Doutorado
  1. Compreendendo Álgebra  1.1. Teoria dos grupos  1.1.1. Propriedades básicas dos grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Classes laterais e o teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normais  1.1.5. Grupo quociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introdução aos grupos livres  1.1.9. O que são atividades em grupo?  1.1.10. Grupos simples e solucionáveis  1.2. Teoria dos anéis  1.2.1. Anéis e ideais  1.2.2. Introdução aos homomorfismos de anéis  1.2.3. Aneis polinomiais  1.2.4. Domínios de ideais principais  1.2.5. Domínios de Fatoração Única  1.2.6. Anéis noetherianos  1.2.7. Anéis Artinianos  1.3. Teoria dos Campos  1.3.1. Extensões de corpos  1.3.2. Divisão de área  1.3.3. Teoria de Galois  1.3.4. Fechamento algébrico na teoria dos corpos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensão transcendental  1.4. Teoria dos módulos  1.4.1. Módulos sobre anéis  1.4.2. Módulos livres  1.4.3. Homomorfismo de módulo  1.4.4. Módulos simples e semi-simples  1.4.5. Módulos projetivos  1.4.6. Módulos Injetivos  1.5. Álgebra linear  1.5.1. Espaço vetorial  1.5.2. Transformações lineares  1.5.3. Entendendo Autovalores e Autovetores  1.5.4. Forma canônica  1.5.5. Espaço de produto interno  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Decomposição em valores singulares
  2. Compreendendo a Análise Matemática  2.1. Análise real  2.1.1. Números reais e completude  2.1.2. Introdução a sequências e séries  2.1.3. Continuidade em análise real  2.1.4. Diferenciação em análise real  2.1.5. Integração de Riemann  2.1.6. Introdução aos espaços métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análise Complexa  2.2.1. Números complexos  2.2.2. Funções analíticas  2.2.3. Integração de contorno  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema do Resíduo  2.2.6. Mapeamento conformal  2.3. Análise Funcional  2.3.1. Compreendendo locais padrão  2.3.2. Introdução aos espaços de Banach  2.3.3. Espaços de Hilbert  2.3.4. Operadores lineares  2.3.5. Teoria espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoria da Medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medição e integrais na teoria da medida  2.4.3. Integração de Lebesgue  2.4.4. Teorema da Convergência  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análise Harmônica  2.5.1. Séries de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoria da distribuição  2.5.4. Wavelets
  3. Topologia  3.1. Topologia geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Continuidade  3.1.3. Introdução à compacidade  3.1.4. Conectividade na topologia geral  3.1.5. Topologia métrica  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoria da homotopia  3.2.3. Teoria da homologia  3.2.4. Cohomologia  3.2.5. Sequência exata  3.3. Topologia diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espaço tangente  3.3.3. Campos vetoriais  3.3.4. Compreendendo Formas Diferenciais
  4. Geometria  4.1. Geometria diferencial  4.1.1. Curvas e superfícies na geometria diferencial  4.1.2. Geometria Riemanniana  4.1.3. Compreendendo geodésicas na geometria diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometria algébrica  4.2.1. Variedades afins e projetivas  4.2.2. Planos  4.2.3. Separadores e interseções  4.2.4. Cohomologia na geometria algébrica  4.3. Geometria Computacional  4.3.1. Introdução às coberturas convexas na geometria computacional  4.3.2. Triangulação  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoria dos números  5.1. Teoria dos números elementar  5.1.1. Divisibilidade na teoria elementar dos números  5.1.2. Congruência na teoria dos números elementar  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoria analítica dos números  5.2.1. Teorema dos números primos  5.2.2. Séries de Dirichlet  5.2.3. Zeta e funções L  5.3. Teoria dos números algébricos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introdução aos ideais na teoria algébrica dos números  5.3.3. Grupos de classes em teoria algébrica dos números  5.3.4. Representação de Galois
  6. Companhia  6.1. Combinatória computacional  6.1.1. Função Geradora  6.1.2. Relação de recorrência  6.1.3. Permanência e combinação  6.2. Teoria dos grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planaridade em teoria dos grafos  6.2.3. Coloração de grafos  6.3. Combinatória extrema  6.3.1. Teoria de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos em combinatória extrema  6.4. Combinatória algébrica  6.4.1. Métodos de matrizes em combinatória algébrica  6.4.2. Teoria da Representação
  7. Argumentos e fundamentos  7.1. Teoria dos conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinais e cardinais  7.2. Introdução à teoria dos modelos  7.2.1. Estruturas e teorias na teoria dos modelos  7.2.2. Teorema da compacidade  7.3. Teoria da prova  7.3.1. Sistemas formais  7.3.2. Consistência e completude
  8. Probabilidade e Estatística  8.1. Teoria da probabilidade  8.1.1. Variáveis aleatórias  8.1.2. Expectativa e variação  8.1.3. Teorema do limite central  8.2. Processos estocásticos  8.2.1. Cadeias de Markov  8.2.2. Movimento browniano  8.3. Inferência estatística  8.3.1. Teste de hipóteses  8.3.2. Análise de regressão
  9. Matemática aplicada  9.1. Análise numérica em matemática aplicada  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolação  9.1.3. Análise de erros  9.2. Equações diferenciais parciais  9.2.1. Equação elíptica  9.2.2. Equação parabólica  9.2.3. Equações hiperbólicas  9.3. Sistemas dinâmicos  9.3.1. Teoria do Caos  9.3.2. Análise de estabilidade em sistemas dinâmicos

Doutorado → Teoria dos números ↓


Teoria dos números algébricos


A teoria dos números algébricos é um ramo da teoria dos números que utiliza as técnicas da álgebra abstrata para estudar inteiros, números racionais e suas generalizações. Tornou-se um campo fundamental na matemática avançada devido à sua relevância na resolução de problemas clássicos e suas aplicações em campos modernos como criptografia, codificação e além.

Conceitos e definições básicas

Antes de mergulhar mais fundo na teoria dos números algébricos, vamos entender alguns termos e conceitos básicos:

Corpos numéricos

Um corpo numérico é uma extensão de corpo de grau finito dos números racionais ℚ. Em termos simples, é um grande conjunto de números que inclui os números racionais e é fechado sob adição, subtração, multiplicação e divisão. Os corpos numéricos são frequentemente denotados como K

Números algébricos

Um número algébrico é um número que é raiz de uma equação polinomial não-nula com coeficientes racionais. Por exemplo, as soluções de x^2 - 2 = 0 são √2 e -√2, ambas são números algébricos.

Anel de inteiros

Dentro do corpo numérico, um subconjunto importante é o anel de inteiros, denotado ℤ K. Este conjunto generaliza os inteiros ordinários no contexto do corpo numérico. É importante na compreensão das propriedades de fatoração e divisibilidade.

Inteiros e fatoração

A fatoração desempenha um papel importante na teoria dos números algébricos. Ao contrário dos inteiros racionais, os inteiros em corpos numéricos nem sempre têm fatoração primária única. Isso leva a muitos problemas e estruturas interessantes.

Exemplo: Fatoração em inteiros Gaussianos

Considere os inteiros Gaussianos, que são números complexos da forma a + bi onde a, b são inteiros e i é a unidade imaginária. Por exemplo, pode ser unicamente dividido de 5 maneiras diferentes:

5 = (2 + i)(2 – i)
5 = (1 + 2i)(1 – 2i)

Aqui, os fatores são inteiros Gaussianos, e cada fatoração pode ser considerada como um "primo" nos inteiros Gaussianos, indicando a falta de uma fatoração única.

Soma de dois quadrados

A teoria dos números algébricos também fornece ferramentas para resolver problemas clássicos, como quais inteiros podem ser expressos como soma de dois quadrados. Acontece que um inteiro n pode ser expresso como soma de dois quadrados se, para todo primo p que divide n e p ≡ 3 (mod 4), o expoente de p na fatoração prima de n é par.

Ideais e fatoração única

Para solucionar o problema da fatoração única, a teoria dos números algébricos introduz ideais. Um ideal é um subconjunto de um anel que generaliza a noção de números sendo "uniformemente divisíveis" por outros números.

Ideal primo

Um ideal é primo se o produto de dois elementos que estão no ideal tem pelo menos um desses elementos no ideal. A fatoração única de ideais é mantida, ao contrário dos elementos de um anel, o que fornece uma ferramenta poderosa para análise.

Grupos de classe e unidades

Grupos de classe e teoria das unidades formam a base do estudo da aritmética dos corpos numéricos.

Grupo de classe

O grupo de classe é uma estrutura algébrica que mede a falha da fatoração única no anel de inteiros de um corpo numérico. Ele classifica todos os ideais do anel em classes de ideais equivalentes.

Unidades

As unidades de um anel são seus elementos que possuem inversos multiplicativos. Descrever a estrutura do grupo das unidades do anel de inteiros de um corpo numérico é um problema central na teoria dos números algébricos.

Aplicação

Há aplicações profundas da teoria dos números algébricos:

  • Criptografia: O sistema de criptografia RSA e a criptografia de curvas elípticas são baseados na teoria dos números algébricos.
  • Princípios de codificação: Auxilia na detecção e correção de erros na transmissão de dados.
  • Geometria algébrica: conexões com curvas e variedades algébricas.

Conclusão

A teoria dos números algébricos fornece um vislumbre fascinante das estruturas mais profundas subjacentes aos sistemas numéricos mais simples. Por mais abstrata que possa parecer, suas aplicações no mundo real e os insights poderosos que oferece fazem dela uma área vibrante da pesquisa matemática.


Doutorado → 5.3


U
username
0%
concluído em Doutorado

← Anterior (5.2.3)
Zeta e funções L
Próximo (5.3.1) →
Campos numéricos

Comentários 



Teoria dos números algébricos

https://www.buddymath.com/phd/5.3?bmal=pt