Докторантура
  1. Понимание алгебры  1.1. Теория групп  1.1.1. Основные свойства групп  1.1.2. Подгруппы  1.1.3. Классы смежности и теорема Лагранжа  1.1.4. Нормальные подгруппы  1.1.5. Факторгруппа  1.1.6. Групповые гомоморфизмы  1.1.7. Теорема Силова  1.1.8. Введение в свободные группы  1.1.9. Что такое групповые действия?  1.1.10. Простые и разрешимые группы  1.2. Теория колец  1.2.1. Кольца и идеалы  1.2.2. Введение в гомоморфизмы колец  1.2.3. Кольца многочленов  1.2.4. Области главных идеалов  1.2.5. Уникальные области факторизации  1.2.6. Нетеровы кольца  1.2.7. Артиниевы кольца  1.3. Теория полей  1.3.1. Расширения полей  1.3.2. Деление области  1.3.3. Теория Галуа  1.3.4. Алгебраическое замыкание в теории полей  1.3.5. Конечные поля  1.3.6. Трансцендентальное расширение  1.4. Теория модулей  1.4.1. Модули над кольцами  1.4.2. Свободные модули  1.4.3. Гомоморфизм модуля  1.4.4. Простые и полупростые модули  1.4.5. Проективные модули  1.4.6. Инъективные модули  1.5. Линейная алгебра  1.5.1. Векторное пространство  1.5.2. Линейные преобразования  1.5.3. Понимание собственных чисел и собственных векторов  1.5.4. Каноническая форма  1.5.5. Пространство с внутренним произведением  1.5.6. Теорема о спектральном расщеплении  1.5.7. Разложение по сингулярным значениям
  2. Понимание математического анализа  2.1. Реальный анализ  2.1.1. Действительные числа и полнота  2.1.2. Введение в последовательности и ряды  2.1.3. Непрерывность в теории действительных чисел  2.1.4. Дифференцирование в действительном анализе  2.1.5. Интегрирование по Риману  2.1.6. Введение в метрические пространства  2.1.7. Мера Лебега  2.2. Комплексный анализ  2.2.1. Комплексные числа  2.2.2. Аналитические функции  2.2.3. Контурная интеграция  2.2.4. Теорема Коши  2.2.5. Теорема о вычетах  2.2.6. Конформное отображение  2.3. Функциональный анализ  2.3.1. Понимание стандартных пространств  2.3.2. Введение в пространство БАНАХА  2.3.3. Пространства Гильберта  2.3.4. Линейные операторы  2.3.5. Спектральная теория  2.3.6. Компактные операторы  2.4. Теория меры  2.4.1. Сигма алгебра  2.4.2. Измерение и интегралы в теории меры  2.4.3. Интегрирование по Лебегу  2.4.4. Теорема о сходимости  2.4.5. Теорема Фубини  2.5. Гармонический анализ  2.5.1. Ряд Фурье  2.5.2. Преобразование Фурье  2.5.3. Теория распределений  2.5.4. Вейвлеты
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Непрерывность  3.1.3. Введение в компактность  3.1.4. Связность в общей топологии  3.1.5. Метрика топология  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Фундаментальная группа  3.2.2. Теория гомотопий  3.2.3. Теория гомологии  3.2.4. Когомология  3.2.5. Точная последовательность  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Гладкие многообразия  3.3.2. Тангенциальное пространство  3.3.3. Векторные поля  3.3.4. Понимание дифференциальных форм
  4. Геометрия  4.1. Дифференциальная геометрия  4.1.1. Кривые и поверхности в дифференциальной геометрии  4.1.2. Риманова геометрия  4.1.3. Понимание геодезических линий в дифференциальной геометрии  4.1.4. Кривизна  4.2. Алгебраическая геометрия  4.2.1. Аффинные и проективные многообразия  4.2.2. Планы  4.2.3. Разделители и пересечения  4.2.4. Когомология в алгебраической геометрии  4.3. Вычислительная геометрия  4.3.1. Введение в выпуклые оболочки в вычислительной геометрии  4.3.2. Триангуляция  4.3.3. Диаграмма Вороного  4.3.4. Геометрические алгоритмы
  5. Теория чисел  5.1. Элементарная теория чисел  5.1.1. Делимость в элементарной теории чисел  5.1.2. Сравнимость в элементарной теории чисел  5.1.3. Модульная арифметика  5.2. Аналитическая теория чисел  5.2.1. Теорема о распределении простых чисел  5.2.2. Ряды Дирихле  5.2.3. Зета и L-функции  5.3. Алгебраическая теория чисел  5.3.1. Числовые поля  5.3.2. Введение в идеалы в алгебраической теории чисел  5.3.3. Классы групп в алгебраической теории чисел  5.3.4. Представление Галуа
  6. Товарищество  6.1. Вычислительная комбинаторика  6.1.1. Функция-генератор  6.1.2. Рекуррентные соотношения  6.1.3. Перестановка и сочетание  6.2. Теория графов  6.2.1. Изоморфизм графов  6.2.2. Плоскостность в теории графов  6.2.3. Окраска графов  6.3. Экстремальная комбинаторика  6.3.1. Теория Рамсея  6.3.2. Вероятностные методы в экстремальной комбинаторике  6.4. Алгебраическая комбинаторика  6.4.1. Методы матриц в алгебраической комбинаторике  6.4.2. Теория представлений
  7. Аргументы и основания  7.1. Теория множеств  7.1.1. Аксиомы Цермело-Френкеля  7.1.2. Порядковые и кардинальные числа  7.2. Введение в теорию моделей  7.2.1. Структуры и теории в теории моделей  7.2.2. Теорема компактности  7.3. Теория доказательств  7.3.1. Формальные системы  7.3.2. Согласованность и полнота
  8. Вероятность и статистика  8.1. Теория вероятностей  8.1.1. Случайные величины  8.1.2. Ожидание и вариация  8.1.3. Центральная предельная теорема  8.2. Стохастические процессы  8.2.1. Марковские цепи  8.2.2. Броуновское движение  8.3. Статистическое заключение  8.3.1. Тестирование гипотез  8.3.2. Регрессионный анализ
  9. Прикладная математика  9.1. Численный анализ в прикладной математике  9.1.1. Итеративные методы  9.1.2. Интерполяция  9.1.3. Анализ ошибок  9.2. Уравнения в частных производных  9.2.1. Эллиптическое уравнение  9.2.2. Параболическое уравнение  9.2.3. Гиперболические уравнения  9.3. Динамические системы  9.3.1. Теория хаоса  9.3.2. Анализ устойчивости в динамических системах

Докторантура → Товарищество ↓


Теория графов


Теория графов - это увлекательная и динамичная область внутри ветви математики, известной как комбинаторика. Она изучает графы, которые являются структурами, используемыми для моделирования попарных отношений между объектами. Граф состоит из вершин (также называемых узлами или точками) и рёбер (также называемых связями или линиями), которые соединяют эти вершины.

Что такое граф?

В своей самой простой форме граф состоит из двух множеств:

  • Вершины (или узлы): это отдельные точки или локации в графе. Они представляют сущности в реальных сценариях. Множество всех вершин обычно обозначается как V
  • Рёбра (или связи): это соединения между вершинами. На практике рёбра представляют отношения, взаимодействия или пути между сущностями, представленными вершинами. Множество всех рёбер обозначается как E

Таким образом, граф определяется как G = (V, E), где V — множество вершин, а E — множество рёбер.

Типы графов

Существует несколько типов графов, каждый из которых имеет свои специфические свойства:

Неориентированный граф

В неориентированном графе рёбра не имеют ориентации. Ребро (u, v) такое же, как ребро (v, u). Такой граф представляет собой просто коллекцию точек, соединённых линиями.

Ориентированные графы (орграфы)

В ориентированном графе каждое ребро имеет направление, что означает, что ребро (u, v) не такое же, как (v, u). Эти графы широко используются в компьютерных сетях, где направление представляет собой поток.

Взвешенные графы

Во взвешенном графе каждое ребро имеет числовое значение или вес. Эти веса могут представлять различные метрики, такие как расстояние, стоимость или ёмкость. Взвешенные графы важны в задачах, таких как поиск кратчайшего пути или минимального остовного дерева.

7

Простые графы

Простой граф — это такой, у которого нет петель или кратных рёбер. Это означает, что каждое ребро соединяет две различные вершины, и между любыми двумя вершинами есть только одно ребро.

Полный граф

Полный граф — это граф, в котором каждая пара вершин соединена ребром. Если в полном графе n вершин, он может быть представлен как K n.

Терминология графов

Чтобы эффективно изучать графы, необходимо понимать специфическую терминологию:

  • Путь: Последовательность вершин, где каждая смежная пара соединяется ребром.
  • Цикл: Путь, который начинается и заканчивается в одной и той же вершине, не повторяя ни одного ребра или вершины.
  • Связный граф: Граф, в котором существует путь между любой парой вершин.
  • Степень вершины: В неориентированном графе это количество рёбер, приходящих к вершине. В ориентированном графе это состоит из входной степени (число рёбер, приходящих к вершине) и выходной степени (число рёбер, исходящих из вершины).

Представление графов

Существует несколько способов представления графов, каждый из которых имеет свои преимущества и недостатки:

Матрица смежности

Это квадратная матрица, используемая для представления конечного графа. Элементы матрицы указывают, являются ли пары вершин в графе смежными или нет.

Пусть G - граф с n вершинами v 1 , v 2 , ..., v n : A = [a ij ] где a ij = [ begin{cases} 1 & text{если есть ребро от } v_{i} text{ до } v_{j}, \ 0 & text{в противном случае}. end{cases} ]

Список смежности

Это представление перечисляет все вершины, соединённые с данной вершиной. Оно часто более эффективно по пространству, чем матрица смежности для графов с малым числом рёбер (разреженные графы).

Применение теории графов

Теория графов широко применима в многих областях:

Социальные сети

Графы используются для моделирования социальных сетей, где вершины представляют пользователей, а рёбра представляют отношения, такие как дружба или подписчики.

Анализ сетей

В информатике графы используются для изучения топологии сетей, оптимизации сетевого трафика и разработки сетевых алгоритмов.

Биология

Диаграммы могут изображать молекулярные структуры в химии и биологические сети, такие как пищевые цепи или нейронные сети.

Транспорт

Теория графов помогает решать задачи маршрутизации и навигации, где пересечения — это вершины, а дороги — рёбра.

Известные задачи в теории графов

Теория графов породила множество известных задач, многие из которых решены, в то время как другие остаются нерешёнными:

Эйлеров путь

Эйлеров путь — это путь, который проходит по всем рёбрам графа ровно один раз. Если такой путь существует, граф называется эйлеровым. Известная задача о Семь мостах Кёнигсберга является примером поиска эйлерова пути.

Гамильтонов путь

Гамильтонов путь посещает каждую вершину ровно один раз. Если путь является циклом, он становится гамильтоновым циклом. Определение того, существуют ли такие пути и циклы в заданном графе, является сложной задачей.

Важные теоремы и концепции

Задача о кёнигсбергских мостах

Задача о Семь мостах Кёнигсберга является исторически важной задачей, которая привела к развитию теории графов. В городе Кёнигсберге было семь мостов, и задача заключалась в том, чтобы определить, можно ли пройти через город и пересечь каждый мост ровно один раз.

Теорема Кёнигсберга

Эйлер показал, что это невозможно, и сделал вывод: вы можете пройти через каждое ребро только один раз, если граф имеет две вершины с нулевым или нечётным степенем.

Заключение

Теория графов остаётся живой областью исследований, с широкими приложениями в структуре Интернета, вычислительной биологии, социальных сетях, электрических схемах и многом другом. По мере того как сети становятся более сложными и распространёнными, важность и применимость теории графов будут расти.


Докторантура → 6.2


U
username
0%
завершено в Докторантура

← предыдущая (6.1.3)
Перестановка и сочетание
следующая (6.2.1) →
Изоморфизм графов

комментарии 



Теория графов

https://www.buddymath.com/phd/6.2?bmal=ru