Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

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Teoría de números algebraicos


La teoría de números algebraicos es una rama de la teoría de números que utiliza las técnicas del álgebra abstracta para estudiar los enteros, los números racionales y sus generalizaciones. Se ha convertido en un campo fundamental en las matemáticas avanzadas debido a su relevancia en la resolución de problemas clásicos y sus aplicaciones en campos modernos como la criptografía, la codificación y más allá.

Conceptos y definiciones básicas

Antes de profundizar en la teoría de números algebraicos, entendamos algunos términos y conceptos básicos:

Cuerpos numéricos

Un cuerpo numérico es una extensión de campo de grado finito de los números racionales ℚ. En términos simples, es un conjunto grande de números que incluye los números racionales y está cerrado bajo la adición, la sustracción, la multiplicación y la división. Los cuerpos numéricos a menudo se denotan como K

Números algebraicos

Un número algebraico es un número que es raíz de una ecuación polinómica no nula con coeficientes racionales. Por ejemplo, las soluciones de x^2 - 2 = 0 son √2 y -√2, ambos son números algebraicos.

Anillo de enteros

Dentro del cuerpo numérico, un subconjunto importante es el anillo de enteros, denotado ℤ K. Este conjunto generaliza los enteros ordinarios en el contexto del cuerpo numérico. Es importante para entender las propiedades de factorización y divisibilidad.

Enteros y factorización

La factorización juega un papel importante en la teoría de números algebraicos. A diferencia de los enteros racionales, los enteros en cuerpos numéricos no siempre tienen factorización única en primos. Esto lleva a muchos problemas y estructuras interesantes.

Ejemplo: Factorización en enteros gaussianos

Consideremos los enteros gaussianos, que son números complejos de la forma a + bi donde a, b son enteros y i es la unidad imaginaria. Por ejemplo, 5 se puede dividir de forma única en varias maneras:

5 = (2 + i)(2 – i)
5 = (1 + 2i)(1 – 2i)

Aquí, los factores son enteros gaussianos, y cada factorización puede considerarse como un "primo" en los enteros gaussianos, lo que indica la falta de una factorización única.

Suma de dos cuadrados

La teoría de números algebraicos también proporciona herramientas para resolver problemas clásicos como qué enteros pueden expresarse como la suma de dos cuadrados. Resulta que un entero n puede expresarse como la suma de dos cuadrados si para cada primo p que divide n y p ≡ 3 (mod 4), el exponente de p en la factorización prima de n es par.

Ideal y factorización única

Para abordar el problema de la factorización única, la teoría de números algebraicos introduce ideales. Un ideal es un subconjunto de un anillo que generaliza la noción de números que son "divisibles" por otros números.

Ideal primo

Un ideal es primo si el producto de dos elementos que están en el ideal tiene al menos uno de esos elementos en el ideal. La factorización única de ideales se mantiene, a diferencia de los elementos de un anillo, lo que proporciona una herramienta poderosa para el análisis.

Grupos de clases y unidades

Los grupos de clases y la teoría de unidades forman la base del estudio de la aritmética de cuerpos numéricos.

Grupo de clases

El grupo de clases es una estructura algebraica que mide la falla de factorización única en el anillo de enteros de un cuerpo numérico. Clasifica todos los ideales del anillo en clases de ideales equivalentes.

Unidades

Las unidades de un anillo son sus elementos que tienen inversos multiplicativos. Describir la estructura del grupo de unidades del anillo de enteros de un cuerpo numérico es un problema central en la teoría de números algebraicos.

Aplicación

Existen aplicaciones profundas de la teoría de números algebraicos:

  • Criptografía: El sistema de cifrado RSA y la criptografía de curvas elípticas están basados en la teoría de números algebraicos.
  • Principios de codificación: Ayuda en la detección y corrección de errores en la transmisión de datos.
  • Geometría algebraica: conexiones con curvas y variedades algebraicas.

Conclusión

La teoría de números algebraicos proporciona una muestra fascinante de las estructuras más profundas subyacentes en los sistemas numéricos más simples. Por abstracta que pueda parecer, sus aplicaciones en el mundo real y las poderosas ideas que brinda la hacen un área vibrante de investigación matemática.


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