Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

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Teorema de los números primos


El teorema de los números primos (PNT, por sus siglas en inglés) es un teorema fundamental en la teoría analítica de números que describe la distribución asintótica de los números primos. Nos proporciona una comprensión formal de cuántos números primos hay menores que un número dado, proporcionando así una comprensión más profunda de la distribución de estos números, que son los componentes básicos de la aritmética.

En resumen, el teorema de los números primos nos habla sobre la densidad de los números primos entre los enteros. Más precisamente, establece que:

π(x) ~ x / log(x)

donde π(x) es la función de conteo de números primos que devuelve el número de primos menores o iguales a x, y log(x) es el logaritmo natural de x. El símbolo ~ indica que la razón de ambos lados tiende a 1 a medida que x se aproxima al infinito.

¿Qué significa?

El teorema muestra que la probabilidad de que un número elegido al azar menor que x sea primo es aproximadamente 1/log(x). Esto proporciona una estimación cuantitativa para la frecuencia de los números primos en los enteros.

Por ejemplo, si deseas contar cuántos números primos hay por debajo de un número como 1,000, el teorema de los números primos te permite estimar este número más fácilmente sin tener que examinar cada número por separado.

Representación visual: Densidad de números primos

X π(x) curva π(x) aproximación x/log(x)

El gráfico anterior es una ilustración simple de cómo la función real de conteo de primos π(x) puede compararse con la estimación x/log(x). Se puede ver una densidad o dispersión decreciente de primos con valores crecientes de x.

Perspectivas matemáticas

Los números primos son números mayores que 1 que no tienen divisores distintos de 1 y ellos mismos. Este teorema ayuda a los matemáticos a entender cómo estos números difieren entre sí, lo cual tiene implicaciones más allá de las matemáticas puras en campos como la criptografía, la informática y el análisis numérico.

Contexto histórico

Aunque los matemáticos habían conjeturado esta propiedad de los números primos en el siglo XIX, no fue hasta 1896 que Jacques Hadamard y Charles Jean de la Vallée-Poussin probaron independientemente el teorema utilizando técnicas de análisis complejo, particularmente las propiedades de la función zeta de Riemann ζ(s). La historia del teorema de los números primos está intrincadamente entrelazada con la distribución de los ceros de esta función, un tema que toca la misteriosa hipótesis de Riemann.

Ejemplos textuales

Para concretar este concepto, supongamos x = 100; entonces, usando el PNT hacemos la aproximación:

π(100) ≈ 100 / log(100) ≈ 100 / 4.605 ≈ 21.72.

Hay exactamente 25 números primos menores que 100, por lo que esta estimación no es precisa para x pequeños, pero se vuelve más precisa a medida que x aumenta.

Implicaciones adicionales

Este teorema también plantea preguntas sobre "intervalos primos" o brechas entre números primos consecutivos. Aunque el PNT muestra una tendencia general, una exploración más profunda de estos intervalos puede revelar más sobre el caos o el orden en la distribución de todos los números primos.

Boceto de prueba formal

Aunque una inmersión completa en la prueba completa requeriría profundizar en el análisis complejo, la prueba dada por Hadamard y de la Vallée-Poussin se basa en la propiedad de que la función zeta de Riemann ζ(s) no tiene ceros en la línea donde la parte real de s es 1. Esta propiedad es crucial para traducir el hecho analítico complejo en un resultado aritmético sobre números primos.

Conclusión y reflexión

El teorema de los números primos proporciona una de las respuestas más elegantes a una pregunta que surge naturalmente en matemáticas: ¿cómo están distribuidos los números primos? Aunque el teorema responde a esto en un sentido formal, quedan muchas preguntas abiertas sobre los detalles más precisos de los números primos y su distribución, lo que motiva la investigación continua en la teoría de números.

A través de una mezcla de matemáticas elementales y avanzadas, el PNT demuestra la profunda interconexión de los conceptos matemáticos y revela verdades profundas sobre los números más fundamentales en matemáticas.


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