Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

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Variables aleatorias


En el campo de la probabilidad y las estadísticas, un concepto central que desempeña un papel vital es la variable aleatoria. Entender las variables aleatorias es fundamental para cualquiera que estudie estadística, matemáticas o cualquier campo donde la comprensión de la incertidumbre sea importante. Esta lección discutirá este tema en profundidad, explicará qué son las variables aleatorias, proporcionará ejemplos y discutirá su importancia. Nuestro objetivo es hacer que estos conceptos sean lo más accesibles posible.

¿Qué es una variable aleatoria?

Esencialmente, una variable aleatoria es una variable que toma diferentes valores debido al azar o incertidumbre. Formalmente, una variable aleatoria es una función que asigna los resultados de un proceso aleatorio a valores numéricos.

Si consideramos lanzar un dado de seis caras, hay seis posibles resultados, representados por el conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Aquí, a cada resultado se le asigna naturalmente un número. Una variable aleatoria se puede definir como:

X = Resultado de la tirada del dado

En este caso, X puede ser cualquier número del 1 al 6. Tenga en cuenta que el valor de X no está predeterminado; es aleatorio.

Variables aleatorias discretas vs. continuas

Existen dos tipos de variables aleatorias: discretas y continuas. Las variables aleatorias discretas toman un número contable de valores distintos, mientras que las variables aleatorias continuas toman un número infinito de valores posibles.

Variable aleatoria discreta

En nuestro ejemplo del dado, la variable X es una variable aleatoria discreta porque solo puede tomar un conjunto limitado de valores: del 1 al 6.

Otro ejemplo de una variable aleatoria discreta podría ser el número de caras en el lanzamiento de tres monedas. Los valores posibles de esta variable son 0, 1, 2 o 3, que corresponden a 0 caras, 1 cara, 2 caras o las 3 caras al ser lanzadas.

Variable aleatoria continua

Una variable aleatoria continua, por otro lado, puede tomar cualquier valor dentro de un rango dado. Por ejemplo, considere la situación de medir la altura de un grupo de personas. Las alturas pueden cambiar continuamente, lo que significa que pueden tomar cualquier valor fraccionario dentro de un rango. Tal variable se puede representar como:

Y = Altura de una persona (en centímetros)

Aquí, el valor de Y puede ser cualquiera, como 170.2 cm, 180.3 cm, etc.

Distribuciones de probabilidad

El concepto de una distribución de probabilidad es central para entender las variables aleatorias. Una distribución de probabilidad asigna probabilidades a los posibles valores de una variable aleatoria.

Función de masa de probabilidad (PMF)

Para una variable aleatoria discreta, la distribución de probabilidad se representa mediante la función de masa de probabilidad (PMF). Esta función da la probabilidad de que la variable aleatoria discreta sea exactamente igual a algún valor.

Considere un dado de seis caras justo. La PMF para esta situación puede ser:

P(X=k) = 1/6, para k = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Esto significa que la probabilidad de obtener cualquier número específico (del 1 al 6) es 1/6.

Representación visual

Representemos esto como un gráfico de barras, donde la altura de cada barra representa su probabilidad.

1 2 3 4 5 6 1/6

Función de densidad de probabilidad (PDF)

Para variables aleatorias continuas, la distribución de probabilidad se describe mediante una función de densidad de probabilidad (PDF). La PDF indica la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor continuo dado. Sin embargo, la probabilidad en un punto preciso y específico es cero; en cambio, calculamos la probabilidad en un intervalo.

Un ejemplo de esto es la distribución normal o "curva de campana", que puede describir muchos fenómenos naturales.

Función de distribución acumulativa (CDF)

Para variables tanto discretas como continuas, se puede utilizar la función de distribución acumulativa (CDF). La CDF representa la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor menor o igual a un valor específico.

Matemáticamente, para una variable aleatoria X, la CDF F(x) se define como:

F(x) = P(X ≤ x)

Valor esperado y varianza

Dos conceptos importantes para entender el comportamiento de las variables aleatorias son el valor esperado y la varianza.

Valor esperado

El valor esperado o media de una variable aleatoria nos da una medida del "centro" de la distribución. A menudo se piensa como el valor promedio a largo plazo de repeticiones del experimento.

Para una variable aleatoria discreta con PMF P(X=x_i), el valor esperado E(X) se calcula como:

E(X) = Σ [x_i * P(X=x_i)]

Para una variable aleatoria continua con pdf f(x), el valor esperado se determina mediante la integral:

E(X) = ∫ x * f(x) dx

Varianza

La varianza nos da una idea de cuán dispersos están los valores de una variable aleatoria alrededor del valor esperado. Es una medida de "dispersión".

La varianza Var(X) para una variable aleatoria discreta se calcula como:

Var(X) = E[(X - E(X))^2]

De manera similar, para una variable aleatoria continua:

Var(X) = ∫ (x - E(X))^2 * f(x) dx

La ley de los grandes números

La ley de los grandes números es un teorema que establece cuán cerca se espera que esté el promedio de un gran número de pruebas de un proceso aleatorio del valor esperado.

Intuitivamente, si lanzas un dado muchas veces, el promedio de los resultados debería estar cerca del valor esperado del dado, que es 3.5 en nuestro ejemplo anterior.

Aplicaciones de las variables aleatorias

Las variables aleatorias son componentes importantes en muchos campos, como la economía, las finanzas, la ingeniería y las ciencias naturales.

  • En finanzas, las variables aleatorias pueden modelar precios de acciones, tasas de interés e indicadores económicos.
  • En ingeniería se utilizan en la evaluación de riesgos y control de calidad.
  • En las ciencias naturales, ayudan a entender fenómenos que exhiben variabilidad.

Conclusión

En conclusión, las variables aleatorias son un concepto fundamental en probabilidad y estadísticas, crucial para modelar y analizar la incertidumbre. Entender este concepto proporciona una puerta de entrada a métodos estadísticos más complejos y al pensamiento crítico sobre datos y variabilidad. A través del entendimiento de variables aleatorias discretas y continuas, distribuciones de probabilidad, valores esperados y varianza, podemos apreciar mejor la riqueza del campo de la estadística y sus aplicaciones en varios dominios.


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