Докторантура
  1. Понимание алгебры  1.1. Теория групп  1.1.1. Основные свойства групп  1.1.2. Подгруппы  1.1.3. Классы смежности и теорема Лагранжа  1.1.4. Нормальные подгруппы  1.1.5. Факторгруппа  1.1.6. Групповые гомоморфизмы  1.1.7. Теорема Силова  1.1.8. Введение в свободные группы  1.1.9. Что такое групповые действия?  1.1.10. Простые и разрешимые группы  1.2. Теория колец  1.2.1. Кольца и идеалы  1.2.2. Введение в гомоморфизмы колец  1.2.3. Кольца многочленов  1.2.4. Области главных идеалов  1.2.5. Уникальные области факторизации  1.2.6. Нетеровы кольца  1.2.7. Артиниевы кольца  1.3. Теория полей  1.3.1. Расширения полей  1.3.2. Деление области  1.3.3. Теория Галуа  1.3.4. Алгебраическое замыкание в теории полей  1.3.5. Конечные поля  1.3.6. Трансцендентальное расширение  1.4. Теория модулей  1.4.1. Модули над кольцами  1.4.2. Свободные модули  1.4.3. Гомоморфизм модуля  1.4.4. Простые и полупростые модули  1.4.5. Проективные модули  1.4.6. Инъективные модули  1.5. Линейная алгебра  1.5.1. Векторное пространство  1.5.2. Линейные преобразования  1.5.3. Понимание собственных чисел и собственных векторов  1.5.4. Каноническая форма  1.5.5. Пространство с внутренним произведением  1.5.6. Теорема о спектральном расщеплении  1.5.7. Разложение по сингулярным значениям
  2. Понимание математического анализа  2.1. Реальный анализ  2.1.1. Действительные числа и полнота  2.1.2. Введение в последовательности и ряды  2.1.3. Непрерывность в теории действительных чисел  2.1.4. Дифференцирование в действительном анализе  2.1.5. Интегрирование по Риману  2.1.6. Введение в метрические пространства  2.1.7. Мера Лебега  2.2. Комплексный анализ  2.2.1. Комплексные числа  2.2.2. Аналитические функции  2.2.3. Контурная интеграция  2.2.4. Теорема Коши  2.2.5. Теорема о вычетах  2.2.6. Конформное отображение  2.3. Функциональный анализ  2.3.1. Понимание стандартных пространств  2.3.2. Введение в пространство БАНАХА  2.3.3. Пространства Гильберта  2.3.4. Линейные операторы  2.3.5. Спектральная теория  2.3.6. Компактные операторы  2.4. Теория меры  2.4.1. Сигма алгебра  2.4.2. Измерение и интегралы в теории меры  2.4.3. Интегрирование по Лебегу  2.4.4. Теорема о сходимости  2.4.5. Теорема Фубини  2.5. Гармонический анализ  2.5.1. Ряд Фурье  2.5.2. Преобразование Фурье  2.5.3. Теория распределений  2.5.4. Вейвлеты
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Непрерывность  3.1.3. Введение в компактность  3.1.4. Связность в общей топологии  3.1.5. Метрика топология  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Фундаментальная группа  3.2.2. Теория гомотопий  3.2.3. Теория гомологии  3.2.4. Когомология  3.2.5. Точная последовательность  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Гладкие многообразия  3.3.2. Тангенциальное пространство  3.3.3. Векторные поля  3.3.4. Понимание дифференциальных форм
  4. Геометрия  4.1. Дифференциальная геометрия  4.1.1. Кривые и поверхности в дифференциальной геометрии  4.1.2. Риманова геометрия  4.1.3. Понимание геодезических линий в дифференциальной геометрии  4.1.4. Кривизна  4.2. Алгебраическая геометрия  4.2.1. Аффинные и проективные многообразия  4.2.2. Планы  4.2.3. Разделители и пересечения  4.2.4. Когомология в алгебраической геометрии  4.3. Вычислительная геометрия  4.3.1. Введение в выпуклые оболочки в вычислительной геометрии  4.3.2. Триангуляция  4.3.3. Диаграмма Вороного  4.3.4. Геометрические алгоритмы
  5. Теория чисел  5.1. Элементарная теория чисел  5.1.1. Делимость в элементарной теории чисел  5.1.2. Сравнимость в элементарной теории чисел  5.1.3. Модульная арифметика  5.2. Аналитическая теория чисел  5.2.1. Теорема о распределении простых чисел  5.2.2. Ряды Дирихле  5.2.3. Зета и L-функции  5.3. Алгебраическая теория чисел  5.3.1. Числовые поля  5.3.2. Введение в идеалы в алгебраической теории чисел  5.3.3. Классы групп в алгебраической теории чисел  5.3.4. Представление Галуа
  6. Товарищество  6.1. Вычислительная комбинаторика  6.1.1. Функция-генератор  6.1.2. Рекуррентные соотношения  6.1.3. Перестановка и сочетание  6.2. Теория графов  6.2.1. Изоморфизм графов  6.2.2. Плоскостность в теории графов  6.2.3. Окраска графов  6.3. Экстремальная комбинаторика  6.3.1. Теория Рамсея  6.3.2. Вероятностные методы в экстремальной комбинаторике  6.4. Алгебраическая комбинаторика  6.4.1. Методы матриц в алгебраической комбинаторике  6.4.2. Теория представлений
  7. Аргументы и основания  7.1. Теория множеств  7.1.1. Аксиомы Цермело-Френкеля  7.1.2. Порядковые и кардинальные числа  7.2. Введение в теорию моделей  7.2.1. Структуры и теории в теории моделей  7.2.2. Теорема компактности  7.3. Теория доказательств  7.3.1. Формальные системы  7.3.2. Согласованность и полнота
  8. Вероятность и статистика  8.1. Теория вероятностей  8.1.1. Случайные величины  8.1.2. Ожидание и вариация  8.1.3. Центральная предельная теорема  8.2. Стохастические процессы  8.2.1. Марковские цепи  8.2.2. Броуновское движение  8.3. Статистическое заключение  8.3.1. Тестирование гипотез  8.3.2. Регрессионный анализ
  9. Прикладная математика  9.1. Численный анализ в прикладной математике  9.1.1. Итеративные методы  9.1.2. Интерполяция  9.1.3. Анализ ошибок  9.2. Уравнения в частных производных  9.2.1. Эллиптическое уравнение  9.2.2. Параболическое уравнение  9.2.3. Гиперболические уравнения  9.3. Динамические системы  9.3.1. Теория хаоса  9.3.2. Анализ устойчивости в динамических системах

Докторантура → Товарищество → Теория графов ↓


Плоскостность в теории графов


В теории графов плоскостность - это увлекательная тема, связанная с встраиванием графа в плоскость. Когда граф можно нарисовать на плоской поверхности без пересечения ребер друг с другом, он называется плоским графом. Это свойство делает плоские графы довольно интересными, и они используются в различных областях, таких как информатика, география и инженерия. В этой статье мы углубимся в концепцию плоскостности, изучая определения, инструменты и примеры, чтобы лучше понять ее.

Основные определения

Чтобы полностью понять плоскостность, сначала установим некоторые основные определения.

Граф

Граф G определяется как совокупность вершин V и ребер E, где каждое ребро соединяет пару вершин. Формально это выражается как G = (V, E).

Плоские графы

Граф считается плоским, если его можно нарисовать в плоскости без пересечения ребер. Это изображение называется плоским встраиванием графа.

Грань

В плоском графе грань - это область, ограниченная ребрами. Грань, покрывающая внешнюю область плоского графа, называется неограниченной гранью или внешней гранью.

Формула Эйлера

Формула Эйлера дает конкретное условие для связного плоского графа, утверждая:

V – E + F = 2

где V - количество вершин, E - количество ребер, а F - количество граней. Это уравнение важно для идентификации и анализа плоских структур.

Примеры плоских графов

Рассмотрим некоторые примеры, чтобы понять, как выглядят плоские графы. Стандартным примером является простой многоугольник.

Графы K4

K4 - это полный граф с четырьмя вершинами. Он всегда плоский, независимо от того, как он изображен.

Цикл C3 граф

Еще более простой пример - треугольный граф C3, который всегда плоский.

Тест на плоскостность

Определение того, является ли граф плоским, включает проверку того, можно ли его реконструировать таким образом, чтобы избежать пересечений ребер. Для этой цели существуют алгоритмы, и здесь мы обсудим некоторые основные тесты.

Теорема Куратовского

Теорема Куратовского предоставляет простую информацию о плоскостности. Она утверждает, что граф является неплоским, если и только если он содержит подграф, который является подразделением K_5 (полного графа с пятью вершинами) или K_{3,3} (полного двудольного графа).

Теорема Вагнера

Подобно теореме Куратовского, теорема Вагнера предоставляет критерий того, что граф не имеет циклического минора (минор получается удалением или сжатием ребер), содержащего K_5 или K_{3,3}.

Применение плоских графов

Плоские графы встречаются в различных реальных контекстах, предоставляя информацию в таких областях, как информатика, география и инженерия. Вот некоторые примечательные примеры:

Проектирование VLSI: В проектировании схем плоские графы используются для размещения компонентов на кремниевых пластинах таким образом, чтобы минимизировать расстояния между проводниками, оптимизировать пространство и повышать производительность.

Картографическое изображение: Карты широко используются в географических исследованиях для отображения данных без перекрытий, обеспечивая четкие и понятные визуализации.

Проектирование сетей: Проектирование таких сетей, как дорожные пути, дороги или даже линии связи, включает обеспечение минимального перекрытия, чтобы избежать помех сигнала и оптимизировать поток. Плоские графы играют очень важную роль в проектировании таких оптимальных маршрутов.

Создание плоских графов

Создание плоского графа включает в себя стратегическую конфигурацию вершин. На практике это может означать повторную проверку пересекающихся ребер и их перепозиционирование до тех пор, пока пересечения не исчезнут.

Пример пошаговый

Рассмотрим преобразование неплоского графа в плоскую форму с использованием итерационного перепозиционирования ребер.

  1. Начните с пересеченной структуры.
  2. Определите и отметьте пересекающиеся ребра.
  3. Измените положение вершин, чтобы устранить пересечения.
  4. Продолжайте этот подход до тех пор, пока все взаимосвязи не будут устранены.
  5. Оцените полностью плоский граф.

Заключение

Понимание плоскостности важно во многих областях, где необходимы явные и безпересечные представления. Плоские графы играют жизненно важную роль не только в теоретической математике, но и в практических приложениях, влияющих на повседневную инфраструктуру. Изучая подробные определения и примеры, а также реальные приложения, мы получаем более глубокое понимание того, как плоскостность влияет на структуры в нашей жизни и как она упрощает сложные задачи благодаря силе визуализации и явного представления.


Докторантура → 6.2.2


U
username
0%
завершено в Докторантура

← предыдущая (6.2.1)
Изоморфизм графов
следующая (6.2.3) →
Окраска графов

комментарии 



Плоскостность в теории графов

https://www.buddymath.com/phd/6.2.2?bmal=ru