Doutorado
  1. Compreendendo Álgebra  1.1. Teoria dos grupos  1.1.1. Propriedades básicas dos grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Classes laterais e o teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normais  1.1.5. Grupo quociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introdução aos grupos livres  1.1.9. O que são atividades em grupo?  1.1.10. Grupos simples e solucionáveis  1.2. Teoria dos anéis  1.2.1. Anéis e ideais  1.2.2. Introdução aos homomorfismos de anéis  1.2.3. Aneis polinomiais  1.2.4. Domínios de ideais principais  1.2.5. Domínios de Fatoração Única  1.2.6. Anéis noetherianos  1.2.7. Anéis Artinianos  1.3. Teoria dos Campos  1.3.1. Extensões de corpos  1.3.2. Divisão de área  1.3.3. Teoria de Galois  1.3.4. Fechamento algébrico na teoria dos corpos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensão transcendental  1.4. Teoria dos módulos  1.4.1. Módulos sobre anéis  1.4.2. Módulos livres  1.4.3. Homomorfismo de módulo  1.4.4. Módulos simples e semi-simples  1.4.5. Módulos projetivos  1.4.6. Módulos Injetivos  1.5. Álgebra linear  1.5.1. Espaço vetorial  1.5.2. Transformações lineares  1.5.3. Entendendo Autovalores e Autovetores  1.5.4. Forma canônica  1.5.5. Espaço de produto interno  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Decomposição em valores singulares
  2. Compreendendo a Análise Matemática  2.1. Análise real  2.1.1. Números reais e completude  2.1.2. Introdução a sequências e séries  2.1.3. Continuidade em análise real  2.1.4. Diferenciação em análise real  2.1.5. Integração de Riemann  2.1.6. Introdução aos espaços métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análise Complexa  2.2.1. Números complexos  2.2.2. Funções analíticas  2.2.3. Integração de contorno  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema do Resíduo  2.2.6. Mapeamento conformal  2.3. Análise Funcional  2.3.1. Compreendendo locais padrão  2.3.2. Introdução aos espaços de Banach  2.3.3. Espaços de Hilbert  2.3.4. Operadores lineares  2.3.5. Teoria espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoria da Medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medição e integrais na teoria da medida  2.4.3. Integração de Lebesgue  2.4.4. Teorema da Convergência  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análise Harmônica  2.5.1. Séries de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoria da distribuição  2.5.4. Wavelets
  3. Topologia  3.1. Topologia geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Continuidade  3.1.3. Introdução à compacidade  3.1.4. Conectividade na topologia geral  3.1.5. Topologia métrica  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoria da homotopia  3.2.3. Teoria da homologia  3.2.4. Cohomologia  3.2.5. Sequência exata  3.3. Topologia diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espaço tangente  3.3.3. Campos vetoriais  3.3.4. Compreendendo Formas Diferenciais
  4. Geometria  4.1. Geometria diferencial  4.1.1. Curvas e superfícies na geometria diferencial  4.1.2. Geometria Riemanniana  4.1.3. Compreendendo geodésicas na geometria diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometria algébrica  4.2.1. Variedades afins e projetivas  4.2.2. Planos  4.2.3. Separadores e interseções  4.2.4. Cohomologia na geometria algébrica  4.3. Geometria Computacional  4.3.1. Introdução às coberturas convexas na geometria computacional  4.3.2. Triangulação  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoria dos números  5.1. Teoria dos números elementar  5.1.1. Divisibilidade na teoria elementar dos números  5.1.2. Congruência na teoria dos números elementar  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoria analítica dos números  5.2.1. Teorema dos números primos  5.2.2. Séries de Dirichlet  5.2.3. Zeta e funções L  5.3. Teoria dos números algébricos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introdução aos ideais na teoria algébrica dos números  5.3.3. Grupos de classes em teoria algébrica dos números  5.3.4. Representação de Galois
  6. Companhia  6.1. Combinatória computacional  6.1.1. Função Geradora  6.1.2. Relação de recorrência  6.1.3. Permanência e combinação  6.2. Teoria dos grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planaridade em teoria dos grafos  6.2.3. Coloração de grafos  6.3. Combinatória extrema  6.3.1. Teoria de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos em combinatória extrema  6.4. Combinatória algébrica  6.4.1. Métodos de matrizes em combinatória algébrica  6.4.2. Teoria da Representação
  7. Argumentos e fundamentos  7.1. Teoria dos conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinais e cardinais  7.2. Introdução à teoria dos modelos  7.2.1. Estruturas e teorias na teoria dos modelos  7.2.2. Teorema da compacidade  7.3. Teoria da prova  7.3.1. Sistemas formais  7.3.2. Consistência e completude
  8. Probabilidade e Estatística  8.1. Teoria da probabilidade  8.1.1. Variáveis aleatórias  8.1.2. Expectativa e variação  8.1.3. Teorema do limite central  8.2. Processos estocásticos  8.2.1. Cadeias de Markov  8.2.2. Movimento browniano  8.3. Inferência estatística  8.3.1. Teste de hipóteses  8.3.2. Análise de regressão
  9. Matemática aplicada  9.1. Análise numérica em matemática aplicada  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolação  9.1.3. Análise de erros  9.2. Equações diferenciais parciais  9.2.1. Equação elíptica  9.2.2. Equação parabólica  9.2.3. Equações hiperbólicas  9.3. Sistemas dinâmicos  9.3.1. Teoria do Caos  9.3.2. Análise de estabilidade em sistemas dinâmicos

Doutorado → Companhia → Teoria dos grafos ↓


Coloração de grafos


A coloração de grafos é um conceito fascinante na teoria dos grafos, que faz parte da combinatória na matemática. Em essência, a coloração de grafos consiste em atribuir rótulos ou cores aos elementos de um grafo, sujeitos a certas restrições. Este conceito tem muitas aplicações, desde o agendamento e alocação de recursos até a resolução de quebra-cabeças.

Noções básicas de coloração de grafos

A coloração de grafos pode ser amplamente classificada em dois tipos:

  • Coloração de vértices: Aqui, os vértices do grafo são atribuídos cores de forma que não há dois vértices adjacentes compartilhando a mesma cor.
  • Coloração de arestas: Neste tipo, as arestas são atribuídas cores de modo que não há duas arestas compartilhando o mesmo vértice com a mesma cor.

Coloração de vértices

A coloração de vértices requer que não haja dois vértices conectados por uma aresta com a mesma cor. Vamos demonstrar isso usando um grafo simples:

Neste grafo triangular, cada vértice é atribuído a uma cor diferente. Isso satisfaz a exigência de que não há dois vértices conectados com a mesma cor.

Coloração de arestas

A coloração de arestas foca nas arestas em vez dos vértices, garantindo que não há duas arestas originadas em um vértice comum com a mesma cor. Considere este exemplo:

Aqui, cada aresta é colorida de forma diferente, garantindo que não há vértice comum com duas arestas com a mesma cor.

Número cromático

O número cromático de um grafo é o menor número de cores necessário para colorir os vértices do grafo de modo que não haja dois vértices adjacentes com a mesma cor. Determinar o número cromático é um problema comum na coloração de grafos. Vamos ver um exemplo:

G = (V, E) V = {A, B, C} E = {AB, BC, CA}

Para o grafo fornecido com os vértices A, B e C que formam um triângulo, o número de cromacidade é 3, pois cada vértice, estando interconectado, requer uma cor única.

Aplicações da coloração de grafos

1. Problemas de agendamento

A coloração de grafos ajuda no agendamento de exames para que dois exames que exigem o mesmo fiscal ou os mesmos alunos não sejam programados ao mesmo tempo.

2. Colorir mapas

Uma aplicação bem conhecida disso é o teorema das quatro cores, que afirma que quatro cores são suficientes para colorir qualquer mapa de forma que não haja duas regiões adjacentes com a mesma cor.

// Ilustração do teorema das quatro cores Região A: Cor 1 Região B: Cor 2 Região C: Cor 3 Região D: Cor 4

3. Alocação de recursos

A coloração de grafos é usada em problemas de alocação para alocar recursos ou frequências de forma eficiente. Por exemplo, na alocação de registradores em compiladores ou atribuição de frequências em redes móveis.

Algoritmos para colorir grafos

Muitos algoritmos foram desenvolvidos para a coloração de grafos. Alguns dos algoritmos famosos são os seguintes:

1. Algoritmo de coloração gulosa

Este é um algoritmo simples que atribui cores aos vértices um por um. Funciona assim:

1. Ordene os vértices. 2. Atribua a primeira cor ao primeiro vértice. 3. Passe para o próximo vértice e atribua o menor número possível não usado por seus vértices adjacentes. 4. Repita até que todos os vértices estejam coloridos.

Embora seja simples, não fornece sempre a cor ótima.

2. Algoritmo de retrocesso

Neste algoritmo, todas as configurações de cor são exploradas, e o retrocesso é usado para remover caminhos inválidos. Ele fornece uma solução ótima ao custo de alto custo computacional.

function graphColoring(graph, m, i): if i == number_of_vertices: return True for color in 1 to m: if is_valid(graph, i, color): graph[i] = color if graphColoring(graph, m, i + 1): return True graph[i] = 0 return False

3. Algoritmo DSATUR

O algoritmo de grau de saturação (DSATUR) seleciona vértices com base no número de vizinhos de cor diferente. Esta heurística pode muitas vezes dar bons resultados.

As implementações frequentemente priorizam vértices com maior saturação, o que significa que os vértices mais limitados são coloridos primeiro.

Questões de complexidade na coloração de grafos

Determinar o número cromático de um grafo é um problema NP-Difícil. Isso significa que não há um algoritmo de tempo polinomial conhecido para resolver todas as instâncias do problema. Para tipos específicos de grafos, como árvores, grafos bipartidos e grafos planares, existem algoritmos eficientes.

Casos especiais: grafo bipartido

Um grafo bipartido pode ser colorido com apenas duas cores. Um grafo bipartido é aquele no qual os vértices podem ser particionados em dois conjuntos disjuntos, de modo que não há dois vértices do mesmo conjunto que sejam adjacentes.

Aqui, os vértices à esquerda podem ser de uma cor, e os vértices à direita podem ser de outra cor.

Conclusão

A coloração de grafos é uma área central na teoria dos grafos com muitas aplicações e desafios matemáticos interessantes. Embora simples de definir, oferece uma complexidade profunda e diversidade na resolução de problemas do mundo real. Mais pesquisas nesta área continuam a descobrir algoritmos eficientes e explorar novas fronteiras em otimização combinatória e ciência da computação teórica.


Doutorado → 6.2.3


U
username
0%
concluído em Doutorado

← Anterior (6.2.2)
Planaridade em teoria dos grafos
Próximo (6.3) →
Combinatória extrema

Comentários 



Coloração de grafos

https://www.buddymath.com/phd/6.2.3?bmal=pt