Doutorado
  1. Compreendendo Álgebra  1.1. Teoria dos grupos  1.1.1. Propriedades básicas dos grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Classes laterais e o teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normais  1.1.5. Grupo quociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introdução aos grupos livres  1.1.9. O que são atividades em grupo?  1.1.10. Grupos simples e solucionáveis  1.2. Teoria dos anéis  1.2.1. Anéis e ideais  1.2.2. Introdução aos homomorfismos de anéis  1.2.3. Aneis polinomiais  1.2.4. Domínios de ideais principais  1.2.5. Domínios de Fatoração Única  1.2.6. Anéis noetherianos  1.2.7. Anéis Artinianos  1.3. Teoria dos Campos  1.3.1. Extensões de corpos  1.3.2. Divisão de área  1.3.3. Teoria de Galois  1.3.4. Fechamento algébrico na teoria dos corpos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensão transcendental  1.4. Teoria dos módulos  1.4.1. Módulos sobre anéis  1.4.2. Módulos livres  1.4.3. Homomorfismo de módulo  1.4.4. Módulos simples e semi-simples  1.4.5. Módulos projetivos  1.4.6. Módulos Injetivos  1.5. Álgebra linear  1.5.1. Espaço vetorial  1.5.2. Transformações lineares  1.5.3. Entendendo Autovalores e Autovetores  1.5.4. Forma canônica  1.5.5. Espaço de produto interno  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Decomposição em valores singulares
  2. Compreendendo a Análise Matemática  2.1. Análise real  2.1.1. Números reais e completude  2.1.2. Introdução a sequências e séries  2.1.3. Continuidade em análise real  2.1.4. Diferenciação em análise real  2.1.5. Integração de Riemann  2.1.6. Introdução aos espaços métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análise Complexa  2.2.1. Números complexos  2.2.2. Funções analíticas  2.2.3. Integração de contorno  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema do Resíduo  2.2.6. Mapeamento conformal  2.3. Análise Funcional  2.3.1. Compreendendo locais padrão  2.3.2. Introdução aos espaços de Banach  2.3.3. Espaços de Hilbert  2.3.4. Operadores lineares  2.3.5. Teoria espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoria da Medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medição e integrais na teoria da medida  2.4.3. Integração de Lebesgue  2.4.4. Teorema da Convergência  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análise Harmônica  2.5.1. Séries de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoria da distribuição  2.5.4. Wavelets
  3. Topologia  3.1. Topologia geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Continuidade  3.1.3. Introdução à compacidade  3.1.4. Conectividade na topologia geral  3.1.5. Topologia métrica  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoria da homotopia  3.2.3. Teoria da homologia  3.2.4. Cohomologia  3.2.5. Sequência exata  3.3. Topologia diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espaço tangente  3.3.3. Campos vetoriais  3.3.4. Compreendendo Formas Diferenciais
  4. Geometria  4.1. Geometria diferencial  4.1.1. Curvas e superfícies na geometria diferencial  4.1.2. Geometria Riemanniana  4.1.3. Compreendendo geodésicas na geometria diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometria algébrica  4.2.1. Variedades afins e projetivas  4.2.2. Planos  4.2.3. Separadores e interseções  4.2.4. Cohomologia na geometria algébrica  4.3. Geometria Computacional  4.3.1. Introdução às coberturas convexas na geometria computacional  4.3.2. Triangulação  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoria dos números  5.1. Teoria dos números elementar  5.1.1. Divisibilidade na teoria elementar dos números  5.1.2. Congruência na teoria dos números elementar  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoria analítica dos números  5.2.1. Teorema dos números primos  5.2.2. Séries de Dirichlet  5.2.3. Zeta e funções L  5.3. Teoria dos números algébricos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introdução aos ideais na teoria algébrica dos números  5.3.3. Grupos de classes em teoria algébrica dos números  5.3.4. Representação de Galois
  6. Companhia  6.1. Combinatória computacional  6.1.1. Função Geradora  6.1.2. Relação de recorrência  6.1.3. Permanência e combinação  6.2. Teoria dos grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planaridade em teoria dos grafos  6.2.3. Coloração de grafos  6.3. Combinatória extrema  6.3.1. Teoria de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos em combinatória extrema  6.4. Combinatória algébrica  6.4.1. Métodos de matrizes em combinatória algébrica  6.4.2. Teoria da Representação
  7. Argumentos e fundamentos  7.1. Teoria dos conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinais e cardinais  7.2. Introdução à teoria dos modelos  7.2.1. Estruturas e teorias na teoria dos modelos  7.2.2. Teorema da compacidade  7.3. Teoria da prova  7.3.1. Sistemas formais  7.3.2. Consistência e completude
  8. Probabilidade e Estatística  8.1. Teoria da probabilidade  8.1.1. Variáveis aleatórias  8.1.2. Expectativa e variação  8.1.3. Teorema do limite central  8.2. Processos estocásticos  8.2.1. Cadeias de Markov  8.2.2. Movimento browniano  8.3. Inferência estatística  8.3.1. Teste de hipóteses  8.3.2. Análise de regressão
  9. Matemática aplicada  9.1. Análise numérica em matemática aplicada  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolação  9.1.3. Análise de erros  9.2. Equações diferenciais parciais  9.2.1. Equação elíptica  9.2.2. Equação parabólica  9.2.3. Equações hiperbólicas  9.3. Sistemas dinâmicos  9.3.1. Teoria do Caos  9.3.2. Análise de estabilidade em sistemas dinâmicos

Doutorado ↓


Argumentos e fundamentos


O estudo de "lógica e fundamentos" é uma área importante na matemática, especialmente no nível de doutorado. Em seu núcleo, este assunto está preocupado em compreender os princípios subjacentes que governam o raciocínio matemático, garantindo que as estruturas que usamos na matemática sejam consistentes, sólidas e completas. Envolve explorar sistemas formais, teoria dos conjuntos, teoria dos modelos e teoria das provas, entre outras áreas.

Fundamentos da lógica

A lógica é essencialmente sobre formular argumentos fundamentados e garantir que as conclusões tiradas sejam razoáveis com base nas premissas fornecidas. No coração do raciocínio lógico estão as sentenças ou proposições, que são frases que são verdadeiras ou falsas, mas não ambas. Estas proposições podem ser combinadas para formar estruturas lógicas mais complexas usando conectivos lógicos como:

  • E (∧): Uma conjunção que é verdadeira se ambas as proposições forem verdadeiras.
  • OU (∨): Uma disjunção que é verdadeira se pelo menos uma das proposições for verdadeira.
  • Não (¬): Uma negação que reverte o valor de verdade de uma proposição.
  • Implica (→): Uma condicional que é falsa somente se a primeira proposição for verdadeira e a segunda for falsa.
  • Se e somente se (↔): Uma bicondicional que é verdadeira se ambas as proposições forem simultaneamente verdadeiras ou falsas.

A lógica formal envolve o uso desses conectivos básicos para construir argumentos válidos. Considere as proposições P e Q. Podemos formar a seguinte expressão lógica:

(P ∧ Q) → R

Esta frase é da forma "Se tanto P quanto Q são verdadeiros, então R é verdadeiro." A validade desta expressão pode ser encontrada listando todos os possíveis valores de verdade de P, Q e R em uma tabela de verdade e determinando o valor de verdade da expressão.

Tabelas de verdade

As tabelas de verdade são uma ferramenta visual útil para mostrar todos os possíveis valores de expressões lógicas. Considere um exemplo simples com duas proposições:

P = Está chovendo
Q = O solo está molhado

A expressão P → Q (se está chovendo, então o solo está molhado) pode ter a seguinte tabela de verdade:

| P | Q | P → Q |
|-----|-----|------------|
| T   | T   | T          |
| T   | F   | F          |
| F   | T   | T          |
| F   | F   | T          |

O único cenário onde P → Q é falso é quando está chovendo (P é verdadeiro) mas o solo não está molhado (Q é falso).

Teoria dos conjuntos

Na base da matemática moderna, a teoria dos conjuntos serve como a estrutura para a construção de todos os objetos matemáticos. Um conjunto é simplesmente uma coleção de objetos distintos considerados como um todo. Por exemplo, o conjunto dos números naturais é representado como:

N = {0, 1, 2, 3, ...}

Conjuntos podem ter as mesmas operações especiais que números, incluindo:

  • União (∪): Um conjunto que contém todos os elementos de qualquer conjunto.
  • Interseção (∩): O conjunto que contém todos os elementos que são comuns a ambos os conjuntos.
  • Diferença (-): Um conjunto que possui elementos em um conjunto, mas não no outro.
  • Complementar (ˈ): Todos os elementos que não estão incluídos no conjunto.

Por exemplo, deixe A e B serem dois conjuntos:

A = {1, 2, 3}
B = {3, 4, 5}

A conjunção e interseção de A e B são as seguintes:

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
A ∩ B = {3}

Visualizar esses conjuntos pode ajudar a entender operações de conjuntos complexas.

A B 3

Fundamentos da matemática

A aspectos básicos da matemática está profundamente enraizada em garantir que os axiomas ou suposições básicas sejam consistentemente inerentes e suficientes para derivar toda a matemática conhecida. Este aspecto de lógica e fundamentos é profundamente influenciado pelo trabalho em sistemas formais, que tentam formalizar conceitos matemáticos intuitivos.

Sistemas formais

Um sistema formal consiste em uma linguagem formal equipada com axiomas e regras de inferência. Um dos primeiros conhecidos sistemas formais é a geometria Euclidiana, baseada nos axiomas de Euclides. Em um sistema formal, desde que você comece com os axiomas, o uso subsequente de regras de inferência permitirá que você obtenha novas verdades dentro do sistema.

Tome os axiomas de Peano, que fornecem um fundamento para os números naturais:

1. 0 é um número.
2. Todo número natural possui um sucessor, que também é um número natural.
3. 0 não é o sucessor de nenhum número natural.
4. Números diferentes têm sucessores diferentes.
5. Uma propriedade que vale para 0 e vale para o sucessor de um número sempre que for válida para esse número, vale para todos os números naturais.

O propósito desses axiomas é definir logicamente as propriedades aritméticas dos números naturais. Usando esses axiomas e o raciocínio lógico, podemos derivar afirmações sobre números que consideramos certas.

Teoria das provas

Outro campo essencial é a teoria das provas, que estuda a estrutura, os tipos e o poder das provas. Uma prova é um argumento lógico que verifica a veracidade de uma afirmação matemática. Na matemática, existem diferentes tipos de provas, incluindo:

  • Prova direta: Envolve a aplicação direta de axiomas e resultados anteriores para encontrar a verdade de uma afirmação.
  • Evidência indireta: Isso geralmente envolve provar o oposto ou provar por contradição para estabelecer a veracidade de uma afirmação.
  • Prova construtiva: Fornece um exemplo explícito ou método para mostrar que um objeto matemático existe.

Exemplo de evidência direta

Um exemplo de evidência direta pode ser relacionado a números pares.

Teorema: A soma de dois números pares é par.

Prova: Deixe m = 2a e n = 2b onde a e b são inteiros. Então, m + n = 2a + 2b = 2(a + b), que é da forma 2k onde k é um inteiro, assim m + n é par.

Teoria dos modelos

A teoria dos modelos trata das relações entre linguagens formais de lógica e suas interpretações ou modelos. O modelo de uma teoria é uma estrutura na qual as sentenças da teoria são verdadeiras, fornecendo um contexto concreto para interpretar abstrações.

Um sistema matemático concreto pode ter muitos modelos. Por exemplo, a teoria dos grupos pode ser aplicada a várias estruturas, como adição, matrizes e números sob rotação em geometria, demonstrando a generalidade de sua aplicação ao satisfazer os axiomas do grupo.

Mais exemplos de texto

A lógica matemática também introduz os conceitos de consistência, completude e decidibilidade.

  • Consistência: Nenhuma contradição pode ser derivada dos axiomas de um sistema. Por exemplo, se os axiomas de Peano são consistentes, então não podem conduzir a uma contradição.
  • Completude: Cada afirmação na linguagem do sistema pode ser provada ou refutada.
  • Decidibilidade: Existe um método eficaz para determinar se uma dada afirmação é passível de prova ou refutação no sistema.

Conclusão

O estudo de lógica e fundamentos em matemática investiga profundamente a construção de sistemas rigorosos e a compreensão da natureza interna das estruturas matemáticas e de outros ramos matemáticos. Esses fundamentos não apenas formam estruturas de conhecimento coerentes, mas também abordam questões filosóficas relacionadas à matemática. Ao dominar a lógica e os fundamentos, a pesquisa e a prática matemática em geral são levadas a novos níveis, ajudando a elaborar conclusões precisas derivadas de bases sólidas e raciocínio claro.


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