Числовые поля

В алгебраической теории чисел числовое поле — это концепция, расширяющая идею рациональных чисел. Математическое развитие вышло за рамки целых и рациональных чисел, включив поля, состоящие из алгебраических чисел. Это широкая и богатая область математики, которая привлекла внимание благодаря своей красоте и применению к решению сложных задач, таких как Последняя теорема Ферма.

Чтобы действительно понять, что такое числовое поле, начнем с рассмотрения рациональных чисел, обозначаемых как Q. Рациональные числа — это числа, которые можно выразить в виде дроби a/b, где a и b — целые числа, а b не равно нулю. Эти числа образуют поле, поскольку вы можете складывать, вычитать, умножать и делить любые два рациональных числа (кроме нуля) и всегда получать другое рациональное число.

Основные определения

В математике поле — это множество, оснащенное двумя операциями: сложением и умножением, которые удовлетворяют определенным свойствам: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность и существование единиц и обратных элементов относительно сложения и умножения. Рациональные числа являются знакомым примером поля.

1. Замкнутость: Для всех a, b в поле F выполняются a + b и a * b, принадлежащие F. 
2. Ассоциативность: Для всех a, b, c в F выполняются (a + b) + c = a + (b + c) и (a * b) * c = a * (b * c). 
3. Коммутативность: Для всех a, b в F выполняются a + b = b + a и a * b = b * a. 
4. Единичные элементы: существуют различные элементы 0 и 1 в F, такие что для всех a в F выполняются a + 0 = a и a * 1 = a. 
5. Обратные элементы: Для всех a в F существуют элементы -a и a^(-1) в F, такие что a + (-a) = 0 и a * a^(-1) = 1; a^(-1) существует, если a != 0. 
6. Дистрибутивность: Для всех a, b, c в F выполняется a * (b + c) = a * b + a * c.

Числовые поля являются расширениями поля рациональных чисел. Конкретнее, числовое поле формируется путем взятия рациональных чисел и корней полиномов с коэффициентом Q.

Более формальное определение числового поля

Формально числовое поле — это конечное расширение поля Q. Это означает, что если у вас есть числовое поле K, то существует некоторое целое число n, такое что K можно рассматривать как векторное пространство размерности n над Q.

Например, рассмотрим поле Q(sqrt{2}), которое состоит из всех чисел, которые можно записать в виде a + b sqrt{2}, где a и b — рациональные числа. Это числовое поле второй степени над Q, так как мы можем рассматривать Q(sqrt{2}) как двумерное векторное пространство над Q.

Пример: построение числового поля

Создадим простое числовое поле. Рассмотрим многочлен x^2 - 2 = 0. Решения этого многочлена — это sqrt{2} и -sqrt{2}. Соединив корни этого многочлена с Q, мы получим поле Q(sqrt{2}).

Элементы Q(sqrt{2}) имеют вид a + b sqrt{2}, где a и b — рациональные числа. В этом контексте Q(sqrt{2}) является расширением степени 2, так как оно создается удлинением Q корнями многочленов второй степени.

Свойства числовых полей

Числовые поля наследуют многие свойства полей. Некоторые из важных свойств следующие:

• Структура: Как поле, его элементы могут складываться, вычитаться, умножаться и делиться (кроме нуля), и его структура основана на степени расширения.
• Замкнутость: Числовые поля замкнуты относительно их операций, что означает, что любая комбинация их элементов с полевыми операциями даст еще один элемент внутри числового поля.
• Существование обратных элементов: У каждого ненулевого элемента есть мультипликативный обратный элемент в поле.
• Конечность: Числовое поле имеет конечную размерность, когда рассматривается как векторное пространство над Q.

Примитивные элементы

В любом конечном расширении числового поля существует особый элемент, известный как примитивный элемент. Это поле можно создать, просто добавив этот один элемент к Q. Если K = Q(α), то α является примитивным элементом.

Например, рассмотрим поле Q(sqrt{3}). Элемент sqrt{3} является примитивным элементом, и любой элемент в Q(sqrt{3}) можно выразить в терминах sqrt{3} и рациональных чисел.

Группа Галуа

Группа Галуа числового поля — это концепция, описывающая симметрии в корнях многочленов. Для числового поля K, которое является нормальным расширением Q, группа Галуа Gal(K/Q) состоит из всех автоморфизмов поля K, которые оставляют Q неизменным.

Группа Галуа предоставляет глубокие понимания и мощные инструменты для изучения структуры поля и взаимосвязи между различными числовыми полями. Например, она может помочь понять разрешимость многочленов и другие вопросы.

Например: Многочлен f(x) = x^2 - 2. 
Числовое поле: Q(sqrt{2}). 
Группа Галуа: {1, -1}, представляя идентичность и отрицание квадратного корня.

Применение числовых полей

Числовые поля — это гораздо больше, чем теоретический интерес. Они сыграли важную роль в решении многих знаковых математических проблем, включая:

• Последняя теорема Ферма: эта проблема была решена с пониманием того, что решения связаны с алгебраическими целыми, которые являются целыми элементами в числовых полях.
• Теория классов полей: это крупная область исследования, изучающая абелевы расширения числовых полей.
• Эллиптические кривые: они образуют внешние структуры, определенные над числовыми полями и имеющие значение для криптосистем.

Понимание числовых полей вдохновило на разработку вычислительной теории чисел и алгоритмических подходов к решению диофантовых уравнений. Их изучение является весьма плодородной почвой для продвижения современной математики.

Природа числовых полей тесно связана с другими областями математики, такими как алгебраическая геометрия, где поля функций на кривых по сути представляют собой числовые поля. Таким образом, изучение числовых полей связано со многими частями современной теории чисел.

Заключение

Числовые поля являются фундаментальной основой алгебраической теории чисел, обеспечивая более глубокое понимание природы алгебраических чисел. Расширяя рациональные числа через корни многочленов, числовые поля открывают дверь к более глубокому пониманию математики и решению многих классических задач.

Область продолжает расти, поскольку математики все глубже изучают такие концепции, как многомерные расширения полей, p-адические числовые поля и более сложные теории Галуа. Уравнения, структуры и теории, сформулированные через богатство числовых полей, продолжают оставаться центральными во множестве математических исследований и открытий.

комментарии