Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

Doctorado → Compañerismo → Combinatoria algebraica ↓


Teoría de la representación


La teoría de la representación es un campo de las matemáticas que estudia las simetrías de las estructuras algebraicas para averiguar cómo estas estructuras pueden actuar sobre espacios vectoriales. Este enfoque conecta el álgebra con la geometría, proporcionando herramientas para resolver problemas analizando las formas en que los objetos algebraicos pueden ser representados como transformaciones lineales de espacios vectoriales. Tiene muchas áreas de aplicación, incluyendo la física teórica, la química y la informática. En esta explicación, nos enfocaremos en los aspectos combinatorios de la teoría de la representación, particularmente en el contexto de la combinatoria algebraica.

Fundamentos de la teoría de la representación

En la teoría de la representación, un objeto algebraico como un grupo, un álgebra o un álgebra de Lie se representa mediante matrices y operaciones de matrices. Comencemos con un ejemplo intuitivo que nos guiará a través de los conceptos básicos.

Ejemplo sencillo: grupo simétrico

Considere el grupo simétrico S 3, que consiste en todas las permutaciones de tres elementos. Hay un total de seis permutaciones posibles. Un elemento específico de este grupo puede escribirse como una permutación, tal como:

(1 2 3) -> (2 1 3)

En la teoría de la representación, nuestro objetivo es encontrar un conjunto de matrices de manera que la operación del grupo imite la multiplicación de matrices. Para S 3, podemos encontrar una representación de matriz 3x3 para cada permutación del grupo que actúe sobre un espacio vectorial.

Por ejemplo, la permutación (1 2 3) -> (2 1 3) puede ser representada por la matriz:

[0 1 0]
[1 0 0]
[0 0 1]

Esto reorganiza los componentes de un vector para reflejar una permutación de los índices de la matriz.

Conceptos clave en la teoría de la representación

Módulos y espacios vectoriales

Utilizamos espacios vectoriales para estudiar cómo las estructuras algebraicas actúan sobre espacios vectoriales. Una representación es esencialmente un mapa de una estructura algebraica a un conjunto de matrices que actúan sobre un espacio vectorial. Más formalmente, si G es un grupo, entonces una representación de G es un isomorfismo:

φ : G → GL(V)

donde GL(V) denota el grupo lineal general de un espacio vectorial V. Esto significa que cada elemento g en G está asociado con una transformación lineal en el espacio vectorial V.

Representaciones irreducibles

Gran parte de la teoría de la representación se preocupa de descomponer representaciones en componentes más simples, llamados representaciones irreducibles, que no pueden ser descompuestas más en representaciones más pequeñas.

Visualizar esto es como descomponer una estructura compleja en sus bloques de construcción más simples. Por ejemplo, considere un objeto tridimensional como un cubo. Uno puede imaginar empujar o tirar del cubo usando una cuadrícula, donde cada línea en la cuadrícula representa una dimensión. De manera similar, en la teoría de la representación, cada "línea" correspondería a una representación invariante. Resolver la representación de un grupo complejo a menudo involucra encontrar estos componentes más simples e indivisibles.

Caracteres de una representación

El carácter de una representación es una herramienta poderosa que asigna un número a cada elemento del grupo, y proporciona información esencial sobre la representación. El carácter de un elemento g en una representación φ está dado por el trazo de la matriz que representa g:

χ(g) = trace(φ(g))

Los caracteres son muy útiles porque permanecen inalterados cuando la representación es cambiada por una transformación de similitud, proporcionando invariancia que simplifica el estudio de las representaciones. Forman un buen puente entre la teoría de la representación y la combinatoria.

Aspectos combinatorios de la teoría de la representación

Tablones de Young y tablones estándar

Una herramienta visual poderosa en el lado combinatorio de la teoría de la representación es el tableau de Young. Los tablones de Young son objetos combinatorios utilizados para estudiar grupos simétricos y sirven como índices para representaciones irreducibles de estos grupos.

Considere de nuevo el grupo simétrico S 3. Sus representaciones están indexadas por particiones de 3. Estas particiones pueden pensarse como maneras de distribuir 3 objetos iguales en grupos.

1 2 3

El tableau arriba muestra la partición de S 3 como (2,1), lo que captura una de las maneras de romper la simetría del índice de S 3. Cada celda en el tableau puede ser llenada con números que satisfacen estrictas reglas que sugieren diferentes maneras de permutar o arreglar los elementos del grupo.

Los tablones de Young estándar son aquellos donde los números aumentan en cada fila y bajan en cada columna. Proporcionan una manera sistemática de mirar las simetrías y contarlas.

Función de Schur

Otro concepto importante es la función de Schur, que surge naturalmente en el estudio de funciones simétricas y está estrechamente relacionado con la teoría de la representación. Son particularmente importantes en mecánica cuántica y geometría algebraica.

Las funciones de Schur pueden expresarse en términos de determinantes. Por ejemplo, si se tiene una partición λ = (λ 1 , λ 2 ,..., λ n ), entonces la función de Schur s λ puede escribirse como:

s λ( x 1, x 2, ..., x n ) = det(x i λ j + nj)

El poder y la belleza de las funciones de Schur radica en sus propiedades de simetría y su descomposición en las correspondientes representaciones invariantes del grupo simétrico.

Aplicaciones de la teoría de la representación

Física: Mecánica cuántica

La teoría de la representación tiene profundas implicaciones en la física, particularmente en la mecánica cuántica donde las simetrías de los sistemas cuánticos a menudo determinan sus propiedades físicas. Las partículas en mecánica cuántica muchas veces se clasifican de acuerdo con sus representaciones de grupos como el grupo de rotación SO(3) o el grupo unitario SU(2).

Teoría de la codificación y criptografía

La teoría de la representación juega un papel importante en la teoría de la codificación, que es crucial para la detección y corrección de errores en la transmisión de datos, y también es importante en criptografía, donde las simetrías y las representaciones de grupos son fundamentales para crear y entender códigos seguros.

Análisis de composición química

En química, las moléculas a menudo se estudian basándose en sus propiedades de simetría. La teoría de la representación proporciona una base matemática para entender vibraciones y espectros moleculares, que pueden ser analizados con conceptos de teoría de grupos que emergen de marcos teóricos de representantes.

Conclusión

La teoría de la representación conecta elementos de diferentes dominios matemáticos, proporcionando conocimientos más profundos sobre las estructuras simétricas de los objetos algebraicos. Sirve como un puente entre el álgebra abstracta y aplicaciones prácticas en la ciencia y la ingeniería. Al utilizar herramientas de la combinatoria y alinear estructuras matemáticas a través de representaciones de espacios vectoriales, abre vías para resolver problemas complejos usando conceptos matemáticos prácticos.


Doctorado → 6.4.2


U
username
0%
completado en Doctorado

← Anterior (6.4.1)
Métodos de matrices en combinatoria algebraica
Siguiente (7) →
Argumentos y fundamentos

Comentarios 



Teoría de la representación

https://www.buddymath.com/phd/6.4.2?bmal=es