Doutorado
  1. Compreendendo Álgebra  1.1. Teoria dos grupos  1.1.1. Propriedades básicas dos grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Classes laterais e o teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normais  1.1.5. Grupo quociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introdução aos grupos livres  1.1.9. O que são atividades em grupo?  1.1.10. Grupos simples e solucionáveis  1.2. Teoria dos anéis  1.2.1. Anéis e ideais  1.2.2. Introdução aos homomorfismos de anéis  1.2.3. Aneis polinomiais  1.2.4. Domínios de ideais principais  1.2.5. Domínios de Fatoração Única  1.2.6. Anéis noetherianos  1.2.7. Anéis Artinianos  1.3. Teoria dos Campos  1.3.1. Extensões de corpos  1.3.2. Divisão de área  1.3.3. Teoria de Galois  1.3.4. Fechamento algébrico na teoria dos corpos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensão transcendental  1.4. Teoria dos módulos  1.4.1. Módulos sobre anéis  1.4.2. Módulos livres  1.4.3. Homomorfismo de módulo  1.4.4. Módulos simples e semi-simples  1.4.5. Módulos projetivos  1.4.6. Módulos Injetivos  1.5. Álgebra linear  1.5.1. Espaço vetorial  1.5.2. Transformações lineares  1.5.3. Entendendo Autovalores e Autovetores  1.5.4. Forma canônica  1.5.5. Espaço de produto interno  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Decomposição em valores singulares
  2. Compreendendo a Análise Matemática  2.1. Análise real  2.1.1. Números reais e completude  2.1.2. Introdução a sequências e séries  2.1.3. Continuidade em análise real  2.1.4. Diferenciação em análise real  2.1.5. Integração de Riemann  2.1.6. Introdução aos espaços métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análise Complexa  2.2.1. Números complexos  2.2.2. Funções analíticas  2.2.3. Integração de contorno  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema do Resíduo  2.2.6. Mapeamento conformal  2.3. Análise Funcional  2.3.1. Compreendendo locais padrão  2.3.2. Introdução aos espaços de Banach  2.3.3. Espaços de Hilbert  2.3.4. Operadores lineares  2.3.5. Teoria espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoria da Medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medição e integrais na teoria da medida  2.4.3. Integração de Lebesgue  2.4.4. Teorema da Convergência  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análise Harmônica  2.5.1. Séries de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoria da distribuição  2.5.4. Wavelets
  3. Topologia  3.1. Topologia geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Continuidade  3.1.3. Introdução à compacidade  3.1.4. Conectividade na topologia geral  3.1.5. Topologia métrica  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoria da homotopia  3.2.3. Teoria da homologia  3.2.4. Cohomologia  3.2.5. Sequência exata  3.3. Topologia diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espaço tangente  3.3.3. Campos vetoriais  3.3.4. Compreendendo Formas Diferenciais
  4. Geometria  4.1. Geometria diferencial  4.1.1. Curvas e superfícies na geometria diferencial  4.1.2. Geometria Riemanniana  4.1.3. Compreendendo geodésicas na geometria diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometria algébrica  4.2.1. Variedades afins e projetivas  4.2.2. Planos  4.2.3. Separadores e interseções  4.2.4. Cohomologia na geometria algébrica  4.3. Geometria Computacional  4.3.1. Introdução às coberturas convexas na geometria computacional  4.3.2. Triangulação  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoria dos números  5.1. Teoria dos números elementar  5.1.1. Divisibilidade na teoria elementar dos números  5.1.2. Congruência na teoria dos números elementar  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoria analítica dos números  5.2.1. Teorema dos números primos  5.2.2. Séries de Dirichlet  5.2.3. Zeta e funções L  5.3. Teoria dos números algébricos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introdução aos ideais na teoria algébrica dos números  5.3.3. Grupos de classes em teoria algébrica dos números  5.3.4. Representação de Galois
  6. Companhia  6.1. Combinatória computacional  6.1.1. Função Geradora  6.1.2. Relação de recorrência  6.1.3. Permanência e combinação  6.2. Teoria dos grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planaridade em teoria dos grafos  6.2.3. Coloração de grafos  6.3. Combinatória extrema  6.3.1. Teoria de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos em combinatória extrema  6.4. Combinatória algébrica  6.4.1. Métodos de matrizes em combinatória algébrica  6.4.2. Teoria da Representação
  7. Argumentos e fundamentos  7.1. Teoria dos conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinais e cardinais  7.2. Introdução à teoria dos modelos  7.2.1. Estruturas e teorias na teoria dos modelos  7.2.2. Teorema da compacidade  7.3. Teoria da prova  7.3.1. Sistemas formais  7.3.2. Consistência e completude
  8. Probabilidade e Estatística  8.1. Teoria da probabilidade  8.1.1. Variáveis aleatórias  8.1.2. Expectativa e variação  8.1.3. Teorema do limite central  8.2. Processos estocásticos  8.2.1. Cadeias de Markov  8.2.2. Movimento browniano  8.3. Inferência estatística  8.3.1. Teste de hipóteses  8.3.2. Análise de regressão
  9. Matemática aplicada  9.1. Análise numérica em matemática aplicada  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolação  9.1.3. Análise de erros  9.2. Equações diferenciais parciais  9.2.1. Equação elíptica  9.2.2. Equação parabólica  9.2.3. Equações hiperbólicas  9.3. Sistemas dinâmicos  9.3.1. Teoria do Caos  9.3.2. Análise de estabilidade em sistemas dinâmicos

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Permanência e combinação


Permanência e combinações são conceitos fundamentais no mundo da matemática, especialmente no campo da combinatória. Eles nos ajudam a entender como contar e organizar dados de forma lógica. Esses conceitos são particularmente úteis para resolver problemas onde precisamos determinar todos os possíveis arranjos ou seleções de um dado item.

Vamos nos aprofundar nesses conceitos, começando com a compreensão básica antes de passar para cenários mais complexos.

Definições básicas

Permanência

Permanência é organizar elementos em uma ordem específica. A ordem na permanência é importante porque mudar a ordem dos elementos resultará em uma permanência diferente. Por exemplo, considere um conjunto de letras {A, B, C}. As diferentes permanências dessas letras são as seguintes:

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA

O arranjo "BAC" é diferente de "ACB" porque a ordem das letras é alterada.

Combinação

Combinação refere-se à seleção de elementos sem considerar a ordem. Apenas a seleção de elementos importa, não sua ordem. Por exemplo, usando o mesmo conjunto de letras {A, B, C}, as diferentes combinações de duas letras são as seguintes:

AB, AC, BC

Aqui, "AB" é o mesmo que "BA", porque a ordem nas combinações não importa.

Representação matemática de permanências e combinações

Fórmula de permanência

A fórmula para contar o número de permanências de 'n' elementos distintos, tomando-se 'r' de cada vez, é a seguinte:

P(n, r) = n! / (n - r)!

Onde 'n!' (fatorial de n) representa o produto de todos os inteiros positivos até 'n'. Por exemplo, se você tem 5 livros diferentes e quer arranjar 3 deles em uma prateleira, pode calcular o número de permanências da seguinte maneira:

P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5 × 4 × 3 = 60

Fórmulas de combinação

A fórmula para contar as combinações de 'n' elementos diferentes, tomando-se 'r' de cada vez, é a seguinte:

C(n, r) = n! / (r! × (n - r)!)

Usando o mesmo exemplo de livros, se você quiser escolher 3 livros de um total de 5 sem considerar a ordem, o número de combinações será:

C(5, 3) = 5! / (3! × (5-3)!) = 10

Exemplo visual

Permanências de {A, B, C}

ABC ACB BAC BCA Cab CBA

Combinação de {A, B, C} (escolher 2)

Now AC BC

Exemplos em cenários do mundo real

Permanências na vida real

  • Arranjo de assentos: Imagine que você está organizando um jantar e tem 8 convidados. Você quer saber de quantas maneiras diferentes pode organizá-los ao redor de uma mesa redonda. Este é um problema de permanência porque a ordem em que os convidados se sentam importa.
  • Senhas e códigos: Suponha que você está criando uma senha numérica de 4 dígitos. Se usarmos os dígitos de 0 a 9, o número de senhas possíveis é uma permanência de 10 dígitos, dos quais 4 são tomados de cada vez.

Combinações na vida real

  • Jogos de loteria: Em muitos jogos de loteria, os jogadores escolhem um conjunto de números. A ordem não importa, por isso este é um problema de combinação.
  • Seleção de comitê: Se você tem um clube com 10 membros e precisa selecionar um comitê de 3 membros, este é um problema de combinação, pois a ordem de seleção não importa.

Tópicos mais avançados

Permanências com repetições

Em alguns problemas, pode ser necessário levar em conta a repetição de elementos. A fórmula para permutação com repetição é:

n^r

Onde 'n' é o número de coisas para escolher e 'r' é o número de coisas que você quer escolher. Por exemplo, se você tem 3 sabores diferentes de sorvete e quer fazer um cone de 2 bolas onde os sabores podem ser repetidos, você calcula assim:

3^2 = 9

Diferentes permanências incluirão: baunilha-baunilha, baunilha-chocolate, baunilha-morango, etc.

Combinações com repetição

Nas combinações, se a repetição for permitida, a situação torna-se um pouco mais complicada. A fórmula para combinações com repetição é dada da seguinte maneira:

C(n + r - 1, r) = (n + r - 1)! / (r! × (n - 1)!)

Suponha que você está escolhendo 3 bolas de sorvete dentre 3 sabores, e os sabores podem ser repetidos. O número de combinações é:

C(3 + 3 - 1, 3) = 10

Aplicações em ciência da computação

Permanências e combinações não são apenas conceitos matemáticos abstratos; são essenciais para algoritmos e estruturas de dados em ciência da computação. Por exemplo:

  • Algoritmos de busca: Encontrar diferentes caminhos ou sequências geralmente envolve gerar permanências ou combinações de passos.
  • Criptografia: Sistemas seguros dependem do vasto número de permutações disponíveis para criptografar dados com segurança.

Conclusão

Compreender permanências e combinações é importante para qualquer pessoa que ingresse em matemática, ciência da computação ou qualquer campo que exija habilidades analíticas de resolução de problemas. Esses conceitos nos permitem resolver problemas complexos com diligência e reflexão. Através da prática e aplicação em cenários do mundo real, pode-se apreciar sua versatilidade e papel importante em tópicos analíticos.


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