Докторантура
  1. Понимание алгебры  1.1. Теория групп  1.1.1. Основные свойства групп  1.1.2. Подгруппы  1.1.3. Классы смежности и теорема Лагранжа  1.1.4. Нормальные подгруппы  1.1.5. Факторгруппа  1.1.6. Групповые гомоморфизмы  1.1.7. Теорема Силова  1.1.8. Введение в свободные группы  1.1.9. Что такое групповые действия?  1.1.10. Простые и разрешимые группы  1.2. Теория колец  1.2.1. Кольца и идеалы  1.2.2. Введение в гомоморфизмы колец  1.2.3. Кольца многочленов  1.2.4. Области главных идеалов  1.2.5. Уникальные области факторизации  1.2.6. Нетеровы кольца  1.2.7. Артиниевы кольца  1.3. Теория полей  1.3.1. Расширения полей  1.3.2. Деление области  1.3.3. Теория Галуа  1.3.4. Алгебраическое замыкание в теории полей  1.3.5. Конечные поля  1.3.6. Трансцендентальное расширение  1.4. Теория модулей  1.4.1. Модули над кольцами  1.4.2. Свободные модули  1.4.3. Гомоморфизм модуля  1.4.4. Простые и полупростые модули  1.4.5. Проективные модули  1.4.6. Инъективные модули  1.5. Линейная алгебра  1.5.1. Векторное пространство  1.5.2. Линейные преобразования  1.5.3. Понимание собственных чисел и собственных векторов  1.5.4. Каноническая форма  1.5.5. Пространство с внутренним произведением  1.5.6. Теорема о спектральном расщеплении  1.5.7. Разложение по сингулярным значениям
  2. Понимание математического анализа  2.1. Реальный анализ  2.1.1. Действительные числа и полнота  2.1.2. Введение в последовательности и ряды  2.1.3. Непрерывность в теории действительных чисел  2.1.4. Дифференцирование в действительном анализе  2.1.5. Интегрирование по Риману  2.1.6. Введение в метрические пространства  2.1.7. Мера Лебега  2.2. Комплексный анализ  2.2.1. Комплексные числа  2.2.2. Аналитические функции  2.2.3. Контурная интеграция  2.2.4. Теорема Коши  2.2.5. Теорема о вычетах  2.2.6. Конформное отображение  2.3. Функциональный анализ  2.3.1. Понимание стандартных пространств  2.3.2. Введение в пространство БАНАХА  2.3.3. Пространства Гильберта  2.3.4. Линейные операторы  2.3.5. Спектральная теория  2.3.6. Компактные операторы  2.4. Теория меры  2.4.1. Сигма алгебра  2.4.2. Измерение и интегралы в теории меры  2.4.3. Интегрирование по Лебегу  2.4.4. Теорема о сходимости  2.4.5. Теорема Фубини  2.5. Гармонический анализ  2.5.1. Ряд Фурье  2.5.2. Преобразование Фурье  2.5.3. Теория распределений  2.5.4. Вейвлеты
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Непрерывность  3.1.3. Введение в компактность  3.1.4. Связность в общей топологии  3.1.5. Метрика топология  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Фундаментальная группа  3.2.2. Теория гомотопий  3.2.3. Теория гомологии  3.2.4. Когомология  3.2.5. Точная последовательность  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Гладкие многообразия  3.3.2. Тангенциальное пространство  3.3.3. Векторные поля  3.3.4. Понимание дифференциальных форм
  4. Геометрия  4.1. Дифференциальная геометрия  4.1.1. Кривые и поверхности в дифференциальной геометрии  4.1.2. Риманова геометрия  4.1.3. Понимание геодезических линий в дифференциальной геометрии  4.1.4. Кривизна  4.2. Алгебраическая геометрия  4.2.1. Аффинные и проективные многообразия  4.2.2. Планы  4.2.3. Разделители и пересечения  4.2.4. Когомология в алгебраической геометрии  4.3. Вычислительная геометрия  4.3.1. Введение в выпуклые оболочки в вычислительной геометрии  4.3.2. Триангуляция  4.3.3. Диаграмма Вороного  4.3.4. Геометрические алгоритмы
  5. Теория чисел  5.1. Элементарная теория чисел  5.1.1. Делимость в элементарной теории чисел  5.1.2. Сравнимость в элементарной теории чисел  5.1.3. Модульная арифметика  5.2. Аналитическая теория чисел  5.2.1. Теорема о распределении простых чисел  5.2.2. Ряды Дирихле  5.2.3. Зета и L-функции  5.3. Алгебраическая теория чисел  5.3.1. Числовые поля  5.3.2. Введение в идеалы в алгебраической теории чисел  5.3.3. Классы групп в алгебраической теории чисел  5.3.4. Представление Галуа
  6. Товарищество  6.1. Вычислительная комбинаторика  6.1.1. Функция-генератор  6.1.2. Рекуррентные соотношения  6.1.3. Перестановка и сочетание  6.2. Теория графов  6.2.1. Изоморфизм графов  6.2.2. Плоскостность в теории графов  6.2.3. Окраска графов  6.3. Экстремальная комбинаторика  6.3.1. Теория Рамсея  6.3.2. Вероятностные методы в экстремальной комбинаторике  6.4. Алгебраическая комбинаторика  6.4.1. Методы матриц в алгебраической комбинаторике  6.4.2. Теория представлений
  7. Аргументы и основания  7.1. Теория множеств  7.1.1. Аксиомы Цермело-Френкеля  7.1.2. Порядковые и кардинальные числа  7.2. Введение в теорию моделей  7.2.1. Структуры и теории в теории моделей  7.2.2. Теорема компактности  7.3. Теория доказательств  7.3.1. Формальные системы  7.3.2. Согласованность и полнота
  8. Вероятность и статистика  8.1. Теория вероятностей  8.1.1. Случайные величины  8.1.2. Ожидание и вариация  8.1.3. Центральная предельная теорема  8.2. Стохастические процессы  8.2.1. Марковские цепи  8.2.2. Броуновское движение  8.3. Статистическое заключение  8.3.1. Тестирование гипотез  8.3.2. Регрессионный анализ
  9. Прикладная математика  9.1. Численный анализ в прикладной математике  9.1.1. Итеративные методы  9.1.2. Интерполяция  9.1.3. Анализ ошибок  9.2. Уравнения в частных производных  9.2.1. Эллиптическое уравнение  9.2.2. Параболическое уравнение  9.2.3. Гиперболические уравнения  9.3. Динамические системы  9.3.1. Теория хаоса  9.3.2. Анализ устойчивости в динамических системах

Докторантура → Товарищество → Вычислительная комбинаторика ↓


Перестановка и сочетание


Перестановки и комбинации являются основными понятиями в мире математики, особенно в области комбинаторики. Они помогают нам понять, как логически считать и организовывать данные. Эти концепции особенно полезны для решения задач, где нам нужно определить все возможные расположения или выборы данного элемента.

Давайте углубимся в эти концепции, начиная с базового понимания, прежде чем перейти к более сложным сценариям.

Основные определения

Перестановка

Перестановка заключается в расположении элементов в определенном порядке. Порядок в перестановке важен, потому что изменение порядка элементов приведет к другой перестановке. Например, рассмотрим набор букв {A, B, C}. Различные перестановки этих букв следующие:

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA

Расположение "BAC" отличается от "ACB", потому что порядок букв изменен.

Сочетание

Сочетание относится к выбору элементов без учета порядка. Важно только то, какие элементы выбраны, а не их порядок. Например, используя тот же набор букв {A, B, C}, различные комбинации двух букв следующие:

AB, AC, BC

Здесь, "AB" то же самое, что и "BA", поскольку порядок в комбинациях не имеет значения.

Математическое представление перестановок и сочетаний

Формула перестановки

Формула для подсчета количества перестановок 'n' различных элементов, выбираемых по 'r' за раз, следующая:

P(n, r) = n! / (n - r)!

Где 'n!' (факториал n) представляет собой произведение всех положительных целых чисел до 'n'. Например, если у вас есть 5 различных книг и вы хотите расположить 3 из них на полке, вы можете рассчитать количество перестановок следующим образом:

P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5 × 4 × 3 = 60

Формулы комбинаций

Формула для подсчета комбинаций 'n' различных элементов, выбираемых по 'r' за раз, следующая:

C(n, r) = n! / (r! × (n - r)!)

Используя тот же пример с книгами, если вы хотите выбрать 3 книги из 5 без учета порядка, количество комбинаций будет:

C(5, 3) = 5! / (3! × (5-3)!) = 10

Визуальный пример

Перестановки {A, B, C}

ABC ACB BAC BCA Cab CBA

Сочетания из {A, B, C} (выберите 2)

Now AC BC

Примеры в реальных сценариях

Перестановки в реальной жизни

  • Упорядочение мест: Представьте, что вы устраиваете ужин и у вас 8 гостей. Вы хотите узнать, сколькими различными способами можно рассадить их за круглым столом. Это задача на перестановку, потому что порядок, в котором гости сидят, важен.
  • Пароли и коды: Допустим, вы создаете 4-значный цифровой пароль. Если мы используем цифры от 0 до 9, количество возможных паролей является перестановкой 10 цифр, из которых выбираются 4 за раз.

Сочетания в реальной жизни

  • Лотерейные игры: Во многих лотереях игроки выбирают набор чисел. Порядок не имеет значения, поэтому это задача на сочетание.
  • Выбор комитета: Если у вас есть клуб из 10 человек и вам нужно выбрать комитет из 3 человек, это задача на сочетание, потому что порядок выбора не имеет значения.

Более сложные темы

Перестановки с повторениями

В некоторых задачах, возможно, придется учитывать повторение элементов. Формула для перестановки с повторением такая:

n^r

Где 'n' — количество вещей, из которых выбирают, а 'r' — количество вещей, которые вы хотите выбрать. Например, если у вас есть 3 различных вкуса мороженого и вы хотите сделать рожок с двумя шариками, где вкусы могут повторяться, рассчитайте это так:

3^2 = 9

Различные перестановки будут включать: ваниль-ваниль, ваниль-шоколад, ваниль-клубника и т. д.

Сочетания с повторениями

В сочетаниях, если повторение разрешено, ситуация становится немного сложнее. Формула для сочетаний с повторением такая:

C(n + r - 1, r) = (n + r - 1)! / (r! × (n - 1)!)

Предположим, вы выбираете 3 шарика мороженого из 3 вкусов, и вкусы могут повторяться. Количество комбинаций будет:

C(3 + 3 - 1, 3) = 10

Применения в компьютерных науках

Перестановки и комбинации — это не просто абстрактные математические концепции; они необходимы для алгоритмов и структур данных в компьютерных науках. Например:

  • Алгоритмы поиска: Поиск различных путей или последовательностей часто включает генерацию перестановок или комбинаций шагов.
  • Криптография: Безопасные системы полагаются на огромное количество доступных перестановок для безопасного шифрования данных.

Заключение

Понимание перестановок и комбинаций важно для всех, кто занимается математикой, информатикой или любой другой областью, требующей аналитических навыков решения проблем. Эти концепции позволяют нам тщательно и вдумчиво решать сложные задачи. Через практику и применение в реальных сценариях можно оценить их универсальность и важную роль в аналитических темах.


Докторантура → 6.1.3


U
username
0%
завершено в Докторантура

← предыдущая (6.1.2)
Рекуррентные соотношения
следующая (6.2) →
Теория графов

комментарии 



Перестановка и сочетание

https://www.buddymath.com/phd/6.1.3?bmal=ru