Докторантура
  1. Понимание алгебры  1.1. Теория групп  1.1.1. Основные свойства групп  1.1.2. Подгруппы  1.1.3. Классы смежности и теорема Лагранжа  1.1.4. Нормальные подгруппы  1.1.5. Факторгруппа  1.1.6. Групповые гомоморфизмы  1.1.7. Теорема Силова  1.1.8. Введение в свободные группы  1.1.9. Что такое групповые действия?  1.1.10. Простые и разрешимые группы  1.2. Теория колец  1.2.1. Кольца и идеалы  1.2.2. Введение в гомоморфизмы колец  1.2.3. Кольца многочленов  1.2.4. Области главных идеалов  1.2.5. Уникальные области факторизации  1.2.6. Нетеровы кольца  1.2.7. Артиниевы кольца  1.3. Теория полей  1.3.1. Расширения полей  1.3.2. Деление области  1.3.3. Теория Галуа  1.3.4. Алгебраическое замыкание в теории полей  1.3.5. Конечные поля  1.3.6. Трансцендентальное расширение  1.4. Теория модулей  1.4.1. Модули над кольцами  1.4.2. Свободные модули  1.4.3. Гомоморфизм модуля  1.4.4. Простые и полупростые модули  1.4.5. Проективные модули  1.4.6. Инъективные модули  1.5. Линейная алгебра  1.5.1. Векторное пространство  1.5.2. Линейные преобразования  1.5.3. Понимание собственных чисел и собственных векторов  1.5.4. Каноническая форма  1.5.5. Пространство с внутренним произведением  1.5.6. Теорема о спектральном расщеплении  1.5.7. Разложение по сингулярным значениям
  2. Понимание математического анализа  2.1. Реальный анализ  2.1.1. Действительные числа и полнота  2.1.2. Введение в последовательности и ряды  2.1.3. Непрерывность в теории действительных чисел  2.1.4. Дифференцирование в действительном анализе  2.1.5. Интегрирование по Риману  2.1.6. Введение в метрические пространства  2.1.7. Мера Лебега  2.2. Комплексный анализ  2.2.1. Комплексные числа  2.2.2. Аналитические функции  2.2.3. Контурная интеграция  2.2.4. Теорема Коши  2.2.5. Теорема о вычетах  2.2.6. Конформное отображение  2.3. Функциональный анализ  2.3.1. Понимание стандартных пространств  2.3.2. Введение в пространство БАНАХА  2.3.3. Пространства Гильберта  2.3.4. Линейные операторы  2.3.5. Спектральная теория  2.3.6. Компактные операторы  2.4. Теория меры  2.4.1. Сигма алгебра  2.4.2. Измерение и интегралы в теории меры  2.4.3. Интегрирование по Лебегу  2.4.4. Теорема о сходимости  2.4.5. Теорема Фубини  2.5. Гармонический анализ  2.5.1. Ряд Фурье  2.5.2. Преобразование Фурье  2.5.3. Теория распределений  2.5.4. Вейвлеты
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Непрерывность  3.1.3. Введение в компактность  3.1.4. Связность в общей топологии  3.1.5. Метрика топология  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Фундаментальная группа  3.2.2. Теория гомотопий  3.2.3. Теория гомологии  3.2.4. Когомология  3.2.5. Точная последовательность  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Гладкие многообразия  3.3.2. Тангенциальное пространство  3.3.3. Векторные поля  3.3.4. Понимание дифференциальных форм
  4. Геометрия  4.1. Дифференциальная геометрия  4.1.1. Кривые и поверхности в дифференциальной геометрии  4.1.2. Риманова геометрия  4.1.3. Понимание геодезических линий в дифференциальной геометрии  4.1.4. Кривизна  4.2. Алгебраическая геометрия  4.2.1. Аффинные и проективные многообразия  4.2.2. Планы  4.2.3. Разделители и пересечения  4.2.4. Когомология в алгебраической геометрии  4.3. Вычислительная геометрия  4.3.1. Введение в выпуклые оболочки в вычислительной геометрии  4.3.2. Триангуляция  4.3.3. Диаграмма Вороного  4.3.4. Геометрические алгоритмы
  5. Теория чисел  5.1. Элементарная теория чисел  5.1.1. Делимость в элементарной теории чисел  5.1.2. Сравнимость в элементарной теории чисел  5.1.3. Модульная арифметика  5.2. Аналитическая теория чисел  5.2.1. Теорема о распределении простых чисел  5.2.2. Ряды Дирихле  5.2.3. Зета и L-функции  5.3. Алгебраическая теория чисел  5.3.1. Числовые поля  5.3.2. Введение в идеалы в алгебраической теории чисел  5.3.3. Классы групп в алгебраической теории чисел  5.3.4. Представление Галуа
  6. Товарищество  6.1. Вычислительная комбинаторика  6.1.1. Функция-генератор  6.1.2. Рекуррентные соотношения  6.1.3. Перестановка и сочетание  6.2. Теория графов  6.2.1. Изоморфизм графов  6.2.2. Плоскостность в теории графов  6.2.3. Окраска графов  6.3. Экстремальная комбинаторика  6.3.1. Теория Рамсея  6.3.2. Вероятностные методы в экстремальной комбинаторике  6.4. Алгебраическая комбинаторика  6.4.1. Методы матриц в алгебраической комбинаторике  6.4.2. Теория представлений
  7. Аргументы и основания  7.1. Теория множеств  7.1.1. Аксиомы Цермело-Френкеля  7.1.2. Порядковые и кардинальные числа  7.2. Введение в теорию моделей  7.2.1. Структуры и теории в теории моделей  7.2.2. Теорема компактности  7.3. Теория доказательств  7.3.1. Формальные системы  7.3.2. Согласованность и полнота
  8. Вероятность и статистика  8.1. Теория вероятностей  8.1.1. Случайные величины  8.1.2. Ожидание и вариация  8.1.3. Центральная предельная теорема  8.2. Стохастические процессы  8.2.1. Марковские цепи  8.2.2. Броуновское движение  8.3. Статистическое заключение  8.3.1. Тестирование гипотез  8.3.2. Регрессионный анализ
  9. Прикладная математика  9.1. Численный анализ в прикладной математике  9.1.1. Итеративные методы  9.1.2. Интерполяция  9.1.3. Анализ ошибок  9.2. Уравнения в частных производных  9.2.1. Эллиптическое уравнение  9.2.2. Параболическое уравнение  9.2.3. Гиперболические уравнения  9.3. Динамические системы  9.3.1. Теория хаоса  9.3.2. Анализ устойчивости в динамических системах

Докторантура → Товарищество ↓


Вычислительная комбинаторика


Перечислительная комбинаторика — это раздел математики, занимающийся подсчетом количества способов, которыми могут быть сформированы определенные шаблоны. Она пытается ответить на такие вопросы, как «Сколькими разными способами можно упорядочить определенную структуру?» или «Сколько возможных конфигураций существует при заданном наборе ограничений?» Это направление является основополагающим для многих областей математики, так как обеспечивает необходимую основу для теории вероятностей, анализа алгоритмов и других областей.

Основные принципы подсчета

Фундаментальный принцип подсчета, иногда называемый законом произведения, важен в комбинаторике. Он утверждает, что если у вас есть последовательность вариантов выбора, при этом существует n способов выбрать первый вариант и m способов выбрать второй вариант, то существует n × m способов сформировать последовательность вариантов. Этот принцип можно обобщить на любое количество вариантов.

Пример

Представьте, что вы выбираете одежду. У вас есть 3 рубашки (красная, синяя, желтая) и 2 пары брюк (джинсы, шорты). Вы хотите узнать, сколько разных наборов одежды можно составить. Используя правило произведения, вы рассчитываете:

Количество вариантов одежды = Количество рубашек × Количество брюк = 3 × 2 = 6

Возможные комбинации одежды включают: (красная, джинсы), (красная, шорты), (синяя, джинсы), (синяя, шорты), (желтая, джинсы), (желтая, шорты).

Перестановка

Перестановка относится к упорядочению объектов в последовательности, где важен порядок. Количество перестановок n различных объектов определяется факториалом n, обозначаемым как n!.

Формула

n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1

Пример

Если мы должны посмотреть 4 фильма за 4 последовательные ночи, сколько вариантов просмотра возможно?

Количество перестановок = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

Таким образом, существует 24 различных порядка просмотра этих четырех фильмов.

Визуальный пример

элемент 1 элемент 2 элемент 3 элемент 4 Всего 4 перестановки! : 24 возможных расстановки

Комбинация

Комбинация относится к выбору элементов без учета порядка. Если у нас есть набор элементов, и мы хотим выбрать некоторые из них, количество способов сделать это называется комбинацией. Число комбинаций n элементов, взятых по r одновременно, обозначается как C(n, r) или nCr и может быть рассчитано по формуле:

Формула

C(n, r) = n! / (r! × (nr)!)

Пример

Если у вас есть 5 различных книг, но вы можете взять только 2 в отпуск, количество комбинаций определяется как:

C(5, 2) = 5! / (2! × (5-2)!) = 10

Это означает, что вы можете выбрать из 10 различных пар книг.

Визуальный пример

1 2 3 4 Выбор пар: C(4,2) = 6 вариантов

Биномиальная теорема и треугольник Паскаля

Биномиальная теорема дает формулу для разложения выражений, возводимых в степени. Для любого целого числа n она представляется как:

Формула

(x + y)^n = ∑(C(n, k) × x^(nk) × y^k), где 0 ≤ k ≤ n

Треугольник Паскаля — это замечательный инструмент для нахождения коэффициентов членов в разложениях. n-ый ряд треугольника Паскаля состоит из чисел C(n,0), C(n,1), ..., C(n, n).

Пример

(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3

Визуальный пример

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1

Принцип включения-исключения

Принцип включения-исключения — это фундаментальный, но иногда неинтуитивный принцип в комбинаторике, используемый для подсчета числа элементов в объединении нескольких пересекающихся множеств. Для двух множеств A и B принцип выражается следующим образом:

Формула

|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|

Этот принцип можно применить и к нескольким множествам.

Пример

Предположим, университет предлагает 3 типа курсов: наука (60 студентов), математика (50 студентов) и оба (15 студентов). Общее число студентов, зачисленных на курсы по науке или математике, составляет:

|Наука ∪ Математика| = |Наука| + |Математика| - |Наука ∩ Математика| = 60 + 50 - 15 = 95

Визуальный пример

A B A ∩ B

Порождающие функции

Порождающие функции являются мощным инструментом в комбинаторике при работе с последовательностями. Они превращают комбинаторные задачи в алгебраические и делают более простым распознавание шаблонов и нахождение закрытых формул. Порождающая функция для последовательности (a n ) представляется следующим образом:

Формула

G(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x² + a 3 x³ + ...

Пример

Рассмотрим последовательность чисел, обозначающих количество подмножеств множества с n элементами:

Порождающая функция:

G(x) = (1 + x)^n

Применение вычислительной комбинаторики

Перечислительная комбинаторика имеет широкое применение в таких областях, как информатика (для анализа алгоритмов), математика (особенно теория вероятностей и теория графов) и статистика. Понимание конфигурации и размещения различных множеств и структур помогает решать сложные задачи подсчета эффективно.

Примеры в информатике

В информатике анализ сложности алгоритмов часто опирается на комбинаторику. Например, алгоритмы сортировки могут значительно выиграть от анализа с помощью комбинаторики для определения наилучших, средних и худших сценариев.

Примеры в теории вероятностей

В теории вероятностей концепции перестановки и сочетания используются для вычисления вероятности различных событий в структурированном вероятностном пространстве.

Понимание этих основных тем и их визуализации является важным шагом в области вычислительной комбинаторики. Эта область открывает множество дверей для более глубокого понимания как теоретической, так и прикладной математики.


Докторантура → 6.1


U
username
0%
завершено в Докторантура

← предыдущая (6)
Товарищество
следующая (6.1.1) →
Функция-генератор

комментарии 



Вычислительная комбинаторика

https://www.buddymath.com/phd/6.1?bmal=ru