Doutorado
  1. Compreendendo Álgebra  1.1. Teoria dos grupos  1.1.1. Propriedades básicas dos grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Classes laterais e o teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normais  1.1.5. Grupo quociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introdução aos grupos livres  1.1.9. O que são atividades em grupo?  1.1.10. Grupos simples e solucionáveis  1.2. Teoria dos anéis  1.2.1. Anéis e ideais  1.2.2. Introdução aos homomorfismos de anéis  1.2.3. Aneis polinomiais  1.2.4. Domínios de ideais principais  1.2.5. Domínios de Fatoração Única  1.2.6. Anéis noetherianos  1.2.7. Anéis Artinianos  1.3. Teoria dos Campos  1.3.1. Extensões de corpos  1.3.2. Divisão de área  1.3.3. Teoria de Galois  1.3.4. Fechamento algébrico na teoria dos corpos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensão transcendental  1.4. Teoria dos módulos  1.4.1. Módulos sobre anéis  1.4.2. Módulos livres  1.4.3. Homomorfismo de módulo  1.4.4. Módulos simples e semi-simples  1.4.5. Módulos projetivos  1.4.6. Módulos Injetivos  1.5. Álgebra linear  1.5.1. Espaço vetorial  1.5.2. Transformações lineares  1.5.3. Entendendo Autovalores e Autovetores  1.5.4. Forma canônica  1.5.5. Espaço de produto interno  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Decomposição em valores singulares
  2. Compreendendo a Análise Matemática  2.1. Análise real  2.1.1. Números reais e completude  2.1.2. Introdução a sequências e séries  2.1.3. Continuidade em análise real  2.1.4. Diferenciação em análise real  2.1.5. Integração de Riemann  2.1.6. Introdução aos espaços métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análise Complexa  2.2.1. Números complexos  2.2.2. Funções analíticas  2.2.3. Integração de contorno  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema do Resíduo  2.2.6. Mapeamento conformal  2.3. Análise Funcional  2.3.1. Compreendendo locais padrão  2.3.2. Introdução aos espaços de Banach  2.3.3. Espaços de Hilbert  2.3.4. Operadores lineares  2.3.5. Teoria espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoria da Medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medição e integrais na teoria da medida  2.4.3. Integração de Lebesgue  2.4.4. Teorema da Convergência  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análise Harmônica  2.5.1. Séries de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoria da distribuição  2.5.4. Wavelets
  3. Topologia  3.1. Topologia geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Continuidade  3.1.3. Introdução à compacidade  3.1.4. Conectividade na topologia geral  3.1.5. Topologia métrica  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoria da homotopia  3.2.3. Teoria da homologia  3.2.4. Cohomologia  3.2.5. Sequência exata  3.3. Topologia diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espaço tangente  3.3.3. Campos vetoriais  3.3.4. Compreendendo Formas Diferenciais
  4. Geometria  4.1. Geometria diferencial  4.1.1. Curvas e superfícies na geometria diferencial  4.1.2. Geometria Riemanniana  4.1.3. Compreendendo geodésicas na geometria diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometria algébrica  4.2.1. Variedades afins e projetivas  4.2.2. Planos  4.2.3. Separadores e interseções  4.2.4. Cohomologia na geometria algébrica  4.3. Geometria Computacional  4.3.1. Introdução às coberturas convexas na geometria computacional  4.3.2. Triangulação  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoria dos números  5.1. Teoria dos números elementar  5.1.1. Divisibilidade na teoria elementar dos números  5.1.2. Congruência na teoria dos números elementar  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoria analítica dos números  5.2.1. Teorema dos números primos  5.2.2. Séries de Dirichlet  5.2.3. Zeta e funções L  5.3. Teoria dos números algébricos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introdução aos ideais na teoria algébrica dos números  5.3.3. Grupos de classes em teoria algébrica dos números  5.3.4. Representação de Galois
  6. Companhia  6.1. Combinatória computacional  6.1.1. Função Geradora  6.1.2. Relação de recorrência  6.1.3. Permanência e combinação  6.2. Teoria dos grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planaridade em teoria dos grafos  6.2.3. Coloração de grafos  6.3. Combinatória extrema  6.3.1. Teoria de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos em combinatória extrema  6.4. Combinatória algébrica  6.4.1. Métodos de matrizes em combinatória algébrica  6.4.2. Teoria da Representação
  7. Argumentos e fundamentos  7.1. Teoria dos conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinais e cardinais  7.2. Introdução à teoria dos modelos  7.2.1. Estruturas e teorias na teoria dos modelos  7.2.2. Teorema da compacidade  7.3. Teoria da prova  7.3.1. Sistemas formais  7.3.2. Consistência e completude
  8. Probabilidade e Estatística  8.1. Teoria da probabilidade  8.1.1. Variáveis aleatórias  8.1.2. Expectativa e variação  8.1.3. Teorema do limite central  8.2. Processos estocásticos  8.2.1. Cadeias de Markov  8.2.2. Movimento browniano  8.3. Inferência estatística  8.3.1. Teste de hipóteses  8.3.2. Análise de regressão
  9. Matemática aplicada  9.1. Análise numérica em matemática aplicada  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolação  9.1.3. Análise de erros  9.2. Equações diferenciais parciais  9.2.1. Equação elíptica  9.2.2. Equação parabólica  9.2.3. Equações hiperbólicas  9.3. Sistemas dinâmicos  9.3.1. Teoria do Caos  9.3.2. Análise de estabilidade em sistemas dinâmicos

Doutorado → Companhia → Combinatória algébrica ↓


Teoria da Representação


A teoria da representação é um campo da matemática que estuda as simetrias das estruturas algébricas para descobrir como essas estruturas podem atuar em espaços vetoriais. Essa abordagem conecta a álgebra à geometria, fornecendo ferramentas para resolver problemas analisando as formas como os objetos algébricos podem ser representados como transformações lineares de espaços vetoriais. Tem muitas áreas de aplicação, incluindo física teórica, química e ciência da computação. Nesta explicação, nos concentraremos nos aspectos combinatórios da teoria da representação, particularmente no contexto da combinatória algébrica.

Noções básicas de teoria da representação

Na teoria da representação, um objeto algébrico como um grupo, álgebra ou álgebra de Lie é representado por matrizes e operações matriciais. Vamos começar com um exemplo intuitivo que nos guiará pelos conceitos básicos.

Exemplo simples: grupo simétrico

Considere o grupo simétrico S 3, que consiste em todas as permutações de três elementos. Há um total de seis permutações possíveis. Um elemento específico desse grupo pode ser escrito como uma permutação, tal como:

(1 2 3) -> (2 1 3)

Na teoria da representação, nosso objetivo é encontrar um conjunto de matrizes tal que a operação do grupo imite a multiplicação matricial. Para S 3, podemos encontrar uma representação matricial 3x3 para cada permutação do grupo que atua em um espaço vetorial.

Por exemplo, a permutação (1 2 3) -> (2 1 3) pode ser representada pela matriz:

[0 1 0]
[1 0 0]
[0 0 1]

Isso rearranja os componentes de um vetor para refletir uma permutação dos índices da matriz.

Conceitos-chave na teoria da representação

Módulos e espaços vetoriais

Usamos espaços vetoriais para estudar como as estruturas algébricas atuam em espaços vetoriais. Uma representação é essencialmente um mapeamento de uma estrutura algébrica para um conjunto de matrizes que atuam em um espaço vetorial. Mais formalmente, se G é um grupo, então uma representação de G é um isomorfismo:

φ : G → GL(V)

onde GL(V) denota o grupo linear geral de um espaço vetorial V. Isso significa que cada elemento g em G é associado a uma transformação linear no espaço vetorial V.

Representações irreducíveis

Grande parte da teoria da representação está preocupada em decompor representações em componentes mais simples, chamados de representações irreducíveis, que não podem ser decompostas em representações menores.

Visualizar isso é como decompor uma estrutura complexa em seus blocos de construção mais simples. Por exemplo, considere um objeto tridimensional, como um cubo. Você pode imaginar empurrar ou puxar o cubo usando uma grade, onde cada linha na grade representa uma dimensão. Da mesma forma, na teoria da representação, cada "linha" corresponderia a uma representação invariável. Resolver uma representação de grupo complexa muitas vezes envolve encontrar esses componentes mais simples e indivisíveis.

Caracteres de uma representação

O caráter de uma representação é uma ferramenta poderosa que atribui um número a cada elemento do grupo, e fornece informações essenciais sobre a representação. O caráter de um elemento g em uma representação φ é dado pela trilha ou traço da matriz que representa g:

χ(g) = trace(φ(g))

Os caracteres são muito úteis porque permanecem inalterados quando a representação é alterada por uma transformação de similaridade, fornecendo invariância que simplifica o estudo das representações. Eles formam uma boa ponte entre a teoria da representação e a combinatória.

Aspectos combinatórios da teoria da representação

Tableaux de Young e tableaux padrão

Uma poderosa ferramenta de visualização no lado combinatório da teoria da representação é o tableau de Young. Os tableaux de Young são objetos combinatórios utilizados para estudar grupos simétricos e servem como índices para representações irreducíveis desses grupos.

Considere novamente o grupo simétrico S 3. Suas representações são indexadas por partições de 3. Essas partições podem ser pensadas como maneiras de distribuir 3 objetos iguais em grupos.

1 2 3

A tabela acima mostra a partição de S 3 como (2,1), que captura uma das maneiras de quebrar a simetria do índice de S 3. Cada célula na tabela pode ser preenchida com números que satisfazem regras estritas que sugerem diferentes maneiras de permutar ou organizar os elementos do grupo.

As tableaus padrão de Young são aquelas em que os números aumentam em cada linha e descem em cada coluna. Eles fornecem uma maneira sistemática de olhar para as simetrias e contá-las.

Função de Schur

Outro conceito importante é a função de Schur, que surge naturalmente no estudo das funções simétricas e está intimamente relacionada à teoria da representação. Elas são particularmente importantes na mecânica quântica e na geometria algébrica.

As funções de Schur podem ser expressas em termos de determinantes. Por exemplo, se você tem uma partição λ = (λ 1 , λ 2 ,..., λ n ), então a função de Schur s λ pode ser escrita como:

s λ( x 1, x 2, ..., x n ) = det(x i λ j + nj)

O poder e a beleza das funções de Schur residem em suas propriedades de simetria e em sua decomposição em representações invariáveis correspondentes do grupo simétrico.

Aplicações da teoria da representação

Física: Mecânica Quântica

A teoria da representação tem profundas implicações na física, particularmente na mecânica quântica, onde as simetrias dos sistemas quânticos muitas vezes determinam suas propriedades físicas. As partículas na mecânica quântica costumam ser classificadas de acordo com suas representações de grupos, como o grupo de rotação SO(3) ou o grupo unitário SU(2).

Teoria da codificação e criptografia

A teoria da representação desempenha um papel importante na teoria da codificação, que é crucial para a detecção e correção de erros na transmissão de dados, e também é importante na criptografia, onde simetrias e representações de grupos são fundamentais para criar e entender códigos seguros.

Análise de composição química

Na química, as moléculas muitas vezes são estudadas com base em suas propriedades de simetria. A teoria da representação fornece uma base matemática para entender as vibrações moleculares e espectros, que podem ser analisados com conceitos teóricos de grupos que emergem de estruturas representativas teóricas.

Conclusão

A teoria da representação conecta elementos de diferentes domínios matemáticos, proporcionando insights mais profundos sobre as estruturas simétricas dos objetos algébricos. Serve como uma ponte entre a álgebra abstrata e aplicações práticas em ciência e engenharia. Ao usar ferramentas da combinatória e alinhar estruturas matemáticas através de representações de espaços vetoriais, abre caminhos para resolver problemas complexos usando conceitos matemáticos práticos.


Doutorado → 6.4.2


U
username
0%
concluído em Doutorado

← Anterior (6.4.1)
Métodos de matrizes em combinatória algébrica
Próximo (7) →
Argumentos e fundamentos

Comentários 



Teoria da Representação

https://www.buddymath.com/phd/6.4.2?bmal=pt