Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

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Planicidad en teoría de grafos


En teoría de grafos, la planicidad es un tema fascinante que trata de incrustar un grafo en un plano. Cuando un grafo puede dibujarse en una superficie plana sin que sus aristas se crucen, se llama un grafo plano. Esta propiedad hace que los grafos planos sean bastante interesantes, utilizados en diversos campos como la informática, la geografía y la ingeniería. En este artículo, profundizaremos en el concepto de planicidad, explorando definiciones, herramientas y ejemplos para entenderlo mejor.

Definiciones básicas

Para comprender completamente la planicidad, primero establezcamos algunas definiciones básicas.

Grafo

Un grafo G se define como una colección de vértices V y aristas E, donde cada arista conecta un par de vértices. Formalmente, se expresa como G = (V, E).

Grafos planos

Un grafo se considera plano si se puede dibujar en el plano sin cruzar ninguna arista. Este dibujo se llama una incrustación plana del grafo.

Cara

En un grafo plano, una cara es una región encerrada por aristas. La cara que cubre la región exterior de un grafo plano se llama una cara no acotada o cara exterior.

Fórmula de Euler

La fórmula de Euler da una condición específica para un grafo plano conectado, estableciendo:

V – E + F = 2

donde V es el número de vértices, E es el número de aristas, y F es el número de caras. Esta ecuación es importante para identificar y analizar estructuras planas.

Ejemplos de grafos planos

Consideremos algunos ejemplos para entender cómo son los grafos planos. Un ejemplo estándar es un polígono simple.

Grafos K4

K4 es un grafo completo con cuatro vértices. Siempre es plano, sin importar cómo se dibuje.

Grafo ciclo C3

Un ejemplo aún más simple es el grafo triángulo C3, que siempre es plano.

Prueba de planicidad

Determinar si un grafo es plano implica verificar si puede ser reconstruido de una manera que evite cruces de aristas. Existen algoritmos específicamente para este propósito, y aquí discutimos algunas pruebas básicas.

Teorema de Kuratowski

El teorema de Kuratowski proporciona información simple sobre la planicidad. Afirma que un grafo es no plano si, y solo si, contiene un subgrafo que es una subpartición de K_5 (el grafo completo con cinco vértices) o K_{3,3} (el grafo bipartito completo).

Teorema de Wagner

Similar al teorema de Kuratowski, el teorema de Wagner proporciona un criterio para que el grafo no tenga un menor de ciclo (el menor se obtiene eliminando o comprimiendo aristas) que contenga K_5 o K_{3,3}.

Aplicaciones de los grafos planos

Los grafos planos aparecen en una variedad de contextos del mundo real, proporcionando información en campos como la informática, la geografía y la ingeniería. Aquí hay algunos ejemplos notables:

Diseño VLSI: En el diseño de circuitos, los grafos planos se utilizan para organizar los componentes en chips de silicio de una manera que minimiza las distancias entre caminos conductores, optimiza el espacio y aumenta el rendimiento.

Mapeo Geográfico: Los mapas se utilizan ampliamente en estudios geográficos para mostrar datos de manera efectiva sin superposición, lo que permite visualizaciones claras y comprensibles.

Diseño de Redes: Diseñar redes como caminos, carreteras o incluso líneas de telecomunicaciones implica asegurar un mínimo de superposición para evitar interferencias de señales y optimizar el flujo. Los grafos planos juegan un papel muy importante en el diseño de esas rutas óptimas.

Generación de grafos planos

Crear un grafo plano implica una configuración estratégica de los vértices. En la práctica, esto puede significar verificar repetidamente las aristas cruzadas y reubicarlas hasta que no existan cruces.

Ejemplo paso a paso

Consideremos transformar un grafo no plano en una forma plana usando el reposicionamiento iterativo de aristas.

  1. Comienza con una estructura cruzada.
  2. Identifica y marca las aristas que se intersectan.
  3. Modifica los vértices para eliminar las intersecciones.
  4. Continúa con este enfoque hasta que se eliminen todas las interconexiones.
  5. Evalúa el grafo plano completo.

Conclusión

Entender la planicidad es importante en muchos dominios, donde las representaciones explícitas y sin cruces son esenciales. Los grafos planos juegan un papel vital no solo en matemáticas teóricas, sino también en aplicaciones prácticas que afectan la infraestructura diaria. Al estudiar definiciones detalladas y ejemplos junto con aplicaciones del mundo real, obtenemos una comprensión más profunda de cómo la planicidad afecta estructuras en nuestras vidas y cómo simplifica problemas complejos a través del poder de la visualización y la representación explícita.


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