Докторантура
  1. Понимание алгебры  1.1. Теория групп  1.1.1. Основные свойства групп  1.1.2. Подгруппы  1.1.3. Классы смежности и теорема Лагранжа  1.1.4. Нормальные подгруппы  1.1.5. Факторгруппа  1.1.6. Групповые гомоморфизмы  1.1.7. Теорема Силова  1.1.8. Введение в свободные группы  1.1.9. Что такое групповые действия?  1.1.10. Простые и разрешимые группы  1.2. Теория колец  1.2.1. Кольца и идеалы  1.2.2. Введение в гомоморфизмы колец  1.2.3. Кольца многочленов  1.2.4. Области главных идеалов  1.2.5. Уникальные области факторизации  1.2.6. Нетеровы кольца  1.2.7. Артиниевы кольца  1.3. Теория полей  1.3.1. Расширения полей  1.3.2. Деление области  1.3.3. Теория Галуа  1.3.4. Алгебраическое замыкание в теории полей  1.3.5. Конечные поля  1.3.6. Трансцендентальное расширение  1.4. Теория модулей  1.4.1. Модули над кольцами  1.4.2. Свободные модули  1.4.3. Гомоморфизм модуля  1.4.4. Простые и полупростые модули  1.4.5. Проективные модули  1.4.6. Инъективные модули  1.5. Линейная алгебра  1.5.1. Векторное пространство  1.5.2. Линейные преобразования  1.5.3. Понимание собственных чисел и собственных векторов  1.5.4. Каноническая форма  1.5.5. Пространство с внутренним произведением  1.5.6. Теорема о спектральном расщеплении  1.5.7. Разложение по сингулярным значениям
  2. Понимание математического анализа  2.1. Реальный анализ  2.1.1. Действительные числа и полнота  2.1.2. Введение в последовательности и ряды  2.1.3. Непрерывность в теории действительных чисел  2.1.4. Дифференцирование в действительном анализе  2.1.5. Интегрирование по Риману  2.1.6. Введение в метрические пространства  2.1.7. Мера Лебега  2.2. Комплексный анализ  2.2.1. Комплексные числа  2.2.2. Аналитические функции  2.2.3. Контурная интеграция  2.2.4. Теорема Коши  2.2.5. Теорема о вычетах  2.2.6. Конформное отображение  2.3. Функциональный анализ  2.3.1. Понимание стандартных пространств  2.3.2. Введение в пространство БАНАХА  2.3.3. Пространства Гильберта  2.3.4. Линейные операторы  2.3.5. Спектральная теория  2.3.6. Компактные операторы  2.4. Теория меры  2.4.1. Сигма алгебра  2.4.2. Измерение и интегралы в теории меры  2.4.3. Интегрирование по Лебегу  2.4.4. Теорема о сходимости  2.4.5. Теорема Фубини  2.5. Гармонический анализ  2.5.1. Ряд Фурье  2.5.2. Преобразование Фурье  2.5.3. Теория распределений  2.5.4. Вейвлеты
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Непрерывность  3.1.3. Введение в компактность  3.1.4. Связность в общей топологии  3.1.5. Метрика топология  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Фундаментальная группа  3.2.2. Теория гомотопий  3.2.3. Теория гомологии  3.2.4. Когомология  3.2.5. Точная последовательность  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Гладкие многообразия  3.3.2. Тангенциальное пространство  3.3.3. Векторные поля  3.3.4. Понимание дифференциальных форм
  4. Геометрия  4.1. Дифференциальная геометрия  4.1.1. Кривые и поверхности в дифференциальной геометрии  4.1.2. Риманова геометрия  4.1.3. Понимание геодезических линий в дифференциальной геометрии  4.1.4. Кривизна  4.2. Алгебраическая геометрия  4.2.1. Аффинные и проективные многообразия  4.2.2. Планы  4.2.3. Разделители и пересечения  4.2.4. Когомология в алгебраической геометрии  4.3. Вычислительная геометрия  4.3.1. Введение в выпуклые оболочки в вычислительной геометрии  4.3.2. Триангуляция  4.3.3. Диаграмма Вороного  4.3.4. Геометрические алгоритмы
  5. Теория чисел  5.1. Элементарная теория чисел  5.1.1. Делимость в элементарной теории чисел  5.1.2. Сравнимость в элементарной теории чисел  5.1.3. Модульная арифметика  5.2. Аналитическая теория чисел  5.2.1. Теорема о распределении простых чисел  5.2.2. Ряды Дирихле  5.2.3. Зета и L-функции  5.3. Алгебраическая теория чисел  5.3.1. Числовые поля  5.3.2. Введение в идеалы в алгебраической теории чисел  5.3.3. Классы групп в алгебраической теории чисел  5.3.4. Представление Галуа
  6. Товарищество  6.1. Вычислительная комбинаторика  6.1.1. Функция-генератор  6.1.2. Рекуррентные соотношения  6.1.3. Перестановка и сочетание  6.2. Теория графов  6.2.1. Изоморфизм графов  6.2.2. Плоскостность в теории графов  6.2.3. Окраска графов  6.3. Экстремальная комбинаторика  6.3.1. Теория Рамсея  6.3.2. Вероятностные методы в экстремальной комбинаторике  6.4. Алгебраическая комбинаторика  6.4.1. Методы матриц в алгебраической комбинаторике  6.4.2. Теория представлений
  7. Аргументы и основания  7.1. Теория множеств  7.1.1. Аксиомы Цермело-Френкеля  7.1.2. Порядковые и кардинальные числа  7.2. Введение в теорию моделей  7.2.1. Структуры и теории в теории моделей  7.2.2. Теорема компактности  7.3. Теория доказательств  7.3.1. Формальные системы  7.3.2. Согласованность и полнота
  8. Вероятность и статистика  8.1. Теория вероятностей  8.1.1. Случайные величины  8.1.2. Ожидание и вариация  8.1.3. Центральная предельная теорема  8.2. Стохастические процессы  8.2.1. Марковские цепи  8.2.2. Броуновское движение  8.3. Статистическое заключение  8.3.1. Тестирование гипотез  8.3.2. Регрессионный анализ
  9. Прикладная математика  9.1. Численный анализ в прикладной математике  9.1.1. Итеративные методы  9.1.2. Интерполяция  9.1.3. Анализ ошибок  9.2. Уравнения в частных производных  9.2.1. Эллиптическое уравнение  9.2.2. Параболическое уравнение  9.2.3. Гиперболические уравнения  9.3. Динамические системы  9.3.1. Теория хаоса  9.3.2. Анализ устойчивости в динамических системах

Докторантура → Теория чисел ↓


Алгебраическая теория чисел


Алгебраическая теория чисел — это раздел теории чисел, использующий методы абстрактной алгебры для изучения целых чисел, рациональных чисел и их обобщений. Она стала основополагающей областью в высшей математике благодаря своей значимости в решении классических задач и применениям в современных областях, таких как криптография, кодирование и другие.

Основные понятия и определения

Прежде чем углубляться в алгебраическую теорию чисел, давайте разберемся с некоторыми основными терминами и понятиями:

Числовые поля

Числовое поле — это конечное расширение поля рациональных чисел ℚ. Проще говоря, это большое множество чисел, включающее рациональные числа и замкнутое относительно сложения, вычитания, умножения и деления. Числовые поля часто обозначаются как K

Алгебраические числа

Алгебраическое число — это число, являющееся корнем ненулевого многочленного уравнения с рациональными коэффициентами. Например, решения уравнения x^2 - 2 = 0 — это √2 и -√2, оба из которых являются алгебраическими числами.

Кольцо целых чисел

В рамках числового поля важным подмножеством является кольцо целых чисел, обозначаемое ℤ K. Этот набор обобщает обычные целые числа в контексте числового поля. Он важен для понимания свойств разложения на множители и делимости.

Целые числа и факторизация

Факторизация играет важную роль в алгебраической теории чисел. В отличие от рациональных целых чисел, целые числа в числовых полях не всегда имеют уникальное разложение на простые множители. Это приводит к множеству интересных задач и структур.

Пример: Факторизация в гауссовы целые числа

Рассмотрим гауссовы целые числа, которые являются комплексными числами вида a + bi, где a, b — целые числа, а i — мнимая единица. Например, число 5 может быть уникально разложено на множители 5 различными способами:

5 = (2 + i)(2 – i)
5 = (1 + 2i)(1 – 2i)

Здесь множители являются гауссовыми целыми числами, и каждое разложение можно рассматривать как "простое" разложение в гауссовы целые числа, что указывает на отсутствие уникальной факторизации.

Сумма двух квадратов

Алгебраическая теория чисел также предоставляет инструменты для решения классических задач, таких как вопрос, какие целые числа могут быть выражены в виде суммы двух квадратов. Оказывается, что целое число n может быть выражено в виде суммы двух квадратов, если для каждого простого p, делящего n и p ≡ 3 (mod 4), показатель простого p в разложении числа n на простые множители четен.

Идеалы и уникальная факторизация

Для решения проблемы уникальной факторизации алгебраическая теория чисел вводит понятие идеалов. Идеал — это подмножество кольца, обобщающее понятие чисел, "равномерно делящихся" на другие числа.

Простые идеалы

Идеал называется простым, если произведение двух элементов, находящихся в идеале, имеет хотя бы один из этих элементов в идеале. Уникальная факторизация идеалов сохраняется, в отличие от элементов кольца, что предоставляет мощный инструмент для анализа.

Классовые группы и единицы

Классовые группы и теория единиц составляют основу для изучения арифметики числовых полей.

Классовая группа

Классовая группа — это алгебраическая структура, измеряющая нарушение уникальной факторизации в кольце целых чисел числового поля. Она классифицирует все идеалы кольца на классы эквивалентных идеалов.

Единицы

Единицы кольца — это его элементы, имеющие мультипликативные обратные. Описание структуры группы единиц кольца целых чисел числового поля является центральной задачей в алгебраической теории чисел.

Применение

Алгебраическая теория чисел имеет важные приложения:

  • Криптография: Системы шифрования RSA и криптография на эллиптических кривых основываются на алгебраической теории чисел.
  • Кодирование: Помогает в обнаружении и исправлении ошибок при передаче данных.
  • Алгебраическая геометрия: связи с алгебраическими кривыми и многообразиями.

Заключение

Алгебраическая теория чисел предоставляет увлекательный взгляд на более глубокие структуры, лежащие в основе даже самых простых числовых систем. Несмотря на свою абстрактность, ее реальные приложения и мощные детализированные представления делают эту область активной в исследовательской математике.


Докторантура → 5.3


U
username
0%
завершено в Докторантура

← предыдущая (5.2.3)
Зета и L-функции
следующая (5.3.1) →
Числовые поля

комментарии 



Алгебраическая теория чисел

https://www.buddymath.com/phd/5.3?bmal=ru