Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

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Teoría de conjuntos


La teoría de conjuntos es una parte fundamental de las matemáticas donde estudiamos colecciones de objetos, que llamamos conjuntos. La teoría fue introducida por Georg Cantor a finales del siglo XIX. El lenguaje y las herramientas de la teoría de conjuntos se utilizan en casi todas las ramas de las matemáticas, lo que la convierte en un área de estudio indispensable.

¿Qué es un conjunto?

Un conjunto es una colección bien definida de objetos distintos. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto. Los conjuntos suelen denotarse con letras mayúsculas como A, B, C, etc. Si un elemento x está en el conjunto A, escribimos x ∈ A. Si x no está en A, escribimos x ∉ A.

Ejemplo: A = {1, 2, 3}

En este ejemplo, 1, 2 y 3 son elementos del conjunto A. Decimos 1 ∈ A, 2 ∈ A y 3 ∈ A. Si consideramos el elemento 4, ya que no está en el conjunto A, escribimos 4 ∉ A.

A 1 2 3

Cómo describir un conjunto

Los conjuntos pueden describirse de diversas maneras, pero nos centraremos en dos métodos principales: el método de la lista y el método del constructor de conjuntos.

Método de lista

En el método de la lista, enumeramos todos los elementos del conjunto dentro de llaves, separados por comas. Por ejemplo:

B = {manzana, plátano, cereza}

Este grupo B contiene tres elementos de frutas: manzana, plátano y cereza.

Método del constructor de conjuntos

En el método del constructor de conjuntos, describimos las propiedades o atributos que tienen en común los elementos del conjunto. Se escribe usando una barra vertical o dos puntos. Por ejemplo:

C = { x | x es un número par positivo }
C = { x : x > 0 y x mod 2 = 0 }

Ambas descripciones especifican el conjunto C como el conjunto de todos los números pares positivos.

Operaciones básicas con conjuntos

Existen varias operaciones básicas que podemos realizar con conjuntos. Estas incluyen unión, intersección, diferencia y complemento.

Unión de conjuntos

La unión de dos conjuntos es el conjunto de elementos que están en uno de los conjuntos o en ambos. Si A y B son conjuntos, entonces su unión se representa por A ∪ B. Por ejemplo,

A = {1, 2, 3}
B = {3, 4, 5}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
A B A ∪ B

Intersección de conjuntos

La intersección de dos conjuntos es el conjunto de elementos que son comunes a ambos conjuntos. Se representa por A ∩ B para los conjuntos A y B. Por ejemplo,

A = {1, 2, 3}
B = {3, 4, 5}
A ∩ B = {3}
A B A ∩ B

Diferencia de conjuntos

La diferencia de dos conjuntos A y B, denotada A - B o A B, es el conjunto de elementos que están en A pero no en B. Por ejemplo,

A = {1, 2, 3}
B = {3, 4, 5}
A - B = {1, 2}

El conjunto A - B contiene aquellos elementos de A que no están en B.

Complemento de un conjunto

Si U es el conjunto universal, lo que significa que es el conjunto de todos los elementos posibles bajo consideración, y A es un subconjunto de U, entonces el complemento de A, denotado A' o A c, es el conjunto de elementos que están en U pero no en A. Por ejemplo,

U = {1, 2, 3, 4, 5}
A = {1, 2, 3}
A' = {4, 5}

Diagramas de Venn

Los diagramas de Venn son una forma visual de representar conjuntos y sus operaciones. Consisten en círculos (que representan conjuntos) dentro de un rectángulo (que representa el conjunto universal). Las regiones superpuestas de los círculos muestran intersecciones, mientras que las regiones fuera de la superposición muestran diferencias.

A B

En este diagrama de Venn, dos círculos superpuestos representan los conjuntos A y B. La parte superpuesta representa la intersección de A ∩ B.

Subconjuntos y superconjuntos

Un conjunto A se llama subconjunto de un conjunto B si cada elemento de A es también un elemento de B. Se denota por A ⊆ B. Si A es un subconjunto de B pero no es igual a B, entonces A se llama subconjunto propio y se denota por A ⊂ B.

A = {1, 2}
B = {1, 2, 3, 4}
A ⊆ B

Esta declaración nos dice que todos los elementos del conjunto A están contenidos en el conjunto B. El conjunto A es un subconjunto propio de B porque no contiene todos los elementos de B.

Conjunto potencia

El conjunto potencia de cualquier conjunto S es el conjunto de todos los subconjuntos posibles de S, incluyendo el conjunto vacío y S mismo. El conjunto potencia se denota por P(S) o 2 S.

S = {a, b}
P(S) = { {}, {a}, {b}, {a, b} }

Para un conjunto con n elementos, el conjunto potencia tendrá 2 n elementos.

Producto cartesiano

El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, denotado A × B, es el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) donde a está en A y b está en B.

A = {1, 2}
B = {x, y}
A × B = { (1, x), (1, y), (2, x), (2, y) }

El producto cartesiano puede verse como una cuadrícula o tabla, con los elementos del conjunto A en un eje y los elementos del conjunto B en el otro, cada corchete representa un par ordenado.

Conjuntos infinitos y cardinalidad

La teoría de conjuntos distingue entre conjuntos finitos e infinitos. Los conjuntos infinitos son conjuntos que no tienen un número finito de elementos. La cardinalidad de un conjunto es una medida del "número de elementos" en el conjunto. Para conjuntos finitos, esto es un cálculo simple, pero los conjuntos infinitos tienen cardinalidad infinita.

Por ejemplo, el conjunto de números naturales N = {1, 2, 3, ...} tiene un número infinito de elementos. Georg Cantor demostró el sorprendente resultado de que los conjuntos infinitos también pueden tener diferentes tamaños (cardinalidades).

Conjuntos contables vs. no contables

Un conjunto infinito es contable si sus elementos pueden ponerse en correspondencia uno a uno con los números naturales. Por ejemplo, el conjunto de números pares {2, 4, 6, ...} es contable porque cada número puede emparejarse con un número natural.

Si un conjunto tiene más elementos que el conjunto de números naturales, entonces el conjunto es no contable. El ejemplo más famoso de un conjunto no contable es el conjunto de números reales entre 0 y 1.

Aplicaciones de la teoría de conjuntos

La teoría de conjuntos se utiliza ampliamente en muchas áreas de las matemáticas, y también en informática, lógica y filosofía. Aquí hay algunas aplicaciones notables:

  • Definición de una función: Una función de un conjunto A a un conjunto B puede verse como un subconjunto del producto cartesiano A × B
  • Probabilidad: La probabilidad de un evento puede verse como una medida de un conjunto de resultados en un espacio muestral.
  • Teoría de bases de datos: Operaciones como selección y proyección en bases de datos relacionales pueden explicarse usando la teoría de conjuntos.

La teoría de conjuntos también forma la base de otras estructuras matemáticas importantes como grupos, anillos y campos.

Más allá de su papel fundamental, la teoría de conjuntos sigue siendo un área de investigación activa, donde los matemáticos examinan grandes cardinales, determinación, y fuerza, entre otros temas.

En general, la teoría de conjuntos proporciona la base para las matemáticas modernas. Permite a los matemáticos trabajar rigurosamente con el infinito y es útil para desarrollar el razonamiento lógico.


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