चर

वहाँ दो प्रकार के यादृच्छिक चर होते हैं: अविच्छिन्न और निरंतर। अविच्छिन्न यादृच्छिक चर एक गणनीय संख्या के अलग-अलग मान लेते हैं, जबकि निरंतर यादृच्छिक चर संभावित मानों की एक अनंत संख्या ले सकते हैं।

अविच्छिन्न यादृच्छिक चर

हमारे पासे के उदाहरण में, चर X एक अविच्छिन्न यादृच्छिक चर है क्योंकि यह केवल 1 से 6 तक के सीमित मानों का सेट ले सकता है।

अविच्छिन्न यादृच्छिक चर का एक अन्य उदाहरण तीन सिक्कों की उछाल में हेड्स की संख्या हो सकता है। इस चर के संभावित मान 0, 1, 2 या 3 हैं, जो 0 हेड्स, 1 हेड, 2 हेड्स या सभी 3 हेड्स फेंके जाने के अनुरूप हैं।

निरंतर यादृच्छिक चर

दूसरी ओर, एक निरंतर यादृच्छिक चर किसी दिए गए रेंज में कोई भी मान ले सकता है। उदाहरण के लिए, लोगों के एक समूह की ऊंचाई मापने की स्थिति पर विचार करें। ऊंचाई निरंतर बदल सकती है, जिसका अर्थ है कि वे एक रेंज के भीतर किसी भी भिन्नात्मक मान को ले सकती हैं। ऐसे चर को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

Y = व्यक्ति की ऊंचाई (सेंटीमीटर में)

यहां, Y का मान 170.2 से.मी., 180.3 से.मी., आदि हो सकता है।

प्रायिकता वितरण

यादृच्छिक चर को समझने के लिए प्रायिकता वितरण की अवधारणा केंद्रीय है। एक प्रायिकता वितरण एक यादृच्छिक चर के संभावित मानों को प्रायिकता आवंटित करता है।

प्रायिकता द्रव्यमान फलन (PMF)

एक अविच्छिन्न यादृच्छिक चर के लिए, प्रायिकता वितरण प्रायिकता द्रव्यमान फलन (PMF) द्वारा दर्शाया जाता है। यह फलन यह प्रायिकता बताता है कि अविच्छिन्न यादृच्छिक चर किसी निश्चित मान के बिलकुल बराबर है।

एक निष्पक्ष छह-पक्षीय पासे पर विचार करें। इस स्थिति के लिए PMF इस प्रकार हो सकता है:

P(X=k) = 1/6, जहाँ k = 1, 2, 3, 4, 5, 6

इसका अर्थ है कि किसी विशेष संख्या (1 से 6 के बीच) प्राप्त करने की प्रायिकता 1/6 है।

दृश्यात्मक प्रतिनिधित्व

आइए इसे बार ग्राफ के रूप में दर्शाएं, जहां प्रत्येक बार की ऊंचाई उसकी प्रायिकता को दर्शाती है।

प्रायिकता घनत्व फलन (PDF)

निरंतर यादृच्छिक चर के लिए, प्रायिकता वितरण प्रायिकता घनत्व फलन (PDF) द्वारा वर्णित किया जाता है। PDF यह इंगित करता है कि यादृच्छिक चर किसी दिए गए निरंतर मान को लेने की कितनी प्रायिकता है। हालांकि, एक सटीक, विशिष्ट बिंदु पर प्रायिकता शून्य होती है; इसके बजाय, हम एक अंतराल पर प्रायिकता की गणना करते हैं।

इसका एक उदाहरण सामान्य वितरण या "घंटी वक्र" है, जो कई प्राकृतिक घटनाओं का वर्णन कर सकता है।

संचयी वितरण फलन (CDF)

अविच्छिन्न और निरंतर दोनों चर के लिए, संचयी वितरण फलन (CDF) का उपयोग किया जा सकता है। CDF यह प्रदर्शित करता है कि एक यादृच्छिक चर किसी विशेष मान से कम या उसके बराबर मान लेने की प्रायिकता है।

गणितीय रूप से, एक यादृच्छिक चर X के लिए, CDF F(x) को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:

F(x) = P(X ≤ x)

अपेक्षित मान और प्रसरण

यादृच्छिक चरों के व्यवहार को समझने के लिए दो महत्वपूर्ण अवधारणाएं अपेक्षित मान और प्रसरण हैं।

अपेक्षित मान

एक यादृच्छिक चर का अपेक्षित मान या माध्य हमें वितरण के "केंद्र" का एक माप देता है। इसे अक्सर प्रयोग के पुनरावृत्तियों के लॉन्ग-टर्म औसत मान के रूप में समझा जाता है।

PMF P(X=x_i) वाले एक अविच्छिन्न यादृच्छिक चर के लिए, अपेक्षित मान E(X) की गणना इस प्रकार की जाती है:

E(X) = Σ [x_i * P(X=x_i)]

एक निरंतर यादृच्छिक चर के PDF f(x) के लिए, अपेक्षित मान इस इंटीग्रल द्वारा निर्धारित किया जाता है:

E(X) = ∫ x * f(x) dx

प्रसरण

प्रसरण हमें इस बात का अंदाज़ा देता है कि एक यादृच्छिक चर के मान अपेक्षित मान के चारों ओर कितने बिखरे हुए हैं। यह "विखंडन" या "विखराव" का माप है।

एक अविच्छिन्न यादृच्छिक चर के लिए प्रसरण Var(X) की गणना इस प्रकार की जाती है:

Var(X) = E[(X - E(X))^2]

इसी प्रकार, एक निरंतर यादृच्छिक चर के लिए:

Var(X) = ∫ (x - E(X))^2 * f(x) dx

बड़े संख्याओं का नियम

बड़े संख्याओं का नियम एक प्रमेय है जो बताता है कि एक यादृच्छिक प्रक्रिया के बड़ी संख्या में प्रयासों का औसत अपेक्षित मान के कितना निकट होगा।

सहजता से कहा जाये, तो यदि आप कई बार पासा फेंकते हैं, तो परिणामों का औसत पासे के अपेक्षित मान के करीब होना चाहिए, जो हमारे पिछले उदाहरण में 3.5 है।

यादृच्छिक चरों के अनुप्रयोग

यादृच्छिक चर कई क्षेत्रों में महत्वपूर्ण घटक होते हैं जैसे कि अर्थशास्त्र, वित्त, इंजीनियरिंग, और प्राकृतिक विज्ञान।

• वित्त में, यादृच्छिक चर शेयर कीमतों, ब्याज दरों, और आर्थिक सूचकांकों का मॉडल बना सकते हैं।
• इंजीनियरिंग में, वे जोखिम आकलन और गुणवत्ता नियंत्रण में उपयोग होते हैं।
• प्राकृतिक विज्ञान में, वे उन घटनाओं को समझने में मदद करते हैं जो परिवर्तनशीलता प्रदर्शित करती हैं।

निष्कर्ष

अंत में कहा जा सकता है कि यादृच्छिक चर प्रायिकता और सांख्यिकी में एक मौलिक अवधारणा हैं, जो अनिश्चितता के मॉडलिंग और विश्लेषण के लिए महत्वपूर्ण हैं। इस अवधारणा को समझना अधिक जटिल सांख्यिकीय विधियों और डेटा और परिवर्तनशीलता के बारे में महत्वपूर्ण सोच के लिए एक प्रवेशद्वार प्रदान करता है। अविच्छिन्न और निरंतर यादृच्छिक चर, प्रायिकता वितरण, अपेक्षित मान और प्रसरण को समझकर, हम सांख्यिकी के क्षेत्र की समृद्धता और विभिन्न क्षेत्रों में इसके अनुप्रयोगों की बेहतर सराहना कर सकते हैं।

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