Doutorado
  1. Compreendendo Álgebra  1.1. Teoria dos grupos  1.1.1. Propriedades básicas dos grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Classes laterais e o teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normais  1.1.5. Grupo quociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introdução aos grupos livres  1.1.9. O que são atividades em grupo?  1.1.10. Grupos simples e solucionáveis  1.2. Teoria dos anéis  1.2.1. Anéis e ideais  1.2.2. Introdução aos homomorfismos de anéis  1.2.3. Aneis polinomiais  1.2.4. Domínios de ideais principais  1.2.5. Domínios de Fatoração Única  1.2.6. Anéis noetherianos  1.2.7. Anéis Artinianos  1.3. Teoria dos Campos  1.3.1. Extensões de corpos  1.3.2. Divisão de área  1.3.3. Teoria de Galois  1.3.4. Fechamento algébrico na teoria dos corpos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensão transcendental  1.4. Teoria dos módulos  1.4.1. Módulos sobre anéis  1.4.2. Módulos livres  1.4.3. Homomorfismo de módulo  1.4.4. Módulos simples e semi-simples  1.4.5. Módulos projetivos  1.4.6. Módulos Injetivos  1.5. Álgebra linear  1.5.1. Espaço vetorial  1.5.2. Transformações lineares  1.5.3. Entendendo Autovalores e Autovetores  1.5.4. Forma canônica  1.5.5. Espaço de produto interno  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Decomposição em valores singulares
  2. Compreendendo a Análise Matemática  2.1. Análise real  2.1.1. Números reais e completude  2.1.2. Introdução a sequências e séries  2.1.3. Continuidade em análise real  2.1.4. Diferenciação em análise real  2.1.5. Integração de Riemann  2.1.6. Introdução aos espaços métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análise Complexa  2.2.1. Números complexos  2.2.2. Funções analíticas  2.2.3. Integração de contorno  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema do Resíduo  2.2.6. Mapeamento conformal  2.3. Análise Funcional  2.3.1. Compreendendo locais padrão  2.3.2. Introdução aos espaços de Banach  2.3.3. Espaços de Hilbert  2.3.4. Operadores lineares  2.3.5. Teoria espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoria da Medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medição e integrais na teoria da medida  2.4.3. Integração de Lebesgue  2.4.4. Teorema da Convergência  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análise Harmônica  2.5.1. Séries de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoria da distribuição  2.5.4. Wavelets
  3. Topologia  3.1. Topologia geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Continuidade  3.1.3. Introdução à compacidade  3.1.4. Conectividade na topologia geral  3.1.5. Topologia métrica  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoria da homotopia  3.2.3. Teoria da homologia  3.2.4. Cohomologia  3.2.5. Sequência exata  3.3. Topologia diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espaço tangente  3.3.3. Campos vetoriais  3.3.4. Compreendendo Formas Diferenciais
  4. Geometria  4.1. Geometria diferencial  4.1.1. Curvas e superfícies na geometria diferencial  4.1.2. Geometria Riemanniana  4.1.3. Compreendendo geodésicas na geometria diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometria algébrica  4.2.1. Variedades afins e projetivas  4.2.2. Planos  4.2.3. Separadores e interseções  4.2.4. Cohomologia na geometria algébrica  4.3. Geometria Computacional  4.3.1. Introdução às coberturas convexas na geometria computacional  4.3.2. Triangulação  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoria dos números  5.1. Teoria dos números elementar  5.1.1. Divisibilidade na teoria elementar dos números  5.1.2. Congruência na teoria dos números elementar  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoria analítica dos números  5.2.1. Teorema dos números primos  5.2.2. Séries de Dirichlet  5.2.3. Zeta e funções L  5.3. Teoria dos números algébricos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introdução aos ideais na teoria algébrica dos números  5.3.3. Grupos de classes em teoria algébrica dos números  5.3.4. Representação de Galois
  6. Companhia  6.1. Combinatória computacional  6.1.1. Função Geradora  6.1.2. Relação de recorrência  6.1.3. Permanência e combinação  6.2. Teoria dos grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planaridade em teoria dos grafos  6.2.3. Coloração de grafos  6.3. Combinatória extrema  6.3.1. Teoria de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos em combinatória extrema  6.4. Combinatória algébrica  6.4.1. Métodos de matrizes em combinatória algébrica  6.4.2. Teoria da Representação
  7. Argumentos e fundamentos  7.1. Teoria dos conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinais e cardinais  7.2. Introdução à teoria dos modelos  7.2.1. Estruturas e teorias na teoria dos modelos  7.2.2. Teorema da compacidade  7.3. Teoria da prova  7.3.1. Sistemas formais  7.3.2. Consistência e completude
  8. Probabilidade e Estatística  8.1. Teoria da probabilidade  8.1.1. Variáveis aleatórias  8.1.2. Expectativa e variação  8.1.3. Teorema do limite central  8.2. Processos estocásticos  8.2.1. Cadeias de Markov  8.2.2. Movimento browniano  8.3. Inferência estatística  8.3.1. Teste de hipóteses  8.3.2. Análise de regressão
  9. Matemática aplicada  9.1. Análise numérica em matemática aplicada  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolação  9.1.3. Análise de erros  9.2. Equações diferenciais parciais  9.2.1. Equação elíptica  9.2.2. Equação parabólica  9.2.3. Equações hiperbólicas  9.3. Sistemas dinâmicos  9.3.1. Teoria do Caos  9.3.2. Análise de estabilidade em sistemas dinâmicos

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Teoria dos números elementar


A teoria dos números elementar é um ramo da matemática que lida com as propriedades e relações dos números, particularmente dos inteiros. É chamada de "elementar" porque trata de conceitos básicos que são fundamentais para o estudo posterior da matemática. Historicamente, a teoria dos números focava no estudo dos inteiros e suas propriedades, como divisibilidade e primalidade. O campo permanece um pilar da matemática moderna, cativando os matemáticos com sua beleza, simplicidade e profundidade.

1. Fundamentos dos números

Para entender a teoria dos números, devemos primeiro compreender o que são os números. Os números podem ser considerados conceitos abstratos básicos que usamos para contar, medir e rotular. Na teoria dos números elementar, lidamos principalmente com inteiros, que são números inteiros e podem ser positivos, negativos ou zero.

Vamos dar uma olhada em alguns dos tipos básicos de números que frequentemente encontramos:

  • Números naturais: Esses são os números pelos quais contamos naturalmente, como 1, 2, 3, etc.
  • Números inteiros: Estes são os números naturais incluindo o zero, como 0, 1, 2, 3, etc.
  • Inteiros: Estes incluem números inteiros e seus opostos negativos, como -2, -1, 0, 1, 2, etc.

2. Divisibilidade

A divisibilidade é um conceito fundamental na teoria dos números. Um inteiro a é divisível por outro inteiro b se existir um inteiro c tal que a = b times c. Se a é divisível por b, dizemos que b divide a, ou b é um divisor de a.

Exemplo:

Considere a = 15 e b = 3.

15 = 3 times 5

Então, 3 divide 15.

3. Números primos

Os números primos são os blocos de construção dos inteiros. Um número primo é um inteiro maior que 1 que não possui divisores positivos além de 1 e ele mesmo. Em outras palavras, não pode ser formado pela multiplicação de dois números naturais menores.

Exemplos de números primos:

  • 2
  • 3
  • 5
  • 7
  • 11

Cada um desses números não pode ser dividido exatamente por nenhum número além de 1 e ele mesmo.

4. Divisores e múltiplos comuns

Dois conceitos importantes na teoria dos números são os divisores comuns e os múltiplos comuns.

  • Maior Divisor Comum (MDC): O maior número que pode dividir dois ou mais inteiros sem deixar resto.
  • Mínimo Múltiplo Comum (MMC): O menor número que é múltiplo de dois ou mais inteiros.

Exemplo:

Encontre o MDC e o MMC de 12 e 18.

Fatores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12

Fatores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18

Divisores comuns: 1, 2, 3, 6

Então, MDC(12, 18) = 6.

Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, ...

Múltiplos de 18: 18, 36, 54, 72, ...

Múltiplos comuns: 36, 72, ...

Portanto, MMC(12, 18) = 36.

5. Congruência

Congruência é uma forma de expressar que dois números deixam o mesmo resto quando divididos por outro número. Se dois números deixam o mesmo resto quando divididos por um número, eles dizem-se congruentes em relação a esse número. Isso pode ser escrito como:

a equiv b  (text{mod}  n)

onde a e b são idênticos no módulo de n.

Exemplo:

24 é equivalente a 9 no módulo de 5, já que ambos têm resto 4.

24 equiv 9  (text{mod}  5)

6. Equações diofantinas

As equações diofantinas referem-se a equações polinomiais cujas soluções são restritas aos inteiros. Elas são nomeadas em homenagem ao antigo matemático grego Diofanto. Um exemplo simples é a equação linear diofantina:

ax + by = c

onde x e y são inteiros. Se o MDC de a e b divide c, então a solução existe.

Exemplo:

Resolva 3x + 6y = 18.

O MDC de 3 e 6 é 3, e 3 divide 18, portanto, uma solução existe.

Uma solução simples é x = 0 e y = 3.

7. Fundamentos da aritmética

O teorema fundamental da aritmética afirma que todo inteiro maior que 1 pode ser representado de forma única como um produto de números primos, até a ordem. Esta é a base para muitos outros conceitos na teoria dos números.

Exemplo:

Considere o número 60.

60 = 2^2 times 3 times 5

Essa representação é única (independentemente da ordem).

8. Números inteiros

Um número perfeito é um inteiro que é a soma de seus divisores positivos próprios, não incluindo ele mesmo. O menor número perfeito é 6.

Exemplo:

Considere o número 6.

Divisores de 6: 1, 2, 3

A soma desses divisores é 1 + 2 + 3 = 6.

9. Função totiente de Euler

A função totiente de Euler, denotada como phi(n), é uma função que retorna o número de inteiros até n que são coprimos com n. Dois números são coprimos se o maior divisor comum deles é 1.

Exemplo:

Calcule phi(9).

Os números coprimos de 9 são 1, 2, 4, 5, 7, 8.

Então, phi(9) = 6.

10. Conclusão

A teoria dos números elementar é a espinha dorsal do nosso entendimento da matemática, pois lida com as propriedades e relações dos inteiros. Através de seus conceitos básicos, como divisibilidade, números primos e congruência, obtemos insights sobre partes mais complexas e abstratas da matemática. Esses tópicos fundamentais não apenas desenvolvem habilidades de pensamento crítico e resolução de problemas, mas também têm aplicações em criptografia, ciência da computação e outros campos.

Como vimos, este assunto é repleto de problemas e teoremas interessantes, muitos dos quais não só resistiram ao teste do tempo, mas continuam a inspirar novas gerações de matemáticos. Embora esta visão geral cubra o básico da teoria dos números elementar, muito ainda aguarda exploração em estudos mais avançados, proporcionando um entendimento mais profundo do belo mundo dos inteiros.


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