Doutorado
  1. Compreendendo Álgebra  1.1. Teoria dos grupos  1.1.1. Propriedades básicas dos grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Classes laterais e o teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normais  1.1.5. Grupo quociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introdução aos grupos livres  1.1.9. O que são atividades em grupo?  1.1.10. Grupos simples e solucionáveis  1.2. Teoria dos anéis  1.2.1. Anéis e ideais  1.2.2. Introdução aos homomorfismos de anéis  1.2.3. Aneis polinomiais  1.2.4. Domínios de ideais principais  1.2.5. Domínios de Fatoração Única  1.2.6. Anéis noetherianos  1.2.7. Anéis Artinianos  1.3. Teoria dos Campos  1.3.1. Extensões de corpos  1.3.2. Divisão de área  1.3.3. Teoria de Galois  1.3.4. Fechamento algébrico na teoria dos corpos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensão transcendental  1.4. Teoria dos módulos  1.4.1. Módulos sobre anéis  1.4.2. Módulos livres  1.4.3. Homomorfismo de módulo  1.4.4. Módulos simples e semi-simples  1.4.5. Módulos projetivos  1.4.6. Módulos Injetivos  1.5. Álgebra linear  1.5.1. Espaço vetorial  1.5.2. Transformações lineares  1.5.3. Entendendo Autovalores e Autovetores  1.5.4. Forma canônica  1.5.5. Espaço de produto interno  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Decomposição em valores singulares
  2. Compreendendo a Análise Matemática  2.1. Análise real  2.1.1. Números reais e completude  2.1.2. Introdução a sequências e séries  2.1.3. Continuidade em análise real  2.1.4. Diferenciação em análise real  2.1.5. Integração de Riemann  2.1.6. Introdução aos espaços métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análise Complexa  2.2.1. Números complexos  2.2.2. Funções analíticas  2.2.3. Integração de contorno  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema do Resíduo  2.2.6. Mapeamento conformal  2.3. Análise Funcional  2.3.1. Compreendendo locais padrão  2.3.2. Introdução aos espaços de Banach  2.3.3. Espaços de Hilbert  2.3.4. Operadores lineares  2.3.5. Teoria espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoria da Medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medição e integrais na teoria da medida  2.4.3. Integração de Lebesgue  2.4.4. Teorema da Convergência  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análise Harmônica  2.5.1. Séries de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoria da distribuição  2.5.4. Wavelets
  3. Topologia  3.1. Topologia geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Continuidade  3.1.3. Introdução à compacidade  3.1.4. Conectividade na topologia geral  3.1.5. Topologia métrica  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoria da homotopia  3.2.3. Teoria da homologia  3.2.4. Cohomologia  3.2.5. Sequência exata  3.3. Topologia diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espaço tangente  3.3.3. Campos vetoriais  3.3.4. Compreendendo Formas Diferenciais
  4. Geometria  4.1. Geometria diferencial  4.1.1. Curvas e superfícies na geometria diferencial  4.1.2. Geometria Riemanniana  4.1.3. Compreendendo geodésicas na geometria diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometria algébrica  4.2.1. Variedades afins e projetivas  4.2.2. Planos  4.2.3. Separadores e interseções  4.2.4. Cohomologia na geometria algébrica  4.3. Geometria Computacional  4.3.1. Introdução às coberturas convexas na geometria computacional  4.3.2. Triangulação  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoria dos números  5.1. Teoria dos números elementar  5.1.1. Divisibilidade na teoria elementar dos números  5.1.2. Congruência na teoria dos números elementar  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoria analítica dos números  5.2.1. Teorema dos números primos  5.2.2. Séries de Dirichlet  5.2.3. Zeta e funções L  5.3. Teoria dos números algébricos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introdução aos ideais na teoria algébrica dos números  5.3.3. Grupos de classes em teoria algébrica dos números  5.3.4. Representação de Galois
  6. Companhia  6.1. Combinatória computacional  6.1.1. Função Geradora  6.1.2. Relação de recorrência  6.1.3. Permanência e combinação  6.2. Teoria dos grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planaridade em teoria dos grafos  6.2.3. Coloração de grafos  6.3. Combinatória extrema  6.3.1. Teoria de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos em combinatória extrema  6.4. Combinatória algébrica  6.4.1. Métodos de matrizes em combinatória algébrica  6.4.2. Teoria da Representação
  7. Argumentos e fundamentos  7.1. Teoria dos conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinais e cardinais  7.2. Introdução à teoria dos modelos  7.2.1. Estruturas e teorias na teoria dos modelos  7.2.2. Teorema da compacidade  7.3. Teoria da prova  7.3.1. Sistemas formais  7.3.2. Consistência e completude
  8. Probabilidade e Estatística  8.1. Teoria da probabilidade  8.1.1. Variáveis aleatórias  8.1.2. Expectativa e variação  8.1.3. Teorema do limite central  8.2. Processos estocásticos  8.2.1. Cadeias de Markov  8.2.2. Movimento browniano  8.3. Inferência estatística  8.3.1. Teste de hipóteses  8.3.2. Análise de regressão
  9. Matemática aplicada  9.1. Análise numérica em matemática aplicada  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolação  9.1.3. Análise de erros  9.2. Equações diferenciais parciais  9.2.1. Equação elíptica  9.2.2. Equação parabólica  9.2.3. Equações hiperbólicas  9.3. Sistemas dinâmicos  9.3.1. Teoria do Caos  9.3.2. Análise de estabilidade em sistemas dinâmicos

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Campos numéricos


Na teoria algébrica dos números, um campo numérico é um conceito que estende a ideia de números racionais. O desenvolvimento matemático foi além dos inteiros e números racionais para incluir campos compostos por números algébricos. É uma área ampla e rica da matemática que atraiu atenção por sua beleza e aplicação na solução de problemas complexos, como o Último Teorema de Fermat.

Para realmente entender o que é um campo numérico, comecemos considerando os números racionais, denotados como Q. Números racionais são números que podem ser expressos como uma fração a/b onde a e b são inteiros e b não é zero. Esses números formam um campo porque você pode somar, subtrair, multiplicar e dividir quaisquer dois números racionais (exceto por zero) e sempre obter outro número racional.

Definições básicas

Em matemática, um campo é um conjunto equipado com duas operações, adição e multiplicação, que satisfazem certas propriedades: comutatividade, associatividade, distributividade e a existência de identidades e inversos aditivos e multiplicativos. Os números racionais são um exemplo familiar de um campo.

1. Fechamento: Para todos a, b em um campo F, tanto a + b quanto a * b estão em F. 
2. Associatividade: Para todos a, b, c em F, (a + b) + c = a + (b + c) e (a * b) * c = a * (b * c). 
3. Comutatividade: Para todos a, b em F, a + b = b + a e a * b = b * a. 
4. Elementos de identidade: Existem elementos distintos 0 e 1 em F tal que para todos a em F, a + 0 = a e a * 1 = a. 
5. Inversos: Para todos a em F, existem elementos -a e a^(-1) em F tal que a + (-a) = 0 e a * a^(-1) = 1, a^(-1) existe se a != 0. 
6. Distributividade: Para todos a, b, c em F, a * (b + c) = a * b + a * c.

Campos numéricos são extensões do campo dos números racionais. Em termos concretos, um campo numérico é formado por números racionais e raízes adjacentes de polinômios com coeficientes Q.

Definição mais formal de um campo numérico

Formalmente, um campo numérico é uma extensão de grau finito do campo de Q. Isso significa que, se você tem um campo numérico K, então existe algum inteiro n tal que K pode ser visto como um espaço vetorial de dimensão n sobre Q.

Por exemplo, considere o campo Q(sqrt{2}), que consiste em todos os números que podem ser escritos na forma a + b sqrt{2}, onde a e b são números racionais. Este é um campo numérico de grau 2 sobre Q, já que podemos pensar em Q(sqrt{2}) como um espaço vetorial bidimensional sobre Q.

Exemplo: construindo um campo numérico

Vamos criar um campo numérico simples. Considere o polinômio x^2 - 2 = 0. As soluções deste polinômio são sqrt{2} e -sqrt{2}. Ao conectar as raízes deste polinômio a Q, obtemos o campo Q(sqrt{2}).

Os elementos de Q(sqrt{2}) têm a forma a + b sqrt{2}, onde a e b são números racionais. Neste contexto, Q(sqrt{2}) é uma extensão de grau 2 porque é gerada por uma extensão de Q com raízes de polinômios de grau 2.

Campo racional (Q) O campo numérico Q(sqrt{2})

Propriedades dos campos numéricos

Campos numéricos herdam muitas propriedades dos campos. Algumas das propriedades importantes são as seguintes:

  • Estrutura: Como um campo, seus elementos podem ser somados, subtraídos, multiplicados e divididos (exceto por zero), e sua estrutura é baseada em seu grau de extensão.
  • Fechamento: Campos numéricos estão fechados sob suas operações, o que significa que qualquer combinação de seus elementos com operações de campo dará outro elemento dentro do campo numérico.
  • Existência de inversos: todo elemento não zero tem um inverso multiplicativo dentro do campo.
  • Finitude: Um campo numérico é de dimensão finita quando visto como um espaço vetorial sobre Q.

Elementos primitivos

Em qualquer extensão finita de um campo numérico, existe um elemento especial conhecido como o elemento primitivo. Este campo pode ser gerado puramente adicionando este único elemento a Q. Se K = Q(α), então α é um elemento primitivo.

Por exemplo, consideremos o campo Q(sqrt{3}). O elemento sqrt{3} é um elemento primitivo e qualquer elemento em Q(sqrt{3}) pode ser expresso em termos de sqrt{3} e os números racionais.

Q(sqrt{3}) Elemento primitivo: sqrt{3}

Grupo de Galois

O grupo de Galois de um campo numérico é um conceito que descreve simetrias nas raízes de polinômios. Para um campo numérico K que é uma extensão normal de Q, o grupo de Galois Gal(K/Q) consiste em todas as automorfismos de campo de K que mantêm Q constante.

O grupo de Galois fornece um grande discernimento e ferramentas poderosas para estudar a estrutura do campo e a relação entre diferentes campos numéricos. Por exemplo, pode ajudar a entender a solubilidade de polinômios, entre outras coisas.

Por exemplo: Polinômio f(x) = x^2 - 2. 
Campo Numérico: Q(sqrt{2}). 
Grupo de Galois: {1, -1}, representando a identidade e a negação da raiz quadrada.

Aplicações dos campos numéricos

Campos numéricos são muito mais do que uma curiosidade teórica. Eles têm sido importantes na solução de muitos problemas matemáticos de destaque, incluindo:

  • Último Teorema de Fermat: resolveu este problema com o discernimento de que as soluções estão relacionadas aos inteiros algébricos, que são elementos integrais em campos numéricos.
  • Teoria dos Campos de Classe: Esta é uma área importante de estudo que investiga extensões abelianas de campos numéricos.
  • Curvas elípticas: Elas formam estruturas externas que são definidas sobre campos numéricos e têm implicações para criptossistemas.

Entender campos numéricos inspirou desenvolvimentos na teoria dos números computacionais e abordagens algorítmicas para resolver equações diofantinas. Seu estudo é um terreno altamente fértil para o avanço da matemática moderna.

A natureza dos campos numéricos está intimamente conectada a outras áreas da matemática, como a geometria algébrica, onde campos de funções em curvas são essencialmente campos numéricos. Assim, o estudo de campos numéricos está conectado a muitas partes da teoria dos números moderna.

Conclusão

Campos numéricos são a base fundamental da teoria algébrica dos números, proporcionando uma compreensão mais profunda da natureza dos números algébricos. Ao expandir os números racionais através das raízes dos polinômios, campos numéricos abrem a porta para uma compreensão mais profunda da matemática e a solução de muitos problemas clássicos.

O campo continua a crescer à medida que os matemáticos se aprofundam em conceitos como extensões de campo de dimensões superiores, campos numéricos p-ádicos e teorias de Galois mais complexas. As equações, estruturas e teorias formuladas através da riqueza dos campos numéricos continuam a ser centrais para inúmeras investigações e descobertas matemáticas.


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