Doutorado
  1. Compreendendo Álgebra  1.1. Teoria dos grupos  1.1.1. Propriedades básicas dos grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Classes laterais e o teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normais  1.1.5. Grupo quociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introdução aos grupos livres  1.1.9. O que são atividades em grupo?  1.1.10. Grupos simples e solucionáveis  1.2. Teoria dos anéis  1.2.1. Anéis e ideais  1.2.2. Introdução aos homomorfismos de anéis  1.2.3. Aneis polinomiais  1.2.4. Domínios de ideais principais  1.2.5. Domínios de Fatoração Única  1.2.6. Anéis noetherianos  1.2.7. Anéis Artinianos  1.3. Teoria dos Campos  1.3.1. Extensões de corpos  1.3.2. Divisão de área  1.3.3. Teoria de Galois  1.3.4. Fechamento algébrico na teoria dos corpos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensão transcendental  1.4. Teoria dos módulos  1.4.1. Módulos sobre anéis  1.4.2. Módulos livres  1.4.3. Homomorfismo de módulo  1.4.4. Módulos simples e semi-simples  1.4.5. Módulos projetivos  1.4.6. Módulos Injetivos  1.5. Álgebra linear  1.5.1. Espaço vetorial  1.5.2. Transformações lineares  1.5.3. Entendendo Autovalores e Autovetores  1.5.4. Forma canônica  1.5.5. Espaço de produto interno  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Decomposição em valores singulares
  2. Compreendendo a Análise Matemática  2.1. Análise real  2.1.1. Números reais e completude  2.1.2. Introdução a sequências e séries  2.1.3. Continuidade em análise real  2.1.4. Diferenciação em análise real  2.1.5. Integração de Riemann  2.1.6. Introdução aos espaços métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análise Complexa  2.2.1. Números complexos  2.2.2. Funções analíticas  2.2.3. Integração de contorno  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema do Resíduo  2.2.6. Mapeamento conformal  2.3. Análise Funcional  2.3.1. Compreendendo locais padrão  2.3.2. Introdução aos espaços de Banach  2.3.3. Espaços de Hilbert  2.3.4. Operadores lineares  2.3.5. Teoria espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoria da Medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medição e integrais na teoria da medida  2.4.3. Integração de Lebesgue  2.4.4. Teorema da Convergência  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análise Harmônica  2.5.1. Séries de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoria da distribuição  2.5.4. Wavelets
  3. Topologia  3.1. Topologia geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Continuidade  3.1.3. Introdução à compacidade  3.1.4. Conectividade na topologia geral  3.1.5. Topologia métrica  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoria da homotopia  3.2.3. Teoria da homologia  3.2.4. Cohomologia  3.2.5. Sequência exata  3.3. Topologia diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espaço tangente  3.3.3. Campos vetoriais  3.3.4. Compreendendo Formas Diferenciais
  4. Geometria  4.1. Geometria diferencial  4.1.1. Curvas e superfícies na geometria diferencial  4.1.2. Geometria Riemanniana  4.1.3. Compreendendo geodésicas na geometria diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometria algébrica  4.2.1. Variedades afins e projetivas  4.2.2. Planos  4.2.3. Separadores e interseções  4.2.4. Cohomologia na geometria algébrica  4.3. Geometria Computacional  4.3.1. Introdução às coberturas convexas na geometria computacional  4.3.2. Triangulação  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoria dos números  5.1. Teoria dos números elementar  5.1.1. Divisibilidade na teoria elementar dos números  5.1.2. Congruência na teoria dos números elementar  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoria analítica dos números  5.2.1. Teorema dos números primos  5.2.2. Séries de Dirichlet  5.2.3. Zeta e funções L  5.3. Teoria dos números algébricos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introdução aos ideais na teoria algébrica dos números  5.3.3. Grupos de classes em teoria algébrica dos números  5.3.4. Representação de Galois
  6. Companhia  6.1. Combinatória computacional  6.1.1. Função Geradora  6.1.2. Relação de recorrência  6.1.3. Permanência e combinação  6.2. Teoria dos grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planaridade em teoria dos grafos  6.2.3. Coloração de grafos  6.3. Combinatória extrema  6.3.1. Teoria de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos em combinatória extrema  6.4. Combinatória algébrica  6.4.1. Métodos de matrizes em combinatória algébrica  6.4.2. Teoria da Representação
  7. Argumentos e fundamentos  7.1. Teoria dos conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinais e cardinais  7.2. Introdução à teoria dos modelos  7.2.1. Estruturas e teorias na teoria dos modelos  7.2.2. Teorema da compacidade  7.3. Teoria da prova  7.3.1. Sistemas formais  7.3.2. Consistência e completude
  8. Probabilidade e Estatística  8.1. Teoria da probabilidade  8.1.1. Variáveis aleatórias  8.1.2. Expectativa e variação  8.1.3. Teorema do limite central  8.2. Processos estocásticos  8.2.1. Cadeias de Markov  8.2.2. Movimento browniano  8.3. Inferência estatística  8.3.1. Teste de hipóteses  8.3.2. Análise de regressão
  9. Matemática aplicada  9.1. Análise numérica em matemática aplicada  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolação  9.1.3. Análise de erros  9.2. Equações diferenciais parciais  9.2.1. Equação elíptica  9.2.2. Equação parabólica  9.2.3. Equações hiperbólicas  9.3. Sistemas dinâmicos  9.3.1. Teoria do Caos  9.3.2. Análise de estabilidade em sistemas dinâmicos

Doutorado → Companhia ↓


Teoria dos grafos


Teoria dos grafos é um campo fascinante e dinâmico dentro do ramo da matemática conhecido como combinatória. É o estudo de grafos, que são estruturas usadas para modelar relações de pares entre objetos. Um grafo é composto por vértices (também chamados de nós ou pontos) e arestas (também chamadas de links ou linhas) que conectam esses vértices.

O que é um grafo?

No seu estado mais básico, um grafo é composto por dois conjuntos:

  • Vértices (ou nós): Estes são os pontos ou localizações individuais no grafo. Eles representam entidades em cenários do mundo real. O conjunto de todos os vértices é geralmente denotado como V
  • Arestas (ou links): Estas são as conexões entre os vértices. Na prática, as arestas representam relações, interações ou caminhos entre as entidades representadas pelos vértices. O conjunto de todas as arestas é denotado como E

Portanto, um grafo é definido como G = (V, E), onde V é o conjunto de vértices e E é o conjunto de arestas.

Tipos de grafos

Existem vários tipos de grafos, cada um com suas propriedades específicas:

Grafo não-direcionado

Em um grafo não-direcionado, as arestas não têm orientação. A aresta (u, v) é a mesma que a aresta (v, u). Tal grafo é simplesmente uma coleção de pontos conectados por linhas.

Grafos direcionados (digrafos)

Em um grafo direcionado, cada aresta tem uma direção, significando que a aresta (u, v) não é a mesma que (v, u). Esses grafos são usados extensivamente em redes de computadores, onde a direção representa fluxo.

Grafos ponderados

Em um grafo ponderado, cada aresta tem um valor numérico ou peso. Esses pesos podem representar diferentes métricas, como distância, custo ou capacidade. Grafos ponderados são importantes em problemas como encontrar o caminho mais curto ou a árvore geradora mínima.

7

Grafos simples

Um grafo simples é aquele que não possui laços ou arestas múltiplas. Isso significa que cada aresta conecta dois vértices diferentes, e há apenas uma aresta entre quaisquer dois vértices.

Grafo completo

Um grafo completo é aquele em que cada par de vértices está conectado por uma aresta. Se um grafo completo tem n vértices, ele pode ser representado como K n.

Terminologia de grafos

Para estudar grafos efetivamente, é necessário entender a terminologia específica:

  • Caminho: Uma sequência de vértices onde cada par adjacente é conectado por uma aresta.
  • Ciclo: Um caminho que começa e termina no mesmo vértice sem repetir qualquer aresta ou vértice.
  • Grafo conectado: Um grafo no qual existe um caminho entre cada par de vértices.
  • Grau de um vértice: Em um grafo não-direcionado, é o número de arestas que chegam ao vértice. Em um grafo direcionado, consiste em grau de entrada (número de arestas chegando ao vértice) e grau de saída (número de arestas saindo do vértice).

Representação de grafos

Existem várias maneiras de representar um grafo, cada uma com suas vantagens e desvantagens:

Matriz de adjacência

É uma matriz quadrada usada para representar um grafo finito. Os elementos da matriz indicam se pares de vértices no grafo são adjacentes ou não.

Seja G um grafo com n vértices v 1 , v 2 , ..., v n : A = [a ij ] onde a ij = [ begin{cases} 1 & text{se há uma aresta de } v_{i} text{ para } v_{j}, \ 0 & text{caso contrário}. end{cases} ]

Lista de adjacência

Esta representação lista todos os vértices conectados a um vértice. É geralmente mais eficiente em termos de espaço do que a matriz de adjacência para grafos com um pequeno número de arestas (grafos esparsos).

Aplicações da teoria dos grafos

A teoria dos grafos é amplamente aplicável em muitas áreas:

Rede social

Grafos são usados para modelar redes sociais, onde os vértices representam usuários e as arestas representam relacionamentos como amizades ou seguidores.

Análise de redes

Em ciência da computação, grafos são usados para estudar topologia de redes, otimizar tráfego de redes e projetar algoritmos de redes.

Biologia

Diagramas podem representar estruturas moleculares em química e redes biológicas como cadeias alimentares ou redes neurais.

Transporte

A teoria dos grafos auxilia em problemas de roteamento e navegação, onde interseções são vértices e estradas são arestas.

Problemas famosos na teoria dos grafos

A teoria dos grafos gerou uma série de problemas famosos, muitos dos quais foram resolvidos, enquanto outros permanecem sem solução:

Caminho Euleriano

Um caminho Euleriano é aquele que visita todas as arestas de um grafo exatamente uma vez. Se tal caminho existe, o grafo é chamado Euleriano. O famoso problema das Sete Pontes de Königsberg é um exemplo de encontrar um caminho Euleriano.

Caminho Hamiltoniano

Um caminho Hamiltoniano visita cada vértice exatamente uma vez. Se o caminho é um ciclo, torna-se um ciclo Hamiltoniano. Determinar se tais caminhos e ciclos existem em um dado grafo é um problema complicado.

Teoremas e conceitos importantes

Problema das pontes de Königsberg

As Sete Pontes de Königsberg é um problema historicamente importante que levou ao desenvolvimento da teoria dos grafos. A cidade de Königsberg tinha sete pontes, e o problema era determinar se era possível percorrer a cidade e cruzar cada ponte exatamente uma vez.

Teorema de Königsberg

Euler mostrou que isso era impossível e concluiu: você pode visitar cada aresta apenas uma vez se o grafo tiver dois vértices de grau zero ou ímpar.

Conclusão

A teoria dos grafos continua sendo um campo vibrante de pesquisa, com amplas aplicações na estrutura da Internet, biologia computacional, redes sociais, circuitos elétricos e muito mais. À medida que as redes se tornam mais complexas e disseminadas, a importância e aplicabilidade da teoria dos grafos crescerá.


Doutorado → 6.2


U
username
0%
concluído em Doutorado

← Anterior (6.1.3)
Permanência e combinação
Próximo (6.2.1) →
Isomorfismo de grafos

Comentários 



Teoria dos grafos

https://www.buddymath.com/phd/6.2?bmal=pt