Doutorado
  1. Compreendendo Álgebra  1.1. Teoria dos grupos  1.1.1. Propriedades básicas dos grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Classes laterais e o teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normais  1.1.5. Grupo quociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introdução aos grupos livres  1.1.9. O que são atividades em grupo?  1.1.10. Grupos simples e solucionáveis  1.2. Teoria dos anéis  1.2.1. Anéis e ideais  1.2.2. Introdução aos homomorfismos de anéis  1.2.3. Aneis polinomiais  1.2.4. Domínios de ideais principais  1.2.5. Domínios de Fatoração Única  1.2.6. Anéis noetherianos  1.2.7. Anéis Artinianos  1.3. Teoria dos Campos  1.3.1. Extensões de corpos  1.3.2. Divisão de área  1.3.3. Teoria de Galois  1.3.4. Fechamento algébrico na teoria dos corpos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensão transcendental  1.4. Teoria dos módulos  1.4.1. Módulos sobre anéis  1.4.2. Módulos livres  1.4.3. Homomorfismo de módulo  1.4.4. Módulos simples e semi-simples  1.4.5. Módulos projetivos  1.4.6. Módulos Injetivos  1.5. Álgebra linear  1.5.1. Espaço vetorial  1.5.2. Transformações lineares  1.5.3. Entendendo Autovalores e Autovetores  1.5.4. Forma canônica  1.5.5. Espaço de produto interno  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Decomposição em valores singulares
  2. Compreendendo a Análise Matemática  2.1. Análise real  2.1.1. Números reais e completude  2.1.2. Introdução a sequências e séries  2.1.3. Continuidade em análise real  2.1.4. Diferenciação em análise real  2.1.5. Integração de Riemann  2.1.6. Introdução aos espaços métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análise Complexa  2.2.1. Números complexos  2.2.2. Funções analíticas  2.2.3. Integração de contorno  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema do Resíduo  2.2.6. Mapeamento conformal  2.3. Análise Funcional  2.3.1. Compreendendo locais padrão  2.3.2. Introdução aos espaços de Banach  2.3.3. Espaços de Hilbert  2.3.4. Operadores lineares  2.3.5. Teoria espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoria da Medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medição e integrais na teoria da medida  2.4.3. Integração de Lebesgue  2.4.4. Teorema da Convergência  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análise Harmônica  2.5.1. Séries de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoria da distribuição  2.5.4. Wavelets
  3. Topologia  3.1. Topologia geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Continuidade  3.1.3. Introdução à compacidade  3.1.4. Conectividade na topologia geral  3.1.5. Topologia métrica  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoria da homotopia  3.2.3. Teoria da homologia  3.2.4. Cohomologia  3.2.5. Sequência exata  3.3. Topologia diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espaço tangente  3.3.3. Campos vetoriais  3.3.4. Compreendendo Formas Diferenciais
  4. Geometria  4.1. Geometria diferencial  4.1.1. Curvas e superfícies na geometria diferencial  4.1.2. Geometria Riemanniana  4.1.3. Compreendendo geodésicas na geometria diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometria algébrica  4.2.1. Variedades afins e projetivas  4.2.2. Planos  4.2.3. Separadores e interseções  4.2.4. Cohomologia na geometria algébrica  4.3. Geometria Computacional  4.3.1. Introdução às coberturas convexas na geometria computacional  4.3.2. Triangulação  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoria dos números  5.1. Teoria dos números elementar  5.1.1. Divisibilidade na teoria elementar dos números  5.1.2. Congruência na teoria dos números elementar  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoria analítica dos números  5.2.1. Teorema dos números primos  5.2.2. Séries de Dirichlet  5.2.3. Zeta e funções L  5.3. Teoria dos números algébricos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introdução aos ideais na teoria algébrica dos números  5.3.3. Grupos de classes em teoria algébrica dos números  5.3.4. Representação de Galois
  6. Companhia  6.1. Combinatória computacional  6.1.1. Função Geradora  6.1.2. Relação de recorrência  6.1.3. Permanência e combinação  6.2. Teoria dos grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planaridade em teoria dos grafos  6.2.3. Coloração de grafos  6.3. Combinatória extrema  6.3.1. Teoria de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos em combinatória extrema  6.4. Combinatória algébrica  6.4.1. Métodos de matrizes em combinatória algébrica  6.4.2. Teoria da Representação
  7. Argumentos e fundamentos  7.1. Teoria dos conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinais e cardinais  7.2. Introdução à teoria dos modelos  7.2.1. Estruturas e teorias na teoria dos modelos  7.2.2. Teorema da compacidade  7.3. Teoria da prova  7.3.1. Sistemas formais  7.3.2. Consistência e completude
  8. Probabilidade e Estatística  8.1. Teoria da probabilidade  8.1.1. Variáveis aleatórias  8.1.2. Expectativa e variação  8.1.3. Teorema do limite central  8.2. Processos estocásticos  8.2.1. Cadeias de Markov  8.2.2. Movimento browniano  8.3. Inferência estatística  8.3.1. Teste de hipóteses  8.3.2. Análise de regressão
  9. Matemática aplicada  9.1. Análise numérica em matemática aplicada  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolação  9.1.3. Análise de erros  9.2. Equações diferenciais parciais  9.2.1. Equação elíptica  9.2.2. Equação parabólica  9.2.3. Equações hiperbólicas  9.3. Sistemas dinâmicos  9.3.1. Teoria do Caos  9.3.2. Análise de estabilidade em sistemas dinâmicos

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Combinatória computacional


Combinatória enumerativa é um ramo da matemática que se preocupa com a contagem do número de formas pelas quais certos padrões podem ser formados. Ela tenta responder perguntas como "De quantas maneiras diferentes uma determinada estrutura pode ser organizada?" ou "Quantas configurações possíveis existem sob um dado conjunto de restrições?" Este campo é fundamental para muitas áreas da matemática, pois fornece a base essencial para probabilidade, análise de algoritmos e outros domínios.

Princípios básicos de contagem

O princípio fundamental da contagem, às vezes chamado de lei do produto, é importante na combinatória. Ele afirma que se você tiver uma sequência de opções para escolher, e houver n maneiras de escolher a primeira opção e m maneiras de escolher a segunda opção, então há n × m maneiras de formar a sequência de opções. Este princípio pode ser generalizado para qualquer número de opções.

Exemplo

Imagine que você está escolhendo uma roupa. Você tem 3 camisas (vermelha, azul, amarela) e 2 calças (jeans, shorts). Você quer saber quantos conjuntos de roupas diferentes podem ser feitos. Usando a regra do produto, você calcula:

Número de roupas = Número de camisas × Número de calças = 3 × 2 = 6

As combinações possíveis de roupas incluem: (vermelha, jeans), (vermelha, shorts), (azul, jeans), (azul, shorts), (amarela, jeans), (amarela, shorts).

Permanência

Permanência refere-se à organização de objetos em uma sequência onde a ordem importa. O número de permanências de n objetos distintos é dado pelo fatorial de n, denotado como n!.

Fórmula

n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1

Exemplo

Se temos que assistir 4 filmes em noites consecutivas, quantas sequências de exibição são possíveis?

Número de permanências = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

Assim, existem 24 ordens diferentes possíveis para assistir esses quatro filmes.

Exemplo visual

item 1 Item 2 Item 3 Item 4 Existem 4 permanências totais! : 24 arranjos possíveis

Combinação

Combinação refere-se à seleção de itens independentemente da ordem. Se temos um conjunto de itens e queremos selecionar alguns deles, o número de maneiras de fazê-lo é chamado de combinação. O número de combinações de n itens tomados r de cada vez é representado por C(n, r) ou nCr, e pode ser calculado usando a fórmula:

Fórmula

C(n, r) = n! / (r! × (nr)!)

Exemplo

Se você tem 5 livros diferentes, mas só pode levar 2 de férias, o número de combinações é determinado por:

C(5, 2) = 5! / (2! × (5-2)!) = 10

Isso significa que você pode escolher entre 10 pares diferentes de livros.

Exemplo visual

1 2 3 4 Escolhendo pares: C(4,2) = 6 opções

Teorema binomial e triângulo de Pascal

O teorema binomial oferece uma fórmula para expandir expressões que são elevadas a expoentes. Para qualquer inteiro n, é representado como:

Fórmula

(x + y)^n = ∑(C(n, k) × x^(nk) × y^k), onde 0 ≤ k ≤ n

O triângulo de Pascal é uma ferramenta maravilhosa para encontrar os coeficientes dos termos nas expansões.


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Combinatória computacional

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