Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

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Teoría de grafos


La teoría de grafos es un campo fascinante y dinámico dentro de la rama de las matemáticas conocida como combinatoria. Es el estudio de los grafos, que son estructuras utilizadas para modelar relaciones de pares entre objetos. Un grafo está compuesto de vértices (también llamados nodos o puntos) y aristas (también llamadas enlaces o líneas) que conectan estos vértices.

¿Qué es un grafo?

En su forma más básica, un grafo está compuesto de dos conjuntos:

  • Vértices (o nodos): Estos son los puntos o ubicaciones individuales en el grafo. Representan entidades en escenarios del mundo real. El conjunto de todos los vértices se suele denotar como V
  • Aristas (o enlaces): Estas son las conexiones entre vértices. En la práctica, las aristas representan relaciones, interacciones o caminos entre las entidades representadas por los vértices. El conjunto de todas las aristas se denota como E

Por lo tanto, un grafo se define como G = (V, E), donde V es el conjunto de vértices y E es el conjunto de aristas.

Tipos de grafos

Existen varios tipos de grafos, cada uno con sus propiedades específicas:

Grafo no dirigido

En un grafo no dirigido, las aristas no tienen orientación. La arista (u, v) es la misma que la arista (v, u). Este tipo de grafo es simplemente una colección de puntos conectados por líneas.

Grafos dirigidos (digrafos)

En un grafo dirigido, cada arista tiene una dirección, lo que significa que la arista (u, v) no es igual a (v, u). Estos grafos se utilizan ampliamente en redes informáticas, donde la dirección representa el flujo.

Grafos ponderados

En un grafo ponderado, cada arista tiene un valor numérico o peso. Estos pesos pueden representar diferentes métricas como distancia, costo o capacidad. Los grafos ponderados son importantes en problemas como encontrar el camino más corto o el árbol de expansión mínima.

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Grafos simples

Un grafo simple es aquel que no tiene bucles ni aristas múltiples. Esto significa que cada arista conecta dos vértices diferentes, y solo hay una arista entre cualquier par de vértices.

Grafo completo

Un grafo completo es aquel en el que cada par de vértices está conectado por una arista. Si un grafo completo tiene n vértices, puede representarse como K n.

Terminología de grafos

Para estudiar los grafos de manera eficaz, es necesario entender la terminología específica:

  • Camino: Una secuencia de vértices donde cada par adyacente está conectado por una arista.
  • Ciclo: Un camino que comienza y termina en el mismo vértice sin repetir ninguna arista o vértice.
  • Grafo conectado: Un grafo en el que hay un camino entre cada par de vértices.
  • Grado de un vértice: En un grafo no dirigido, es el número de aristas que llegan al vértice. En un grafo dirigido, se compone del grado de entrada (número de aristas que llegan al vértice) y el grado de salida (número de aristas que salen del vértice).

Representación de grafos

Hay varias maneras de representar un grafo, cada una con sus propias ventajas y desventajas:

Matriz de adyacencia

Es una matriz cuadrada utilizada para representar un grafo finito. Los elementos de la matriz indican si los pares de vértices en el grafo son adyacentes o no.

Sea G un grafo con n vértices v 1 , v 2 , ..., v n : A = [a ij ] donde a ij = [ begin{cases} 1 & text{si hay una arista de } v_{i} text{ a } v_{j}, \ 0 & text{de otro modo}. end{cases} ]

Lista de adyacencia

Esta representación enumera todos los vértices conectados a un vértice. A menudo es más eficiente en espacio que la matriz de adyacencia para grafos con un pequeño número de aristas (grafos dispersos).

Aplicaciones de la teoría de grafos

La teoría de grafos es ampliamente aplicable en muchas áreas:

Redes sociales

Se utilizan grafos para modelar redes sociales, donde los vértices representan usuarios y las aristas representan relaciones como amistades o seguidores.

Análisis de redes

En informática, los grafos se utilizan para estudiar la topología de redes, optimizar el tráfico de redes y diseñar algoritmos de redes.

Biología

Los diagramas pueden representar estructuras moleculares en química y redes biológicas como cadenas alimenticias o redes neuronales.

Transporte

La teoría de grafos ayuda con problemas de enrutamiento y navegación, donde las intersecciones son vértices y las carreteras son aristas.

Problemas famosos en la teoría de grafos

La teoría de grafos ha generado varios problemas famosos, muchos de los cuales han sido resueltos, mientras que otros permanecen sin resolver:

Camino euleriano

Un camino euleriano es aquel que recorre todas las aristas de un grafo exactamente una vez. Si existe tal camino, el grafo se llama euleriano. El famoso problema de los siete puentes de Königsberg es un ejemplo de encontrar un camino euleriano.

Camino hamiltoniano

Un camino hamiltoniano recorre cada vértice exactamente una vez. Si el camino es un ciclo, se convierte en un ciclo hamiltoniano. Determinar si tales caminos y ciclos existen en un grafo dado es un problema complicado.

Teoremas y conceptos importantes

Problema de los puentes de Königsberg

Los siete puentes de Königsberg es un problema históricamente importante que condujo al desarrollo de la teoría de grafos. La ciudad de Königsberg tenía siete puentes, y el problema era determinar si se podía caminar por la ciudad y cruzar cada puente exactamente una vez.

Teorema de Königsberg

Euler demostró que esto era imposible y concluyó: se puede visitar cada arista solo una vez si el grafo tiene dos vértices de grado cero o impar.

Conclusión

La teoría de grafos sigue siendo un campo vibrante de investigación, con amplias aplicaciones en la estructura de Internet, la biología computacional, las redes sociales, los circuitos eléctricos, y mucho más. A medida que las redes se vuelven más complejas y generalizadas, la importancia y aplicabilidad de la teoría de grafos seguirá creciendo.


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