Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

Doctorado → Compañerismo → Combinatoria extrema ↓


Teoría de Ramsey


La teoría de Ramsey es un área fascinante de la combinatoria y las matemáticas. Esta teoría explora las condiciones en las que debería aparecer el orden en una configuración aparentemente caótica. Nombrada así en honor al matemático británico Frank P. Ramsey, esta teoría tiene como objetivo encontrar orden dentro del caos. Específicamente, intenta determinar el número mínimo de elementos necesarios para asegurar que una estructura o patrón particular se mantenga cuando coloreas o dispones objetos de diferentes maneras.

Considera un problema simple: Imagina que tienes algunas personas en una fiesta, y cada par de personas puede ser amigos o desconocidos. La teoría de Ramsey intenta determinar cuántas personas deben estar presentes en esta fiesta para asegurar que haya tres amigos mutuos o tres desconocidos mutuos. La teoría muestra que, notablemente, tal número siempre existe.

Idea original

La teoría de Ramsey se entiende mejor a través de algunos ejemplos básicos. En su esencia, pregunta cuán grande debe ser una estructura para asegurar una propiedad específica, sin importar cómo definas las relaciones entre elementos en esa estructura. Aquí hay un ejemplo introductorio clásico:

Ejemplo 1: Amigos y desconocidos

Supongamos que tienes un grupo de seis personas. Según la teoría de Ramsey, en este grupo, siempre encontrarás tres personas que se conocen entre sí o tres personas que no se conocen entre sí. Vamos a probar esta afirmación.

Vamos a llamar a estas seis personas A, B, C, D, E y F. Consideremos a una sola persona, digamos A. A debe tener tres amigos o tres desconocidos entre las cinco personas restantes porque, según el principio del palomar (que dice que si distribuyes elementos en más de la cantidad de contenedores, al menos un contenedor debe contener más de un elemento). Supongamos que A tiene tres amigos, B, C y D.

Si B, C y D son todos amigos mutuos, tenemos un grupo de tres amigos mutuos (B, C, D). Si no, digamos que B y C son desconocidos, entonces con A, B y C, tenemos un grupo de tres desconocidos mutuos. Se puede hacer un razonamiento similar cuando A tiene tres desconocidos entre las otras personas. Entonces, con seis personas, siempre obtendrás tres amigos o desconocidos mutuos.

Ejemplo 2: Caso general

El ejemplo anterior es una instancia específica de un resultado más general conocido como el teorema de Ramsey. Este teorema establece que para cualquier par de enteros positivos (r) y (s), existe un número mínimo (R(r, s)) tal que cualquier grupo de personas (R(r, s)) contendrá un subgrupo de (r) amigos mutuos o un subgrupo de (s) desconocidos mutuos. La función (R(r, s)) se llama el número de Ramsey.

Por ejemplo, (R(3, 3) = 6) como se muestra en el ejemplo de amigos y desconocidos.

En este contexto más amplio, consideremos la función de Ramsey (R(r, s)). Esto se puede ver en el contexto de problemas de coloración que involucran grafos:

Bocetos coloreados

Considera un grafo completo con (n) vértices (cada par de vértices está conectado por una arista). Queremos colorear cada arista con uno de dos colores, digamos rojo o azul. El teorema de Ramsey nos dice en qué tamaño de (n) no podemos evitar crear un subgrafo completo de un cierto tamaño, todo en un color.

Ejemplo 3: Grafo libre de triángulos

Por ejemplo, si queremos evitar triángulos monocromáticos, necesitamos el grafo completo más pequeño (n = 6). Es decir, (R(3, 3) = 6). No importa cómo coloreemos las aristas de un grafo completo con 6 vértices, siempre obtendremos un triángulo (3-ciclo) donde todas las aristas tienen el mismo color.

Aquí hay una representación visual:

Nodos: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Arista:
1-2 (rojo), 1-3 (rojo), 1-4 (azul), 1-5 (azul), 1-6 (azul)
2-3 (azul), 2-4 (rojo), 2-5 (azul), 2-6 (rojo)
3-4 (rojo), 3-5 (rojo), 3-6 (azul)
4-5 (rojo), 4-6 (rojo)
5-6 (Azul)

Encuentra el triángulo monocromático:
Observa 2-4-6 (todos rojos).

Ejemplo 4: Inferencia de subgrafo grande

Para encontrar (R(4, 4)), queremos encontrar el número mínimo de vértices necesarios en un grafo completo coloreado con dos colores para asegurar al menos un (K_4) monocromático (subgrafo completo en 4 vértices). Se conoce como (R(4,4) = 18). Así, en cualquier grafo completo 2-coloreable en 18 vértices, es inevitable un subgrafo completo monocromático que contenga 4 vértices (un (K_4)).

Principios generales

La teoría de Ramsey esencialmente gira en torno a dos principios principales:

1. Conjunto monocromático:

Busca la existencia de conjuntos monocromáticos dentro de un universo más grande. Queremos encontrar una subestructura suficientemente grande dentro de la cual una característica particular se mantenga constante, como el color.

2. Orden en medio del caos:

Independientemente de elecciones arbitrarias o dispersiones aleatorias, aparece necesariamente un cierto nivel de estructura organizada cuando alcanzas una muestra lo suficientemente grande.

Estos principios se consideran en contextos de teoría de grafos (encontrar subgrafos con propiedades especificadas) y contextos de teoría de números, donde aparecen patrones en secuencias de números.

Aplicaciones y más información

La teoría de Ramsey no es meramente teórica; tiene aplicaciones en ciencias de la computación, particularmente en la organización de estructuras de datos y redes informáticas, donde tales garantías combinatorias son esenciales para la estabilidad y el rendimiento.

Además, en sistemas lógicos y pruebas matemáticas, la teoría de Ramsey ayuda a comprender el determinismo subyacente de las estructuras que emergen de sistemas grandes pero desordenados.

Ejemplo con código:

Supongamos que tienes un programa simple para encontrar triángulos monocromáticos en un grafo completo con 6 vértices y dos colores:

def find_monochromatic_triangle(graph, color):
    for u in graph.vertices:
        # Encuentra dos aristas desde el vértice u con el mismo color
        same_color_edges = [v for v in graph[u] if graph.edge_color(u, v) == color]
        if length (edges of same color) >= 2:
            for i in range(len(same_color_edges)):
                for j in range(i + 1, len(same_color_edges)):
                    if graph.edge_color(same_color_edges[i], same_color_edges[j]) == color:
                        return {u, same_color_edges[i], same_color_edges[j]}
    no return

# Ejemplo de uso
graph = create_complete_graph(6)
color_edges_randomly(graph)
triangle = find_monochromatic_triangle(graph, 'red') or find_monochromatic_triangle(graph, 'blue')
print("Triángulo monocromático encontrado:", triangle)

Conclusión

La teoría de Ramsey demuestra maravillosamente que el completo azar o caos no significa una falta de estructura. A través de varias pruebas y ejemplos, hemos visto cómo, inevitablemente, un patrón ordenado emerge cuando cruzamos un cierto umbral de tamaño.

La investigación futura en esta área continúa profundizando nuestra comprensión, y se están llevando a cabo estudios para encontrar valores exactos de los números de Ramsey, lo cual se vuelve cada vez más difícil a medida que aumentan los parámetros de tamaño.

Este viaje a través de la teoría de Ramsey solo puede raspar la superficie de su profundidad y aplicaciones, pero proporciona una visión fundamental de cómo se manifiesta el orden, inesperadamente, en sistemas matemáticos y del mundo real.

Ya sea en la ambición incansable de resolver problemas no resueltos o en la búsqueda de aplicar estos principios fundamentales a la tecnología, la teoría de Ramsey sigue siendo un punto central perdurable de las matemáticas combinatorias.


Doctorado → 6.3.1


U
username
0%
completado en Doctorado

← Anterior (6.3)
Combinatoria extrema
Siguiente (6.3.2) →
Métodos probabilísticos en combinatoria extrema

Comentarios 



Teoría de Ramsey

https://www.buddymath.com/phd/6.3.1?bmal=es