Doutorado
  1. Compreendendo Álgebra  1.1. Teoria dos grupos  1.1.1. Propriedades básicas dos grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Classes laterais e o teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normais  1.1.5. Grupo quociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introdução aos grupos livres  1.1.9. O que são atividades em grupo?  1.1.10. Grupos simples e solucionáveis  1.2. Teoria dos anéis  1.2.1. Anéis e ideais  1.2.2. Introdução aos homomorfismos de anéis  1.2.3. Aneis polinomiais  1.2.4. Domínios de ideais principais  1.2.5. Domínios de Fatoração Única  1.2.6. Anéis noetherianos  1.2.7. Anéis Artinianos  1.3. Teoria dos Campos  1.3.1. Extensões de corpos  1.3.2. Divisão de área  1.3.3. Teoria de Galois  1.3.4. Fechamento algébrico na teoria dos corpos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensão transcendental  1.4. Teoria dos módulos  1.4.1. Módulos sobre anéis  1.4.2. Módulos livres  1.4.3. Homomorfismo de módulo  1.4.4. Módulos simples e semi-simples  1.4.5. Módulos projetivos  1.4.6. Módulos Injetivos  1.5. Álgebra linear  1.5.1. Espaço vetorial  1.5.2. Transformações lineares  1.5.3. Entendendo Autovalores e Autovetores  1.5.4. Forma canônica  1.5.5. Espaço de produto interno  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Decomposição em valores singulares
  2. Compreendendo a Análise Matemática  2.1. Análise real  2.1.1. Números reais e completude  2.1.2. Introdução a sequências e séries  2.1.3. Continuidade em análise real  2.1.4. Diferenciação em análise real  2.1.5. Integração de Riemann  2.1.6. Introdução aos espaços métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análise Complexa  2.2.1. Números complexos  2.2.2. Funções analíticas  2.2.3. Integração de contorno  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema do Resíduo  2.2.6. Mapeamento conformal  2.3. Análise Funcional  2.3.1. Compreendendo locais padrão  2.3.2. Introdução aos espaços de Banach  2.3.3. Espaços de Hilbert  2.3.4. Operadores lineares  2.3.5. Teoria espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoria da Medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medição e integrais na teoria da medida  2.4.3. Integração de Lebesgue  2.4.4. Teorema da Convergência  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análise Harmônica  2.5.1. Séries de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoria da distribuição  2.5.4. Wavelets
  3. Topologia  3.1. Topologia geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Continuidade  3.1.3. Introdução à compacidade  3.1.4. Conectividade na topologia geral  3.1.5. Topologia métrica  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoria da homotopia  3.2.3. Teoria da homologia  3.2.4. Cohomologia  3.2.5. Sequência exata  3.3. Topologia diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espaço tangente  3.3.3. Campos vetoriais  3.3.4. Compreendendo Formas Diferenciais
  4. Geometria  4.1. Geometria diferencial  4.1.1. Curvas e superfícies na geometria diferencial  4.1.2. Geometria Riemanniana  4.1.3. Compreendendo geodésicas na geometria diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometria algébrica  4.2.1. Variedades afins e projetivas  4.2.2. Planos  4.2.3. Separadores e interseções  4.2.4. Cohomologia na geometria algébrica  4.3. Geometria Computacional  4.3.1. Introdução às coberturas convexas na geometria computacional  4.3.2. Triangulação  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoria dos números  5.1. Teoria dos números elementar  5.1.1. Divisibilidade na teoria elementar dos números  5.1.2. Congruência na teoria dos números elementar  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoria analítica dos números  5.2.1. Teorema dos números primos  5.2.2. Séries de Dirichlet  5.2.3. Zeta e funções L  5.3. Teoria dos números algébricos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introdução aos ideais na teoria algébrica dos números  5.3.3. Grupos de classes em teoria algébrica dos números  5.3.4. Representação de Galois
  6. Companhia  6.1. Combinatória computacional  6.1.1. Função Geradora  6.1.2. Relação de recorrência  6.1.3. Permanência e combinação  6.2. Teoria dos grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planaridade em teoria dos grafos  6.2.3. Coloração de grafos  6.3. Combinatória extrema  6.3.1. Teoria de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos em combinatória extrema  6.4. Combinatória algébrica  6.4.1. Métodos de matrizes em combinatória algébrica  6.4.2. Teoria da Representação
  7. Argumentos e fundamentos  7.1. Teoria dos conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinais e cardinais  7.2. Introdução à teoria dos modelos  7.2.1. Estruturas e teorias na teoria dos modelos  7.2.2. Teorema da compacidade  7.3. Teoria da prova  7.3.1. Sistemas formais  7.3.2. Consistência e completude
  8. Probabilidade e Estatística  8.1. Teoria da probabilidade  8.1.1. Variáveis aleatórias  8.1.2. Expectativa e variação  8.1.3. Teorema do limite central  8.2. Processos estocásticos  8.2.1. Cadeias de Markov  8.2.2. Movimento browniano  8.3. Inferência estatística  8.3.1. Teste de hipóteses  8.3.2. Análise de regressão
  9. Matemática aplicada  9.1. Análise numérica em matemática aplicada  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolação  9.1.3. Análise de erros  9.2. Equações diferenciais parciais  9.2.1. Equação elíptica  9.2.2. Equação parabólica  9.2.3. Equações hiperbólicas  9.3. Sistemas dinâmicos  9.3.1. Teoria do Caos  9.3.2. Análise de estabilidade em sistemas dinâmicos

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Representação de Galois


Na teoria algébrica dos números e na geometria aritmética, o estudo das representações de Galois apresenta uma conexão profunda entre extensões de campos e álgebra linear. Faz parte de um campo vibrante que toca teoria dos números, álgebra e geometria. Compreender as representações de Galois ajuda os matemáticos a enfrentar problemas complexos envolvendo polinômios, números e simetria.

Noções básicas de teoria de Galois

Antes de nos aprofundarmos nas representações de Galois, precisamos ter alguma compreensão dos grupos de Galois e das extensões de campo. Um grupo de Galois está associado a um polinômio ou extensão de campo e consiste nas simetrias algébricas—automorfismos—daquela estrutura que mapeiam campos em si mesmos enquanto preservam adição, multiplicação e coeficientes racionais.

Considere uma equação polinomial:

x^5 - 2 = 0

Encontrar suas raízes dá o campo de decomposição, que é o menor campo de extensão onde o polinômio pode ser exatamente decomposto. O grupo de Galois deste campo indica como as raízes podem ser permutadas.

Extensões de campo e automorfismos

O conceito de extensão de campo é fundamental. Se você tem um campo K e um campo maior L contendo K, então L é chamado de extensão de K. Um automorfismo é um auto-isomorfismo de um campo; é um mapeamento bijetivo que preserva a operação do campo.

O grupo de Galois de uma extensão L/K, denotado Gal(L/K), é o grupo de todos os automorfismos de campo de L que estabilizam K

Por exemplo, extensões de campo:

Q(√2)

Há um automorfismo que mapeia √2 para -√2. Este automorfismo forma um grupo de Galois com dois elementos - a identidade e ele mesmo.

Compreendendo a representação de Galois

A representação de Galois é um homomorfismo do grupo de Galois de uma extensão de campo para um grupo linear geral. Para entender em detalhes, considere um grupo de Galois Gal(L/K) e um espaço vetorial V sobre um campo F. A representação de Gal(L/K) é um homomorfismo de grupo:

ρ: Gal(L/K) → GL(V)

onde GL(V) denota o grupo de transformações lineares invertíveis do espaço vetorial V

Exemplo: campo ciclotômico

Para entender este conceito, considere um campo ciclotômico. Um campo ciclotômico é gerado ao adicionar uma raiz primitiva da unidade a um número racional Q. As raízes enésimas da unidade geram tal campo Q(ζ_n).

x^n - 1 = 0

O grupo de Galois deste campo ciclotômico pode ser representado, por exemplo, para n = 3, como um subgrupo do grupo de permutação das raízes: {1, ζ, ζ^2}.

Exemplo visual

Considere um exemplo mais visual com raízes da unidade:

1ζζ²

Os três pontos no círculo representam as raízes cúbicas da unidade. O grupo de Galois permuta essas raízes, e cada permutação pode ser expressa em termos de matrizes atuando sobre os vetores, que representam o grupo.

Álgebra linear e representações de Galois

As representações de grupos de Galois estão profundamente conectadas com a álgebra linear. Quando configuramos as representações, cada elemento do grupo de Galois pode ser pensado como uma matriz. Essas matrizes atuam no espaço vetorial para refletir várias simetrias das raízes e estruturas de campo.

Exemplo: representação 2D

Considere um espaço vetorial bidimensional sobre o campo F e o grupo de Galois G de ordem 2, que pode ser representado como:

G = {e, σ}, onde e é a identidade e σ é um automorfismo não trivial.

Uma representação deve especificar o seguinte:

ρ(e) = I = |1 0| |0 1| ρ(σ) = A = |0 1| |1 0|

Aqui, I é a matriz identidade e A denota uma permutação não trivial das coordenadas no espaço vetorial.

Aplicação da representação de Galois

Aplicações abrangentes de representações de Galois são encontradas no estudo de formas modulares, curvas elípticas e campos numéricos.

Curva elíptica

Uma curva elíptica é descrita por uma equação:

y^2 = x^3 + ax + b

Suas representações de Galois seguem a ação do grupo de Galois nos pontos definidos na curva e revelam informações sobre seus pontos racionais e ranking.

Forma modular

Formas modulares são funções analíticas que são invariantes sob um grupo particular de transformações. As representações de Galois associadas a formas modulares levaram a avanços como a prova do Último Teorema de Fermat por Andrew Wiles.

Resumo

As representações de Galois estão no coração de grande parte da matemática moderna, conectando campos tão diversos como álgebra e teoria dos números. Ao compreender as simetrias algébricas das extensões de campo e suas representações matriciais correspondentes, os matemáticos ganham percepções mais profundas sobre a natureza fundamental dos números e formas.


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