Изоморфизм графов

В области теории графов, основного раздела комбинаторики, графы являются фундаментальными объектами, используемыми для моделирования парных отношений между объектами. Они состоят только из узлов (или вершин) и рёбер (соединений между узлами). Изоморфизм графов — важная концепция, которая позволяет нам определить, что два графа по сути одинаковы, даже если на первый взгляд они выглядят по-разному.

Понимание изоморфизма графов

Говорят, что два графа изоморфны, если существует взаимно-однозначное соответствие между их множествами вершин и рёбер, сохраняющее связь. Проще говоря, изоморфные графы можно считать одним и тем же графом, нарисованным по-разному.

Изоморфизм графов — это отображение f между множествами вершин двух графов G и H :
F : V(G) → V(H)
такое, что G содержит ребро (u,v) тогда и только тогда, когда H содержит ребро (f(u),f(v)) .

Рассмотрим следующий пример:

Хотя графы выше выглядят по-разному из-за их расположения, они на самом деле изоморфны. Отображение может быть следующим:

• a → 1
• b → 2
• c → 3
• D → 4

Под этим отображением сохраняются комбинации вершин и их соответствующие рёбра.

Свойства изоморфных графов

Изоморфные графы имеют несколько важных свойств. Вот некоторые важные свойства:

• Равное количество вершин: Если два графа изоморфны, то они должны иметь одинаковое количество вершин.
• Одинаковое количество рёбер: Изоморфные графы имеют одинаковое количество рёбер.
• Степень вершины: Последовательность степеней (количество рёбер, соединённых с вершиной) графа должна соответствовать последовательности степеней другого графа.
• Структура: Общая связность и структура связей останутся неизменными.

Определение симметрии

Определение, являются ли два графа похожими, иногда может быть простым, а иногда очень сложным. Вот более структурированный подход к определению схожести графов:

1. Сравните количество вершин и рёбер

Первым шагом является обеспечение того, чтобы оба графа имели одинаковое количество вершин и рёбер. Если это не так, они не могут быть похожи.

2. Сравните последовательности степеней вершин

Эффективной стратегией является сравнение последовательностей степеней вершин в обоих графах, которые должны быть одинаковыми.

3. Анализируйте локальные структуры

Исследуйте связь более глубоко, чем просто степени вершин. Рассмотрите наличие подграфов, циклов и других структур, чтобы найти узнаваемые шаблоны.

4. Попробуйте создать отображение

Наконец, попытайтесь явно создать отображения вершин. Каждая попытка отображения должна гарантировать, что связь между двумя графами сохраняется.

Рабочий пример

Давайте рассмотрим несколько сценариев, чтобы лучше понять, как определить изоморфизм графов.

Пример 1: простой путь

Рассмотрим граф с двумя путями и тремя вершинами:

Оба графа имеют 3 вершины и 2 рёбра, расположенных линейно. Оба имеют последовательность степеней вершин [1, 2, 1]. Они действительно изоморфны с простым отображением:

• a → 1
• b → 2
• c → 3

Пример 2: полный граф

Теперь рассмотрим два полных графа с четырьмя вершинами:

В этих графах каждая вершина соединяется с каждой другой вершиной, что приводит к последовательности степеней вершин [3, 3, 3, 3]. Эти графы похожи по структуре и являются изоморфными.

Проблемы изоморфизма графов

Проблема изоморфизма графов, заключающаяся в определении того, изоморфны ли два графа, вычислительно сложна. Эта проблема долгое время озадачивала математиков и компьютерных учёных. Хотя она считается ни простой, ни сложной для доказательства, недавний прогресс постоянно расширяет границы нашего понимания изоморфизма графов.

Хотя относительно легко вручную анализировать небольшие графы на изоморфизм, при увеличении размера графа становятся необходимыми алгоритмические решения. Исследователи разработали несколько алгоритмических подходов к решению этой проблемы, каждый из которых имеет свои сильные и слабые стороны.

Алгоритмический подход

• Групповой теоретический подход: Эти методы используют симметрии в графах на основе концепций групповой теории.
• Алгоритмы раскраски: Методы раскраски позволяют многократно дифференцировать вершины, чтобы помочь идентифицировать симметрии графов.
• Каноническое обозначение: Это involves labeling each граф стандартизированным образом и сравнение меток на схожесть.

Заключение

Понимание изоморфизма графов важно для изучения теории графов и комбинаторики. Оно позволяет выявить основные сходства между графами, рассматривая их поверхностные различия. Эти знания полезны для многих областей, начиная от химии, биологии, анализа сетей и заканчивая информатикой, особенно в оптимизации структур данных и программной инженерии.

комментарии