Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

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Representación de Galois


En la teoría algebraica de números y la geometría aritmética, el estudio de las representaciones de Galois presenta una profunda conexión entre las extensiones de campos y el álgebra lineal. Es parte de un campo vibrante que toca la teoría de números, el álgebra y la geometría. Comprender las representaciones de Galois ayuda a los matemáticos a abordar problemas complejos que involucran polinomios, números y simetría.

Fundamentos de la teoría de Galois

Antes de profundizar en las representaciones de Galois, necesitamos una comprensión de grupos de Galois y extensiones de campo. Un grupo de Galois está asociado con un polinomio o una extensión de campo y consta de las simetrías algebraicas—automorfismos—de esa estructura que mapean campos sobre sí mismos mientras preservan la adición, multiplicación y los coeficientes racionales.

Consideremos una ecuación polinómica:

x^5 - 2 = 0

Encontrar sus raíces da el campo de descomposición, que es el campo de extensión más pequeño donde el polinomio puede ser descompuesto exactamente. El grupo de Galois de este campo indica cómo se pueden permutar las raíces.

Extensiones de campo y automorfismos

El concepto de una extensión de campo es fundamental. Si tienes un campo K y un campo más grande L que contiene a K, entonces L se llama una extensión de K. Un automorfismo es un auto-isomorfismo de un campo; es un mapa biyectivo que preserva la operación del campo.

El grupo de Galois de una extensión L/K, denotado Gal(L/K), es el grupo de todos los automorfismos de campo de L que estabilizan K.

Por ejemplo, extensiones de campo:

Q(√2)

Hay un automorfismo que mapea √2 a -√2. Este automorfismo forma un grupo de Galois con dos elementos: la identidad y sí mismo.

Comprensión de la representación de Galois

La representación de Galois es un homomorfismo del grupo de Galois de una extensión de campo a un grupo lineal general. Para entender en detalle, consideremos un grupo de Galois Gal(L/K) y un espacio vectorial V sobre un campo F. La representación de Gal(L/K) es un homomorfismo de grupos:

ρ: Gal(L/K) → GL(V)

donde GL(V) denota el grupo de transformaciones lineales invertibles del espacio vectorial V.

Ejemplo: campo ciclotómico

Para entender este concepto, consideremos un campo ciclotómico. Un campo ciclotómico se genera añadiendo una raíz primitiva de la unidad a un número racional Q. Las raíces n-ésimas de la unidad generan dicho campo Q(ζ_n).

x^n - 1 = 0

El grupo de Galois de este campo ciclotómico puede representarse, digamos para n = 3, como un subgrupo del grupo de permutaciones de las raíces: {1, ζ, ζ^2}.

Ejemplo visual

Consideremos un ejemplo más visual con raíces de la unidad:

1ζζ²

Los tres puntos en el círculo representan las raíces cúbicas de la unidad. El grupo de Galois permuta estas raíces, y cada permutación se puede expresar en términos de matrices que actúan sobre los vectores, que representan el grupo.

Álgebra lineal y representaciones de Galois

Las representaciones de grupos de Galois están profundamente conectadas con el álgebra lineal. Cuando configuramos las representaciones, cada elemento del grupo de Galois puede considerarse como una matriz. Estas matrices actúan sobre el espacio vectorial para reflejar diversas simetrías de raíces y estructuras de campo.

Ejemplo: representación 2D

Consideremos un espacio vectorial bidimensional sobre el campo F y el grupo de Galois G de orden 2, que puede representarse como:

G = {e, σ}, donde e es la identidad y σ es un automorfismo no trivial.

Una representación especificará lo siguiente:

ρ(e) = I = |1 0| |0 1| ρ(σ) = A = |0 1| |1 0|

Aquí, I es la matriz identidad y A denota una permutación no trivial de las coordinadas en el espacio vectorial.

Aplicación de la representación de Galois

Las representaciones de Galois encuentran aplicaciones extendidas en el estudio de formas modulares, curvas elípticas y campos numéricos.

Curva elíptica

Una curva elíptica se describe mediante una ecuación:

y^2 = x^3 + ax + b

Sus representaciones de Galois trazan la acción del grupo de Galois sobre los puntos definidos en la curva, y revelan información sobre sus puntos racionales y rango.

Forma modular

Las formas modulares son funciones analíticas que son invariantes bajo un grupo particular de transformaciones. Las representaciones de Galois asociadas con formas modulares han conducido a avances como la demostración del Último Teorema de Fermat por Andrew Wiles.

Resumen

Las representaciones de Galois están en el corazón de gran parte de las matemáticas modernas, conectando campos tan diversos como el álgebra y la teoría de números. Al comprender las simetrías algebraicas de las extensiones de campo y sus correspondientes representaciones matriciales, los matemáticos obtienen conocimientos más profundos sobre la naturaleza fundamental de los números y las formas.


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Representación de Galois

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