Докторантура
  1. Понимание алгебры  1.1. Теория групп  1.1.1. Основные свойства групп  1.1.2. Подгруппы  1.1.3. Классы смежности и теорема Лагранжа  1.1.4. Нормальные подгруппы  1.1.5. Факторгруппа  1.1.6. Групповые гомоморфизмы  1.1.7. Теорема Силова  1.1.8. Введение в свободные группы  1.1.9. Что такое групповые действия?  1.1.10. Простые и разрешимые группы  1.2. Теория колец  1.2.1. Кольца и идеалы  1.2.2. Введение в гомоморфизмы колец  1.2.3. Кольца многочленов  1.2.4. Области главных идеалов  1.2.5. Уникальные области факторизации  1.2.6. Нетеровы кольца  1.2.7. Артиниевы кольца  1.3. Теория полей  1.3.1. Расширения полей  1.3.2. Деление области  1.3.3. Теория Галуа  1.3.4. Алгебраическое замыкание в теории полей  1.3.5. Конечные поля  1.3.6. Трансцендентальное расширение  1.4. Теория модулей  1.4.1. Модули над кольцами  1.4.2. Свободные модули  1.4.3. Гомоморфизм модуля  1.4.4. Простые и полупростые модули  1.4.5. Проективные модули  1.4.6. Инъективные модули  1.5. Линейная алгебра  1.5.1. Векторное пространство  1.5.2. Линейные преобразования  1.5.3. Понимание собственных чисел и собственных векторов  1.5.4. Каноническая форма  1.5.5. Пространство с внутренним произведением  1.5.6. Теорема о спектральном расщеплении  1.5.7. Разложение по сингулярным значениям
  2. Понимание математического анализа  2.1. Реальный анализ  2.1.1. Действительные числа и полнота  2.1.2. Введение в последовательности и ряды  2.1.3. Непрерывность в теории действительных чисел  2.1.4. Дифференцирование в действительном анализе  2.1.5. Интегрирование по Риману  2.1.6. Введение в метрические пространства  2.1.7. Мера Лебега  2.2. Комплексный анализ  2.2.1. Комплексные числа  2.2.2. Аналитические функции  2.2.3. Контурная интеграция  2.2.4. Теорема Коши  2.2.5. Теорема о вычетах  2.2.6. Конформное отображение  2.3. Функциональный анализ  2.3.1. Понимание стандартных пространств  2.3.2. Введение в пространство БАНАХА  2.3.3. Пространства Гильберта  2.3.4. Линейные операторы  2.3.5. Спектральная теория  2.3.6. Компактные операторы  2.4. Теория меры  2.4.1. Сигма алгебра  2.4.2. Измерение и интегралы в теории меры  2.4.3. Интегрирование по Лебегу  2.4.4. Теорема о сходимости  2.4.5. Теорема Фубини  2.5. Гармонический анализ  2.5.1. Ряд Фурье  2.5.2. Преобразование Фурье  2.5.3. Теория распределений  2.5.4. Вейвлеты
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Непрерывность  3.1.3. Введение в компактность  3.1.4. Связность в общей топологии  3.1.5. Метрика топология  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Фундаментальная группа  3.2.2. Теория гомотопий  3.2.3. Теория гомологии  3.2.4. Когомология  3.2.5. Точная последовательность  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Гладкие многообразия  3.3.2. Тангенциальное пространство  3.3.3. Векторные поля  3.3.4. Понимание дифференциальных форм
  4. Геометрия  4.1. Дифференциальная геометрия  4.1.1. Кривые и поверхности в дифференциальной геометрии  4.1.2. Риманова геометрия  4.1.3. Понимание геодезических линий в дифференциальной геометрии  4.1.4. Кривизна  4.2. Алгебраическая геометрия  4.2.1. Аффинные и проективные многообразия  4.2.2. Планы  4.2.3. Разделители и пересечения  4.2.4. Когомология в алгебраической геометрии  4.3. Вычислительная геометрия  4.3.1. Введение в выпуклые оболочки в вычислительной геометрии  4.3.2. Триангуляция  4.3.3. Диаграмма Вороного  4.3.4. Геометрические алгоритмы
  5. Теория чисел  5.1. Элементарная теория чисел  5.1.1. Делимость в элементарной теории чисел  5.1.2. Сравнимость в элементарной теории чисел  5.1.3. Модульная арифметика  5.2. Аналитическая теория чисел  5.2.1. Теорема о распределении простых чисел  5.2.2. Ряды Дирихле  5.2.3. Зета и L-функции  5.3. Алгебраическая теория чисел  5.3.1. Числовые поля  5.3.2. Введение в идеалы в алгебраической теории чисел  5.3.3. Классы групп в алгебраической теории чисел  5.3.4. Представление Галуа
  6. Товарищество  6.1. Вычислительная комбинаторика  6.1.1. Функция-генератор  6.1.2. Рекуррентные соотношения  6.1.3. Перестановка и сочетание  6.2. Теория графов  6.2.1. Изоморфизм графов  6.2.2. Плоскостность в теории графов  6.2.3. Окраска графов  6.3. Экстремальная комбинаторика  6.3.1. Теория Рамсея  6.3.2. Вероятностные методы в экстремальной комбинаторике  6.4. Алгебраическая комбинаторика  6.4.1. Методы матриц в алгебраической комбинаторике  6.4.2. Теория представлений
  7. Аргументы и основания  7.1. Теория множеств  7.1.1. Аксиомы Цермело-Френкеля  7.1.2. Порядковые и кардинальные числа  7.2. Введение в теорию моделей  7.2.1. Структуры и теории в теории моделей  7.2.2. Теорема компактности  7.3. Теория доказательств  7.3.1. Формальные системы  7.3.2. Согласованность и полнота
  8. Вероятность и статистика  8.1. Теория вероятностей  8.1.1. Случайные величины  8.1.2. Ожидание и вариация  8.1.3. Центральная предельная теорема  8.2. Стохастические процессы  8.2.1. Марковские цепи  8.2.2. Броуновское движение  8.3. Статистическое заключение  8.3.1. Тестирование гипотез  8.3.2. Регрессионный анализ
  9. Прикладная математика  9.1. Численный анализ в прикладной математике  9.1.1. Итеративные методы  9.1.2. Интерполяция  9.1.3. Анализ ошибок  9.2. Уравнения в частных производных  9.2.1. Эллиптическое уравнение  9.2.2. Параболическое уравнение  9.2.3. Гиперболические уравнения  9.3. Динамические системы  9.3.1. Теория хаоса  9.3.2. Анализ устойчивости в динамических системах

Докторантура → Теория чисел → Алгебраическая теория чисел ↓


Представление Галуа


В алгебраической теории чисел и арифметической геометрии изучение представлений Галуа демонстрирует глубокую связь между расширениями полей и линейной алгеброй. Это часть живой области, соприкасающейся с теорией чисел, алгеброй и геометрией. Понимание представлений Галуа помогает математикам решать сложные задачи, связанные с многочленами, числами и симметрией.

Основы теории Галуа

Прежде чем углубиться в представления Галуа, необходимо понять группы Галуа и расширения полей. Группа Галуа связана с многочленом или расширением поля и состоит из алгебраических симметрий — автоморфизмов — этой структуры, которые отображают поля сами на себя, сохраняя сложение, умножение и рациональные коэффициенты.

Рассмотрим многочлен:

x^5 - 2 = 0

Нахождение его корней дает поле разложения, которое является наименьшим расширением поля, в котором многочлен можно полностью разложить. Группа Галуа этого поля показывает, как корни могут быть переставлены.

Расширения полей и автоморфизмы

Понятие расширения поля является основополагающим. Если у вас есть поле K и большее поле L, содержащее K, то L называется расширением K. Автоморфизм — это самоизоморфизм поля; это биекция, которая сохраняет операции поля.

Группа Галуа расширения L/K, обозначаемая Gal(L/K), это группа всех автоморфизмов поля L, которые стабилизируют K

Например, расширения полей:

Q(√2)

Существует автоморфизм, который отображает √2 в -√2. Этот автоморфизм образует группу Галуа из двух элементов - единичного и самого себя.

Понимание представления Галуа

Представление Галуа — это гомоморфизм из группы Галуа расширения поля в общую линейную группу. Чтобы понять это подробнее, рассмотрим группу Галуа Gal(L/K) и векторное пространство V над полем F. Представление Gal(L/K) — это гомоморфизм группы:

ρ: Gal(L/K) → GL(V)

где GL(V) обозначает группу обратимых линейных преобразований векторного пространства V

Пример: циклотомическое поле

Для понимания этой концепции рассмотрим циклотомическое поле. Циклотомическое поле генерируется присоединением примитивного корня единицы к рациональному числу Q. Корни единицы n-й степени порождают такое поле Q(ζ_n).

x^n - 1 = 0

Группа Галуа этого циклотомического поля может быть представлена, например для n = 3, как подгруппа группы перестановок корней: {1, ζ, ζ^2}.

Визуальный пример

Рассмотрим более визуальный пример с корнями единицы:

1ζζ²

Три точки на окружности представляют кубические корни из единицы. Группа Галуа переставляет эти корни, и каждая перестановка может быть выражена через матрицы, действующие на векторах, которые представляют группу.

Линейная алгебра и представления Галуа

Представления групп Галуа глубоко связаны с линейной алгеброй. При построении представлений каждый элемент группы Галуа можно рассматривать как матрицу. Эти матрицы действуют на векторное пространство, отражая различные симметрии корней и структур полей.

Пример: двумерное представление

Рассмотрим двумерное векторное пространство над полем F и группу Галуа G порядка 2, которая может быть представлена как:

G = {e, σ}, где e — это единичный элемент, а σ — нетривиальный автоморфизм.

Представление должно определить следующее:

ρ(e) = I = |1 0| |0 1| ρ(σ) = A = |0 1| |1 0|

Здесь I — это единичная матрица, а A обозначает нетривиальную перестановку координат в векторном пространстве.

Применение представления Галуа

Обширные применения представлений Галуа можно найти в изучении модульных форм, эллиптических кривых и числовых полей.

Эллиптическая кривая

Эллиптическая кривая описывается уравнением:

y^2 = x^3 + ax + b

Ее представления Галуа отслеживают действие группы Галуа на точки, определенные на кривой, и раскрывают информацию о ее рациональных точках и ранге.

Модульная форма

Модульные формы — это аналитические функции, которые инвариантны относительно определенной группы преобразований. Представления Галуа, связанные с модульными формами, приводят к прорывам, таким как доказательство Великой теоремы Ферма Эндрю Уайлсом.

Резюме

Представления Галуа находятся в центре современной математики, соединяя такие разнообразные области, как алгебра и теория чисел. Поняв алгебраические симметрии расширений полей и их матричные представления, математики получают более глубокое представление о фундаментальной природе чисел и форм.


Докторантура → 5.3.4


U
username
0%
завершено в Докторантура

← предыдущая (5.3.3)
Классы групп в алгебраической теории чисел
следующая (6) →
Товарищество

комментарии 



Представление Галуа

https://www.buddymath.com/phd/5.3.4?bmal=ru