समुच्चय सिद्धांत

समुच्चय सिद्धांत गणित का एक मूलभूत भाग है जिसमें हम वस्तुओं के संग्रह का अध्ययन करते हैं, जिन्हें हम समुच्चय कहते हैं। इस सिद्धांत का परिचय 19वीं सदी के अंत में जॉर्ज कैंटर ने दिया था। समुच्चय सिद्धांत की भाषा और उपकरणों का उपयोग लगभग हर गणित की शाखा में किया जाता है, जिससे यह अध्ययन का एक अनिवार्य क्षेत्र बन जाता है।

समुच्चय क्या है?

एक समुच्चय अच्छे प्रकार से परिभाषित भिन्न वस्तुओं का संग्रह है। इन वस्तुओं को समुच्चय के तत्व या सदस्य कहा जाता है। समुच्चय को आमतौर पर बड़े अक्षरों जैसे A, B, C, आदि द्वारा दर्शाया जाता है। यदि कोई तत्व x समुच्चय A में है, तो हम लिखते हैं x ∈ A। यदि x A में नहीं है, तो हम लिखते हैं x ∉ A।

उदाहरण: A = {1, 2, 3}

इस उदाहरण में, 1, 2, और 3 समुच्चय A के तत्व हैं। हम कहते हैं 1 ∈ A, 2 ∈ A, और 3 ∈ A। यदि हम तत्व 4 पर विचार करें, क्योंकि यह समुच्चय A में नहीं है, हम लिखते हैं 4 ∉ A।

समुच्चय का वर्णन कैसे करें

समुच्चय को वर्णन के कई तरीके हैं, लेकिन हम दो मुख्य विधियों पर ध्यान केंद्रित करेंगे: रोस्टर विधि और सेट-बिल्डर विधि।

रोस्टर विधि

रोस्टर विधि में, हम समुच्चय के सभी तत्वों को कर्ली ब्रैकेट्स के अंदर कॉमा से अलग करके सूचीबद्ध करते हैं। उदाहरण के लिए:

B = {सेब, केला, चेरी}

इस समूह B में तीन फल तत्व हैं: सेब, केला, और चेरी।

सेट-बिल्डर विधि

सेट-बिल्डर विधि में, हम उन गुणों या विशेषताओं का वर्णन करते हैं जो समुच्चय के तत्वों में समान होते हैं। यह लंबवत बार या कोलन का उपयोग करके लिखा जाता है। उदाहरण के लिए:

C = { x | x एक सकारात्मक सम संख्या है }
C = { x : x > 0 और x mod 2 = 0 }

दोनों वर्णन समुच्चय C को सभी सकारात्मक सम संख्याओं के समुच्चय के रूप में निर्दिष्ट करते हैं।

मूलभूत समुच्चय संचालन

हम समुच्चयों पर कई मूलभूत संचालन कर सकते हैं। इनमें संगम, प्रतिच्छेदन, अंतर, और पूरक शामिल हैं।

समुच्चयों का संगम

दो समुच्चयों का संगम उन तत्वों का समुच्चय है जो या तो एक में हैं या दोनों में हैं। यदि A और B समुच्चय हैं, तो उनका संगम A ∪ B द्वारा दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए,

A = {1, 2, 3}
B = {3, 4, 5}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}

समुच्चयों का प्रतिच्छेदन

दो समुच्चयों का प्रतिच्छेदन उन तत्वों का समुच्चय है जो दोनों समुच्चयों में सामान्य हैं। यह A ∩ B द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ A और B समुच्चय हैं। उदाहरण के लिए,

A = {1, 2, 3}
B = {3, 4, 5}
A ∩ B = {3}

समुच्चयों का अंतर

दो समुच्चयों A और B का अंतर, जिसे A - B या A B द्वारा दर्शाया जाता है, उन तत्वों का समुच्चय होता है जो A में हैं लेकिन B में नहीं हैं। उदाहरण के लिए,

A = {1, 2, 3}
B = {3, 4, 5}
A − B = {1, 2}

समुच्चय A - B में वे तत्व शामिल होते हैं जो A में होते हैं लेकिन B में नहीं।

समुच्चय का पूरक

यदि U सार्वभौमिक समुच्चय है, जिसका अर्थ है कि यह सभी संभावित तत्वों का समुच्चय है और A U का एक उपसमुच्चय है, तो A का पूरक, जिसे A' या A ^c द्वारा दर्शाया जाता है, उन तत्वों का समुच्चय होता है जो U में होते हैं लेकिन A में नहीं होते। उदाहरण के लिए,

U = {1, 2, 3, 4, 5}
A = {1, 2, 3}
A' = {4, 5}

वेन आरेख

वेन आरेख समुच्चयों और उनके संचालन को दर्शाने का एक दृश्य तरीका है। वे आयत (सार्वभौमिक समुच्चय का प्रतिनिधित्व) के भीतर वृत्त (समुच्चयों का प्रतिनिधित्व) से मिलकर बने होते हैं। वृत्तों के ओवरलैपिंग क्षेत्र प्रतिच्छेदन को दर्शाते हैं, जबकि ओवरलैप के बाहर के क्षेत्र अंतर को दर्शाते हैं।

इस वेन आरेख में, दो ओवरलैपिंग वृत्त समुच्चय A और B का प्रतिनिधित्व करते हैं। ओवरलैपिंग हिस्सा A ∩ B का प्रतिच्छेदन दर्शाता है।

उपसमुच्चय और अतिसमुच्चय

एक समुच्चय A को समुच्चय B का उपसमुच्चय कहा जाता है यदि A का प्रत्येक तत्व B का भी तत्व है। इसे A ⊆ B द्वारा दर्शाया जाता है। यदि A B का उपसमुच्चय है लेकिन B के बराबर नहीं है, तो A को उपयुक्त उपसमुच्चय कहा जाता है और इसे A ⊂ B द्वारा दर्शाया जाता है।

A = {1, 2}
B = {1, 2, 3, 4}
A ⊆ B

यह वक्तव्य हमें बताता है कि समुच्चय A के सभी तत्व समुच्चय B में समाहित हैं। समुच्चय A, B का उपयुक्त उपसमुच्चय है क्योंकि इसमें B के सभी तत्व शामिल नहीं हैं।

पॉवर सेट

किसी भी समुच्चय S का पॉवर सेट S के सभी संभावित उपसमुच्चाओं का समुच्चय होता है, जिसमें खाली समुच्चय और S स्वयं शामिल होते हैं। पॉवर सेट को P(S) या ^{2 S} द्वारा दर्शाया जाता है।

S = {a, b}
P(S) = { {}, {a}, {b}, {a, b} }

किसी समुच्चय के साथ n तत्वों के लिए, पॉवर सेट में ^{2 n} तत्व होंगे।

कार्टेशियन गुणन

दो समुच्चयों A और B का कार्टेशियन गुणन, जिसे A × B द्वारा दर्शाया जाता है, उन सभी क्रमित द्वयकों का समुच्चय होता है जहाँ a A में है और b B में है।

A = {1, 2}
B = {x, y}
A × B = { (1, x), (1, y), (2, x), (2, y) }

कार्टेशियन गुणन को एक ग्रिड या तालिका के रूप में देखा जा सकता है, जिसमें समुच्चय A के तत्व एक धुरी पर और समुच्चय B के तत्व दूसरी धुरी पर होते हैं, प्रत्येक द्वयक एक क्रमित युग्म का प्रतिनिधित्व करता है।

अनंत समुच्चय और प्रभेदिता

समुच्चय सिद्धांत सीमित और अनंत समुच्चयों के बीच अंतर करता है। अनंत समुच्चय वे होते हैं जिनके तत्वों की संख्या सीमित नहीं होती। प्रभेदिता किसी समुच्चय में तत्वों की "संख्या" का माप है। सीमित समुच्चयों के लिए, यह एक सरल गणना है, लेकिन अनंत समुच्चयों की प्रभेदिता अनंत होती है।

उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय N = {1, 2, 3, ...} में अनंत तत्व होते हैं। जॉर्ज कैंटर ने यह आश्चर्यजनक परिणाम दिखाया कि अनंत समुच्चयों के भी विभिन्न आकार (प्रभेदिता) हो सकते हैं।

गणनीय बनाम अघननीय समुच्चय

एक अनंत समुच्चय गणनीय होता है यदि इसके तत्वों को प्राकृतिक संख्याओं के साथ एक-से-एक संबंध में रखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, सम संख्याओं का समुच्चय {2, 4, 6, ...} गणनीय होता है क्योंकि हर संख्या को एक प्राकृतिक संख्या के साथ जोड़ा जा सकता है।

यदि किसी समुच्चय में प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय से अधिक तत्व हैं, तो वह समुच्चय अघननीय होता है। सबसे प्रसिद्ध अघननीय समुच्चय 0 और 1 के बीच वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।