Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

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Combinatoria computacional


La combinatoria enumerativa es una rama de las matemáticas que se ocupa de contar el número de maneras en que se pueden formar ciertos patrones. Intenta responder preguntas como "¿De cuántas maneras diferentes se puede organizar una estructura particular?" o "¿Cuántas configuraciones posibles existen bajo un conjunto dado de restricciones?" Este campo es fundamental en muchas áreas de las matemáticas, ya que proporciona la base esencial para la probabilidad, el análisis de algoritmos y otros dominios.

Principios básicos de conteo

El principio fundamental del conteo, a veces llamado la ley del producto, es importante en la combinatoria. Establece que si tienes una secuencia de opciones para elegir, y hay n maneras de elegir la primera opción y m maneras de elegir la segunda opción, entonces hay n × m maneras de formar la secuencia de opciones. Este principio se puede generalizar a cualquier número de opciones.

Ejemplo

Imagina que estás eligiendo un conjunto de ropa. Tienes 3 camisas (roja, azul, amarilla) y 2 pantalones (jeans, pantalones cortos). Quieres saber cuántos conjuntos de ropa diferentes se pueden hacer. Usando la regla del producto, calculas:

Número de conjuntos = Número de camisas × Número de pantalones = 3 × 2 = 6

Las combinaciones posibles de conjuntos de ropa incluyen: (roja, jeans), (roja, pantalones cortos), (azul, jeans), (azul, pantalones cortos), (amarilla, jeans), (amarilla, pantalones cortos).

Permutación

La permutación se refiere a la disposición de objetos en una secuencia donde el orden importa. El número de permutaciones de n objetos distintos está dado por el factorial de n, denotado como n!.

Fórmula

n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1

Ejemplo

Si tenemos que ver 4 películas en noches consecutivas, ¿cuántas secuencias de visualización son posibles?

Número de permutaciones = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

Por lo tanto, hay 24 órdenes diferentes posibles para ver estas cuatro películas.

Ejemplo visual

objeto 1 Objeto 2 Objeto 3 Objeto 4 ¡Hay 4 permutaciones totales!: 24 disposiciones posibles

Combinación

La combinación se refiere a la selección de elementos independientemente del orden. Si tenemos un conjunto de elementos y queremos seleccionar algunos de ellos, el número de maneras de hacerlo se llama una combinación. El número de combinaciones de n elementos tomados r a la vez se representa como C(n, r) o nCr, y se puede calcular usando la fórmula:

Fórmula

C(n, r) = n! / (r! × (nr)!)

Ejemplo

Si tienes 5 libros diferentes, pero solo puedes llevar 2 de vacaciones, el número de combinaciones se determina por:

C(5, 2) = 5! / (2! × (5-2)!) = 10

Esto significa que puedes elegir entre 10 pares diferentes de libros.

Ejemplo visual

1 2 3 4 Eligiendo pares: C(4,2) = 6 opciones

Teorema binomial y triángulo de Pascal

El teorema binomial proporciona una fórmula para expandir expresiones que se elevan a exponentes. Para cualquier entero n, se representa como:

Fórmula

(x + y)^n = ∑(C(n, k) × x^(nk) × y^k), donde 0 ≤ k ≤ n

El triángulo de Pascal es una herramienta maravillosa para encontrar los coeficientes de términos en expansiones. La enésima fila del triángulo de Pascal consta de los números C(n,0), C(n,1), ..., C(n, n).

Ejemplo

(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3

Ejemplo visual

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1

Principio de inclusión-exclusión

El principio de inclusión-exclusión es un principio fundamental pero a veces contraintuitivo en la combinatoria, utilizado para contar el número de elementos en la unión de varios conjuntos que pueden intersectarse. Para dos conjuntos A y B, el principio se expresa de la siguiente manera:

Fórmula

|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|

Este principio también se puede aplicar a múltiples conjuntos.

Ejemplo

Supongamos que una universidad ofrece 3 tipos de cursos: ciencias (60 estudiantes), matemáticas (50 estudiantes) y ambos (15 estudiantes). El número total de estudiantes inscritos en clases de ciencias o matemáticas es:

|Ciencias ∪ Matemáticas| = |Ciencias| + |Matemáticas| - |Ciencias ∩ Matemáticas| = 60 + 50 - 15 = 95

Ejemplo visual

A B A ∩ B

Función generadora

Las funciones generadoras son una herramienta poderosa en la combinatoria cuando se tratan secuencias. Convierten problemas combinatorios en problemas algebraicos y facilitan el reconocimiento de patrones y la búsqueda de fórmulas cerradas. La función generadora para una secuencia (a n ) se representa de la siguiente manera:

Fórmula

G(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x² + a 3 x³ + ...

Ejemplo

Considere una secuencia de números que indica el número de subconjuntos de un conjunto con n elementos:

La función generadora es:

G(x) = (1 + x)^n

Aplicaciones de la combinatoria computacional

La combinatoria enumerativa tiene una amplia gama de aplicaciones en campos como la informática (para analizar algoritmos), las matemáticas (especialmente la teoría de probabilidades y la teoría de grafos) y la estadística. Al comprender la configuración y disposición de varios conjuntos y estructuras, la combinatoria enumerativa ayuda a resolver problemas complejos de conteo de manera eficiente.

Ejemplos en informática

En ciencias de la computación, el análisis de la complejidad de los algoritmos a menudo se basa en la combinatoria. Por ejemplo, los algoritmos de clasificación pueden beneficiarse en gran medida del análisis combinatorio para determinar los mejores, promedio y peores escenarios.

Ejemplos en probabilidad

En teoría de probabilidades, los conceptos de permutación y combinación se utilizan para calcular la probabilidad de que ocurran varios eventos en un espacio de muestra estructurado.

Al comprender estos temas centrales y su visualización, has dado un paso valioso en el campo de la combinatoria computacional. Este campo abre muchas puertas a una comprensión más profunda tanto de las matemáticas teóricas como aplicadas.


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