Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

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Teoría de números elemental


La teoría de números elemental es una rama de las matemáticas que trata las propiedades y relaciones de los números, en particular los enteros. Se llama "elemental" porque se ocupa de conceptos básicos que son fundamentales para el estudio ulterior de las matemáticas. Históricamente, la teoría de números se centró en el estudio de los enteros y sus propiedades, como la divisibilidad y la primalidad. El campo sigue siendo una piedra angular de las matemáticas modernas, cautivando a los matemáticos con su belleza, simplicidad y profundidad.

1. Fundamentos de los números

Para entender la teoría de números, primero debemos comprender qué son los números. Los números pueden considerarse conceptos abstractos básicos que utilizamos para contar, medir y etiquetar. En la teoría de números elemental, tratamos principalmente con enteros, que son números enteros que pueden ser positivos, negativos o cero.

Veamos algunos de los tipos básicos de números que encontramos con frecuencia:

  • Números naturales: Son los números con los que contamos naturalmente como 1, 2, 3, etc.
  • Números enteros: Son los números naturales incluyendo el cero, tales como 0, 1, 2, 3, etc.
  • Enteros: Incluyen los números enteros y sus contrapartes negativas, por ejemplo, -2, -1, 0, 1, 2, etc.

2. Divisibilidad

La divisibilidad es un concepto fundamental en la teoría de números. Un entero a es divisible por otro entero b si existe un entero c tal que a = b times c. Si a es divisible por b, decimos que b divide a a, o que b es un divisor de a.

Ejemplo:

Consideremos a = 15 y b = 3.

15 = 3 times 5

Así que 3 divide a 15.

3. Números primos

Los números primos son los componentes básicos de los enteros. Un número primo es un entero mayor que 1 que no tiene divisores positivos más que 1 y él mismo. En otras palabras, no puede formarse multiplicando dos números naturales menores.

Ejemplos de números primos:

  • 2
  • 3
  • 5
  • 7
  • 11

Cada uno de estos números no puede ser dividido uniformemente por ningún número aparte de 1 y él mismo.

4. Divisores y múltiplos comunes

Dos conceptos importantes en la teoría de números son los divisores comunes y los múltiplos comunes.

  • Máximo Común Divisor (MCD): El número más grande que puede dividir dos o más enteros sin dejar residuo.
  • Mínimo Común Múltiplo (MCM): El menor número que es múltiplo de dos o más enteros.

Ejemplo:

Encuentre el MCD y el MCM de 12 y 18.

Factores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12

Factores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18

Divisores comunes: 1, 2, 3, 6

Entonces, MCD(12, 18) = 6.

Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, ...

Múltiplos de 18: 18, 36, 54, 72, ...

Múltiplos comunes: 36, 72, ...

Por lo tanto, MCM(12, 18) = 36.

5. Congruencia

La congruencia es una forma de expresar que dos números dejan el mismo residuo al dividirse por otro número. Si dos números dejan el mismo residuo al dividirse por un número, se dice que son congruentes respecto a ese número. Esto se puede escribir como:

a equiv b  (text{mod}  n)

donde a y b son idénticos en el módulo de n.

Ejemplo:

24 es equivalente a 9 en la relación de 5, ya que ambos tienen un residuo de 4.

24 equiv 9  (text{mod}  5)

6. Ecuaciones diofánticas

Las ecuaciones diofánticas se refieren a ecuaciones polinomiales donde las soluciones están restringidas a enteros. Se denominan así en honor al antiguo matemático griego Diofanto. Un ejemplo simple es la ecuación diofántica lineal:

ax + by = c

donde x y y son enteros. Si el MCD de a y b divide c, entonces existe la solución.

Ejemplo:

Resuelva 3x + 6y = 18.

El MCD de 3 y 6 es 3, y 3 divide 18, por lo que una solución existe.

Una solución simple es x = 0 y y = 3.

7. Fundamentos de la aritmética

El teorema fundamental de la aritmética afirma que cada entero mayor que 1 puede ser representado de manera única como un producto de números primos, hasta el orden. Esta es la base de muchos otros conceptos en teoría de números.

Ejemplo:

Considere el número 60.

60 = 2^2 times 3 times 5

Esta representación es única (independientemente del orden).

8. Números enteros

Un número perfecto es un entero que es la suma de sus divisores positivos propios, sin incluirse a sí mismo. El número perfecto más pequeño es 6.

Ejemplo:

Considere el número 6.

Divisores de 6: 1, 2, 3

La suma de estos divisores es 1 + 2 + 3 = 6.

9. Función totiente de Euler

La función totiente de Euler, denotada como phi(n), es una función que devuelve el número de enteros hasta n que son coprimos con n. Dos números son coprimos si su máximo común divisor es 1.

Ejemplo:

Calcule phi(9).

Los números coprimos de 9 son 1, 2, 4, 5, 7, 8.

Por lo tanto, phi(9) = 6.

10. Conclusión

La teoría de números elemental es la columna vertebral de nuestra comprensión de las matemáticas ya que trata las propiedades y relaciones de los enteros. A través de sus conceptos básicos, como divisibilidad, números primos y congruencia, obtenemos una visión de partes más complejas y abstractas de las matemáticas. Estos conceptos fundamentales no solo desarrollan habilidades de pensamiento crítico y resolución de problemas, sino que también tienen aplicaciones en criptografía, informática y otros campos.

Como hemos visto, este tema está lleno de problemas y teoremas interesantes, muchos de los cuales no solo han resistido la prueba del tiempo, sino que continúan inspirando a nuevas generaciones de matemáticos. Aunque esta visión general cubre los fundamentos de la teoría de números elemental, queda mucho por explorar en estudios más avanzados, proporcionando una comprensión más profunda del mundo hermoso de los enteros.


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