Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

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Campos numéricos


En la teoría de números algebraicos, un campo numérico es un concepto que extiende la idea de los números racionales. El desarrollo matemático ha ido más allá de los enteros y los números racionales para incluir campos compuestos por números algebraicos. Es un área amplia y rica de las matemáticas que ha atraído atención por su belleza y aplicación a la resolución de problemas complejos como el Último Teorema de Fermat.

Para entender realmente qué es un campo numérico, comencemos por considerar los números racionales, denotados como Q. Los números racionales son números que se pueden expresar como una fracción a/b donde a y b son enteros y b no es cero. Estos números forman un campo porque se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir (excepto por cero) y siempre se obtiene otro número racional.

Definiciones básicas

En matemáticas, un campo es un conjunto equipado con dos operaciones, suma y multiplicación, que satisfacen ciertas propiedades: conmutatividad, asociatividad, distributividad y la existencia de identidades y inversos aditivos y multiplicativos. Los números racionales son un ejemplo familiar de un campo.

1. Cerradura: Para todos a, b en un campo F, tanto a + b como a * b están en F. 
2. Asociatividad: Para todos a, b, c en F, (a + b) + c = a + (b + c) y (a * b) * c = a * (b * c). 
3. Conmutatividad: Para todos a, b en F, a + b = b + a y a * b = b * a. 
4. Elementos identidad: Existen elementos distintos 0 y 1 en F tales que para todo a en F, a + 0 = a y a * 1 = a. 
5. Inversos: Para todo a en F, existen elementos -a y a^(-1) en F tales que a + (-a) = 0 y a * a^(-1) = 1, a^(-1) existe si a != 0. 
6. Distributividad: Para todos a, b, c en F, a * (b + c) = a * b + a * c.

Los campos numéricos son extensiones del campo de los números racionales. En términos concretos, un campo numérico se forma tomando números racionales y raíces adyacentes de polinomios con coeficiente Q.

Definición más formal de un campo numérico

Formalmente, un campo numérico es una extensión de grado finito del campo Q. Esto significa que si tienes un campo numérico K, entonces hay algún entero n tal que K puede ser visto como un espacio vectorial de dimensión n sobre Q.

Por ejemplo, considere el campo Q(sqrt{2}), que consiste en todos los números que se pueden escribir en la forma a + b sqrt{2}, donde a y b son números racionales. Este es un campo numérico de grado 2 sobre Q, ya que podemos pensar en Q(sqrt{2}) como un espacio vectorial de 2 dimensiones sobre Q.

Ejemplo: construyendo un campo numérico

Creemos un campo numérico simple. Considere el polinomio x^2 - 2 = 0. Las soluciones de este polinomio son sqrt{2} y -sqrt{2}. Al conectar las raíces de este polinomio con Q, obtenemos el campo Q(sqrt{2}).

Los elementos de Q(sqrt{2}) tienen la forma a + b sqrt{2}, donde a y b son números racionales. En este contexto, Q(sqrt{2}) es una extensión de grado 2 porque se genera por una extensión de Q con raíces de polinomios de grado 2.

Campo racional (Q) El campo numérico Q(sqrt{2})

Propiedades de los campos numéricos

Los campos numéricos heredan muchas propiedades de los campos. Algunas de las propiedades importantes son las siguientes:

  • Estructura: Como un campo, sus elementos pueden ser sumados, restados, multiplicados y divididos (excepto por cero), y su estructura se basa en su grado de extensión.
  • Cerradura: Los campos numéricos están cerrados bajo sus operaciones, lo que significa que cualquier combinación de sus elementos con operaciones de campo dará otro elemento dentro del campo numérico.
  • Existencia de inversos: cada elemento no nulo tiene un inverso multiplicativo dentro del campo.
  • Finitez: Un campo numérico es de dimensión finita cuando se ve como un espacio vectorial sobre Q.

Elementos primitivos

En cualquier extensión finita de un campo numérico, existe un elemento especial conocido como el elemento primitivo. Este campo puede generarse puramente al agregar este único elemento a Q. Si K = Q(α), entonces α es un elemento primitivo.

Por ejemplo, consideremos el campo Q(sqrt{3}). El elemento sqrt{3} es un elemento primitivo, y cualquier elemento en Q(sqrt{3}) puede expresarse en términos de sqrt{3} y los números racionales.

Q(sqrt{3}) Elemento primitivo: sqrt{3}

Grupo de Galois

El grupo de Galois de un campo numérico es un concepto que describe simetrías en las raíces de polinomios. Para un campo numérico K que es una extensión normal de Q, el grupo de Galois Gal(K/Q) consiste en todos los automorfismos de campo de K que mantienen Q constante.

El grupo de Galois proporciona una gran visión y herramientas poderosas para estudiar la estructura del campo y la relación entre diferentes campos numéricos. Por ejemplo, puede ayudar a entender la solubilidad de polinomios, entre otras cosas.

Por ejemplo: Polinomio f(x) = x^2 - 2. 
Campo numérico: Q(sqrt{2}). 
Grupo de Galois: {1, -1}, representando la identidad y la negación de la raíz cuadrada.

Aplicaciones de los campos numéricos

Los campos numéricos son mucho más que una curiosidad teórica. Han sido importantes en la solución de muchos problemas matemáticos emblemáticos, incluyendo:

  • Último Teorema de Fermat: este problema se resolvió con la idea de que las soluciones están relacionadas con los enteros algebraicos, que son elementos enteros en campos numéricos.
  • Teoría de campos de clases: Es un área importante de estudio que investiga extensiones abelianas de campos numéricos.
  • Curvas elípticas: Forman estructuras externas que se definen sobre campos numéricos y tienen implicaciones para los criptosistemas.

Entender los campos numéricos ha inspirado desarrollos en la teoría de números computacional y enfoques algorítmicos para resolver ecuaciones diofánticas. Su estudio es un terreno altamente fértil para avanzar en las matemáticas modernas.

La naturaleza de los campos numéricos está estrechamente conectada con otras áreas de las matemáticas, como la geometría algebraica, donde los campos de funciones en curvas son esencialmente campos numéricos. Por lo tanto, el estudio de los campos numéricos está conectado con muchas partes de la teoría moderna de números.

Conclusión

Los campos numéricos son la base fundamental de la teoría de números algebraicos, proporcionando una comprensión más profunda de la naturaleza de los números algebraicos. Al expandir los números racionales a través de raíces polinomiales, los campos numéricos abren la puerta a una comprensión más profunda de las matemáticas y a la solución de muchos problemas clásicos.

El campo continúa creciendo a medida que los matemáticos profundizan en conceptos como extensiones de campo de mayor dimensión, campos numéricos p-ádicos y teorías de Galois más complejas. Las ecuaciones, estructuras y teorías formuladas a través de la riqueza de los campos numéricos siguen siendo centrales para innumerables investigaciones y descubrimientos matemáticos.


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