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Zermelo–Fraenkel 公理

Zermelo–Fraenkel 公理，常被缩写为 ZF，构成了现代集合论的大部分基础系统，并由此扩展出现代数学的结构。这些是一组旨在精确描述集合的性质及其相互关系的公理。引入于 20 世纪初，已经成为数学界广泛接受的标准框架。

简单来说，集合是对象的集合，可以是任何东西：数字、人、字母，甚至其他集合。集合中的对象称为其元素。集合的重要方面是它们使我们能够将一组事物视为单一对象进行讨论。

公理系统

Zermelo-Fraenkel 系统由几个公理组成。每个公理都是关于集合的声明，并且没有进一步的证明；它们在 ZF 框架中被假设为真。让我们逐一查看每个公理：

1. 可伸缩性公理

这是一个基本公理，因为它告诉我们何时两个集合是相等的。根据外延公理，两个集合只有在具有完全相同的元素时才相等。形式上：

    ∀A ∀B (A = B ↔ ∀x (x ∈ A ↔ x ∈ B))

简单来说，如果集合 A 包含集合 B 所包含的所有内容，那么 A 和 B 是相等的。

2. 正则性公理（基础）

正则性公理指出没有集合是其自身的元素，从而有助于避免悖论结构（例如，著名的罗素悖论）。它确保集合以良好构建的方式从更简单的集合构建。形式上：

    ∀A (A ≠ ∅ → ∃B (B ∈ A ∧ ∀C (C ∈ A → ¬(C ∈ B))))

这本质上意味着每个非空集合 A 包含一个与 A 不相交的元素 B。

3. 配对原则

给定任何两个集合，该公理指出存在另一个集合，仅包含这两个集合，不包含其他任何集合。形式上：

    ∀A ∀B ∃C ∀D (D ∈ C ↔ (D = A ∨ D = B))

例如，如果我们有集合 A 和 B，就会有一个 C 集合 = {A, B}。

4. 并集公理

根据联合公理，对于任何集合，存在另一个集合，包含属于初始集合的元素的所有集合的所有元素。形式上：

    ∀A ∃B ∀C (C ∈ B ↔ ∃D (C ∈ D ∧ D ∈ A))

视觉示例：

这告诉我们，如果我们有一个包含其他集合的集合 A，则存在一个新的集合 B，其中包含 A 中所有集合的所有元素。

5. 幂集公理

幂集公理指出，对于任何集合，存在一个包含其所有可能子集的集合，称为其幂集。形式上：

    ∀A ∃B ∀C (C ∈ B ↔ C ⊆ A)

如果集合 A = {1, 2}，则其幂集是集合 {∅, {1}, {2}, {1, 2}}。

6. 无限集公理

该公理通过验证特定集合的存在来保证无限集合的存在。形式上：

    ∃A (∅ ∈ A ∧ ∀x (x ∈ A → x ∪ {x} ∈ A))

无限公理为自然数提供了基础。它断言存在一个没有最大元素的组，该组会顺序地扩展到无限大。

7. 替换公理

替换公理允许通过替换现有集合的元素与其他集合以基于某个函数的方式创建新集合。形式上：

    ∀A ∀F (∀x ∈ A ∃!y F(x, y) → ∃B ∀y(y ∈ B ↔ ∃x ∈ AF(x, y)))

根据该公理，如果您有一个集合和一个为每个输入提供输出集合的规则，则可以将原始集合的每个元素替换为其对应的输出集合。

8. 分离公理（子集公理）

通常是最直观的公理之一，它允许您根据某个条件或属性从现有集合创建一个新的子集。形式上：

    ∀A ∀P ∃B ∀x (x ∈ B ↔ (x ∈ A ∧ P(x)))

这个公理很重要，因为它允许我们通过使用性质 P 过滤现有集合 A 来定义新集合。

9. 零集合公理

这个简单的公理断言了空集的存在，这个集合不包含任何元素。形式上：

    ∃A ∀x ¬(x ∈ A)

这个公理确保我们存在空集这样的东西。